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\author{}
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%% Packages

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  citecolor=DarkBlue,
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  urlcolor=black,
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%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
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\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

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%% \fancypagestyle{fancy}{%
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%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
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\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
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%% Custom environments/macros

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\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

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\begin{document}
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%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 7 : suites et polynômes}\\[4pt]
  À rendre pour le vendredi 13 janvier 2023
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est proscrit lors des devoirs sur table, il est donc fortement recommandé de s'habituer dès maintenant à ces nouvelles exigences.

Pour les devoirs maison, il est possible de travailler à plusieurs pour réfléchir aux exercices, de se faire aider (après avoir essayé) ou de poser des questions au professeur. Par contre, il est indispensable que la rédaction des exercices soit personnelle.}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}


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% \begin{exo}
%   % C'est trop dur ! Notamment pour l'implication du signe constant sur la forme de la décomposition de P en produit de facteurs irréductibles.
%   On souhaite démontrer la propriété suivante, qui concerne les polynômes à coefficients réels : soit \(P\in\R[X]\) (et on écrit encore \(P\) la fonction polynômiale associée à \(P\)). Alors
%   \[
%     \forall x\in\R, P(x)\geq 0  \iff  \text{il existe } A,B\in\R[X] \text{ tels que }P=A^2+B^2.
%   \]
%   \begin{enumerate}
%   \item On commence par démontrer le sens réciproque : soient \(A,B\in\R[X]\). Montrer que \(P=A^2+B^2\) vérifie : \(\forall x\in\R, P(x)\geq 0\).
%   \end{enumerate}
%   Dans toute la suite, on s'intéresse au sens direct.
%   \begin{enumerate}[resume]
%   \item Soit \(P\in\R[X]\) un polynôme vérifiant : \(\forall x\in\R, P(x)\geq 0\). En regardant la limite en \(\pm\infty\) de \(P\), montrer que \(\deg(P)\) est pair.
%   \item On suppose un instant
%   \end{enumerate}
% \end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Trouver le reste dans les divisions euclidiennes suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item \(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\) par \(X^2 +2X + 1\)
  \item \(X^{50}\) par \(X^2-3X+2\)
  \item \(X^{50}\) par \((X-1)^2\).
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Soient $a,b,c$ trois nombres complexes de module $1$ vérifiant $a+b+c=1$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $|z| =1$, alors $ \overline{z} = \frac{1}z$. En déduire que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =1$.
  \item En déduire que \(ab+ac+bc = abc\).
  \item Écrire, sous forme développée, le polynôme unitaire de degré 3 dont les racines sont $a$, $b$ et $c$.
  \item Calculer la valeur de ce polynôme en \(1\), et en déduire que l'un des trois nombres $a$, $b$ ou $c$ est égal à $1$.
  \end{enumerate}
\end{exo}

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% \begin{exo}[Résolution approchée d'équations non linéaires par la méthode de la dichotomie]
%   Dans cet exercice, on se propose de développer une méthode pour résoudre des équations du type \(f(x) = 0\), où \(f\) est une fonction explicite, mais dont on ne connaît pas de réciproque.
  
%   Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle \(\sbra{a_0,b_0}\). On suppose que \(f(a_0)f(b_0) < 0 \)
%   \begin{enumerate}
%   \item Montrer qu'il existe un \(x\in\osbra{a_0,b_0}\) tel que \(f(x)=0\).
%   \end{enumerate}
%   Soit maintenant \(c_0=\frac{a_0+b_0}2\) la moyenne de \(a_0\) et \(b_0\). On est face à trois cas :
%   \begin{itemize}
%   \item soit \(f(a_0)f(c_0) < 0\), auquel cas il existe un \(x\in\osbra{a_0,c_0}\) tel que \(f(x)=0\) d'après la question a. ;
%   \item soit \(f(c_0) = 0\), auquel cas on a trouvé une solution du problème ; 
%   \item soit \(f(a_0)f(c_0) > 0\).
%   \end{itemize}
%   \begin{enumerate}[resume]
%   \item Faire un dessin pour chacun de ces trois cas de figure.
%   \item Montrer que si \(f(a_0)f(c_0) > 0\), alors \(f(c_0)f(b_0)<0\). 
%   \end{enumerate}
%   On va définir une suite de proche en proche, en fonction de si \(x\) est dans l'intervalle \(\osbra{a_0,c_0}\), ou si \(x\in\osbra{c_0,b_0}\). On pose, pour tout \(n\in\N\), \(c_n = \frac{a_n+b_n}{2}\), et
%   \[
%     (a_{n+1}, b_{n+1}) = 
%     \begin{cases}
%       (a_n, c_n) &\text{si } f(a_n)f(c_n) < 0\\
%       (c_n, c_n) &\text{si } f(c_n) = 0\\
%       (c_n, b_n) &\text{si } f(a_n)f(c_n) > 0
%     \end{cases}
%   \]
%   \begin{enumerate}[resume]
%   \item Montrer que la suite \((a_n)\) ainsi définie est croissante, et que la suite \((b_n)\) est décroissante.
%   \item Montrer que pour tout \(n\in\N\),
%     \[
%       \abs {b_{n+1}-a_{n+1}} \leq \frac12\abs{b_n-a_n}.
%     \]
%   \item En déduire que les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) convergent vers une même limite, qu'on note encore \(x\).
%   \item Montrer que pour tout \(n\in\N\), on a \(f(a_n)f(b_n) \leq 0\), et en déduire que \(f(x)=0\).
%   \end{enumerate}
% \end{exo}

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\begin{exo}[Méthode de Héron] Cette méthode permettant d'approximer la racine carrée de n'importe quel nombre est utilisée depuis des millénaires, puisqu'elle a été retrouvée dans un livre écrit par le mathématicien grec Héron. Elle porte son nom, bien qu'on sache que la méthode lui est antérieure.

  On cherche donc à résoudre l'équation \(x^2=a\) pour un certain \(a\in\R_+\), et l'idée est élégante :
  \begin{itemize}
  \item  On commence par considérer un rectangle de côtés \(a\) et \(1\), dont l'aire est donc égale à \(a\). On souhaite transformer ce rectangle afin qu'il ressemble un peu plus à un carré, tout en conservant son aire. En effet, si l'on obtient un carré de même aire, alors la longueur de ses côtés est égale à \(\sqrt a\), et on a donc calculé la racine carrée.
  \item On considère donc un nouveau rectangle, dont l'un des côtés est \(x_1=\frac{1+a}2\), et l'autre est choisi de telle manière que l'aire du nouveau rectangle soit toujours égale à \(a\), c'est à dire que son autre côté est \(y_1 = a/x_1 = \frac{2a}{1+a}\).
  \item Il suffit de maintenant de répéter l'opération. On définit un nouveau rectangle dont les côtés sont \((x_2,y_2)\), avec
    \[
      x_2 = \frac{x_1+y_1}2,\quad y_2=\frac{a}{x_2} = \frac{2a}{x_1+y_1}.
    \]
    On continue autant qu'on le souhaite. Le but de cet exercice est de montrer que cet algorithme est un bon algorithme, en ce sens qu'il converge vers la solution.
  \end{itemize}
  Soit \(a>1\). On s'intéresse à la suite \((x_n)\) définie par cet algorithme :
  \[
    \begin{cases}
      x_0 = a \\
      x_{n+1} = \ds\frac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2}&\forall n\in\N.
    \end{cases}
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite \((x_n)\) est bien définie.
  \item On considère la fonction
    \[
      \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{1.5}
      \begin{array}{rcl}
        f:&\R_+^* &\to \R_+^*\\
        &x&\mapsto \ds\frac{x^2+a}{2x}
      \end{array}
    \]
    Justifier que \(f\) est dérivable, puis dresser un tableau de variation de \(f\), en précisant ses valeurs pertinentes.
  \item Quelles sont les limites possibles de la suite \((x_n)\) ?
  \item Montrer que l'intervalle \(\osbrar{\sqrt a,+\infty}\) est stable par \(f\).
  \item En déduire que \((x_n)\) est décroissante.
  \item Montrer que \(\lim_{n\to+\infty} x_n = \sqrt a\).
  \item (Application). Dans cette question, on choisit \(a=2\). Calculer \(x_2\), le troisième terme de la suite. Combien de décimales ce nombre rationnel partage-t-il avec \(\sqrt 2\) ? (\emph{Rappel : \(\sqrt 2 = 1.41421...\)})

    À titre d'information, \(x_5\) est une très bonne approximation de \(\sqrt 2\), car ces nombres ont 23 décimales en commun !
  \end{enumerate}
\end{exo}


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\end{document}
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