\documentclass[a4paper]{article}
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\title{}
\author{}
\date{}

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%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
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\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{calc}
\usepackage{mdwlist}
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\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
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% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
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\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

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%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcommand{\elemiff}[1]{% elementary operations
  \stackrel{\substack{#1}}{\iff}}%

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Corrigé du devoir en temps libre 6}
\end{center}

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
    \item \(  J = \begin{pmatrix}
        1 & 1 & 0\\
        0 & 1 & 0\\
        0 & 0 &-3
      \end{pmatrix} =
      \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 0\\
        0 & 1 & 0\\
        0 & 0 &-3
      \end{pmatrix} +
      \begin{pmatrix}
        0 & 1 & 0\\
        0 & 0 & 0\\
        0 & 0 & 0
      \end{pmatrix} = D + N.
      \)
    \item On a : \(N^2=0\), et
      \[
        DN = \begin{pmatrix}
          1 & 0 & 0\\
          0 & 1 & 0\\
          0 & 0 &-3
        \end{pmatrix}    \begin{pmatrix}
          0 & 1 & 0\\
          0 & 0 & 0\\
          0 & 0 & 0
        \end{pmatrix}
        = \begin{pmatrix}
          0 & 1 & 0\\
          0 & 0 & 0\\
          0 & 0 & 0
        \end{pmatrix} = N,
      \]
      et de la même manière, on trouve que \(ND=N\).
    \item On a montré que \(ND=DN\), donc la formule du binôme de Newton donne, pour \(n\in\N\), 
      \begin{align*}
        J^n = (D + N)^n &= \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}        n\\k      \end{pmatrix}
        N^k D^{n-k} \\
                        &= D^n + nND^{n-1} ,
      \end{align*}
      car pour tout \(k\geq 2\), \(N^k=0\). D'une part, les puissances de \(D\) sont faciles à calculer car \(D\) est diagonale. D'autre part, comme \(ND=N\), on a que \(ND^{n-1} = (ND)D^{n-2} = \dots = N\), et donc finalement,
      \[
        J^n = D^n +nN =
        \begin{pmatrix}
          1 & n & 0\\
          0 & 1 & 0\\
          0 & 0 & (-3)^n
        \end{pmatrix}
      \]
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Soit \(n\in\N\). On a, par définition,
      \[
        V_{n+1} =
        \begin{pmatrix}
          v_{n+1} \\ v_{n+2} \\ v_{n+3} 
        \end{pmatrix}
        =       \begin{pmatrix}
          v_{n+1} \\ v_{n+2} \\ - 3v_n + 5v_{n+1} -v_{n+2}
        \end{pmatrix}
        =
        \begin{pmatrix}
          0 & 1 &0 \\
          0 & 0 & 1 \\
          -3 & 5& -1 
        \end{pmatrix}
        \begin{pmatrix}
          v_{n} \\ v_{n+1} \\ v_{n+2}         
        \end{pmatrix} = AV_n.
      \]
    \item La récurrence est immédiate : clairement, \(V_0=A^0V_0\), et si, pour un certain \(n\in\N\), \(V_n=A^nV_0\), alors \(V_{n+1}= AV_n= AA^nV_0 = A^{n+1}V_0\), donc, par principe de récurrence,
      \[
        V_n = A^nV_0\quad \forall n\in\N.
      \]
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}

    \item On cherche à inverser \(P\) avec l'algorithme du pivot de Gauss :
      \begin{align*}
        \left(
        \begin{array}{ccc|ccc}
          1 & 3 & 9 & 1 & 0 & 0 \\
          1 & 2 & -3 & 0 & 1 & 0 \\
          1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 
        \end{array}
        \right)
            &\elemiff{L_2 \leftarrow L_2 - L_1\\ L_3 \leftarrow L_3-L_1}
        \left(
        \begin{array}{ccc|ccc}
          1 & 3 & 9 & 1 & 0 & 0 \\
          0 & -1 & -12 & -1 & 1 & 0 \\
          0 & -2 & -8 & -1 & 0 & 1\\ 
        \end{array}
        \right)\\
            &\elemiff{L_2 \leftarrow -L_2 \\ L_3 \leftarrow L_3+2L_2}
        \left(
        \begin{array}{ccc|ccc}
          1 & 3 & 9 & 1 & 0 & 0 \\
          0 & 1 & 12 & 1 & -1 & 0 \\
          0 & 0 & 16 & 1 & -2 & 1\\ 
        \end{array}
        \right)\\
            &\elemiff{L_3 \leftarrow \frac1{16}L_3}
              \left(
              \begin{array}{ccc|ccc}
                1 & 3 & 9 & 1 & 0 & 0 \\
                0 & 1 & 12 & 1 & -1 & 0 \\
                0 & 0 & 1 & 1/16 & -1/8 & 1/16\\ 
              \end{array}
        \right)\\
            &\elemiff{L_1 \leftarrow L_1-9L_3\\L_2\leftarrow L_2-12L_3}
        \left(
        \begin{array}{ccc|ccc}
          1 & 3 & 0 & 7/16 & 9/8 & -9/16 \\
          0 & 1 & 0 & 1/4 & 1/2 & -3/4 \\
          0 & 0 & 1 & 1/16 & -1/8 & 1/16\\ 
        \end{array}
        \right)\\
            &\elemiff{L_1 \leftarrow L_1-3L_2}
              \left(
              \begin{array}{ccc|ccc}
                1 & 0 & 0 & -5/16 & -3/8 & 27/16 \\
                0 & 1 & 0 & 1/4 & 1/2 & -3/4 \\
                0 & 0 & 1 & 1/16 & -1/8 & 1/16\\ 
              \end{array}
        \right)
      \end{align*}
      donc \(P\) est bien inversible, et
      \[
        P^{-1} = \frac1{16}
        \begin{pmatrix}
          -5 & -6 & 27\\
          4 & 8 & -12 \\
          1 & -2 &1
        \end{pmatrix}
      \]
    \item
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

\end{exo}


\end{document}
