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\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Corrigé du devoir en temps libre 7}
\end{center}

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item On pose la division euclidienne :
    \[
      \polylongdiv[style=D]{X^4+X^3+X^2+X+1}{X^2+2X+1}
    \]
    donc \(\boxed{X^4+X^3+X^2+X+1=(X^2-X+2)(X^2+2X+1)-2X-1}\).
  \item On cherche à faire la division euclidienne de \(X^{50}\) par un polynôme de degré 2, \(X^2-3X+2\). L'algorithme d'Euclide permet de trouver le reste et le quotient, mais comme le diviseur est un polynôme de petit degré et qu'on ne cherche à connaître que le reste, il est plus facile d'utiliser les racines du diviseur : \(X^2-3X+2 = (X-2)(X-1)\). D'après le théorème du cours, il existe des polynômes \(Q\in\R[X]\) et \(R\in\R_1[X]\) tels que
    \[
      X^{50} = (X^2-3X+2)Q(X) + R(X).
    \]
    \(R\) est de degré \(1\), donc il s'écrit \(R = aX + b\), où \(a,b\in\R\). Évaluons alors l'équation précédente en les racines de \(X^2-3X+2\), \(1\) et \(2\) :
    \[
      \begin{cases}
        1^{50} = R(1) = a+b,\\
        2^{50} = R(2) = 2a + b,
      \end{cases}
    \]
    et donc finalement \(a=2^{50}-1\) et \(b=2-2^{50}\). On en conclut donc que le reste de la division euclidienne de \(X^{50}\) par \(X^2-3X+2\) est \(\boxed{R = (2^{50}-1)X + 2 - 2^{50}}\).
  \item On procède de la même manière pour la division de \(X^{50}\) par \((X-1)^2\) : il existe \(Q\in\R[X]\) est \(R=aX+b\in\R_1[X]\) tels que 
    \[
      X^{50} = (X-1)^2Q(X) + aX+b.
    \]
    En évaluant cette équation en \(1\), on obtient, à nouveau, \(a+b=1\). Ici, \(1\) est une racine double du diviseur, et pour tirer profit de cette information, on peut dériver l'équation pour trouver
    \[
      50X^{49} = 2(X-1)Q(X) + (X-1)^2Q'(X) + a,
    \]
    et donc, en évaluant en \(1\), on trouve \(a=50\), d'où finalement \(b=-49\), et donc \(\boxed{R(X) = 50X-49}\).
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soit \(z\in\C\) tel que \(\abs z = 1\). En particulier, \(z\bar z=\abs z^2 =1\), et donc
    \[
      \bar z = \frac1z.
    \]
    Ainsi, si \(a,b,c\) sont de module égal à \(1\), et \(a+b+c=1\), alors
    \[
      1=\overline{a+b+c} = \bar a+ \bar b + \bar c = \frac1a+\frac1b+\frac1c.
    \]
  \item En multipliant l'égalité précédente par \(abc\), on obtient :
    \[
      abc = abc\pare*{\frac1a+\frac1b+\frac1c}=bc+ac+ab
    \]
  \item Soit \(P\) le polynôme unitaire de degré 3 dont les racines sont \(a,b\) et \(c\) :
    \begin{align*}
      P&=(X-a)(X-b)(X-c)\\
       &=X^3-(a+b+c)X^2 +(ab+ac+bc)X-abc\\
       &= X^3 - X^2 + abcX - abc 
    \end{align*}
  \item \(P(1) = 1-1+abc-abc=0\), donc \(1\) est une racine de \(P\). Or, on connaît les racines de \(P\), qui sont exactement \(a,b\) et \(c\), par construction. Par conséquent, \(1\in\{a,b,c\}\), c'est-à-dire que l'un des trois nombres \(a,b\) ou \(c\) est égal à \(1\).
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Le seul terme qui pourrait poser un problème de définition est le terme \(1/x_n\). Pour montrer que la suite est bien définie, il suffit donc de montrer, par récurrence, que \(x_n\neq 0\) pour tout \(n\in\N\). Comme \(x_0=a > 1\), la propriété est vraie pour \(n=0\). Supposons que \(x_n>0\) pour un certain \(n\in\N\). Alors
    \[
      x_{n+1} = \frac{x_n^2+a}{2x_n}>0,
    \]
    et donc, par principe de récurrence, \(x_n>0\) pour tout \(n\in\N\), et donc la suite est bien définie.
  \item La fonction \(f:x\mapsto \frac{x^2+a}{2x}\), définie sur \(\R_+^*\), est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions dérivables. Si \(x\in\R_+^*\),
    \[
      f'(x) = \frac{4x^2-2(x^2+a)}{4x^2} = \frac{x^2-a}{2x^2},
    \]
    et donc \(f'\) s'annule en \(x=\sqrt a\). Par ailleurs, \(f(\sqrt a) = \sqrt a\), et \(\lim_{x\to0^+} f(x) = +\infty\), et \(\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\), donc on dresse le tableau de variations suivant :
    \begin{center}
      \begin{tikzpicture}[yscale=.8]
        \tkzTabInit{$x$ / .7 , $f'(x)$ / .7, $f(x)$ / 2}%
        {$0$, $\sqrt{a}$, $+\infty$}
        \tkzTabLine{ d,-,0,+,}
        \tkzTabVar{D+/ $+\infty$, -/ $\sqrt a$, +/ $+\infty$}
      \end{tikzpicture}
    \end{center}
  \item La fonction \(f\) est continue sur \(\R_+^*\), et donc si la suite \((x_n)\) converge vers une limite strictement positive \(l\), alors \(f(l)=l\), le réel \(l\) est un point fixe de \(f\). Dans ce cas,
    \[
      l = \frac{l^2+a}{2l} \implies 2l^2 = l^2+a \implies l^2 = a,
    \]
    or, \(l>0\), et donc nécessairement, \(l=\sqrt a\). On a donc montré que si \((u_n)\) converge vers une limite strictement positive, cette limite est \(\sqrt a\).
  \item On a montré dans la question 2. que la fonction \(f\) est croissante sur \(\osbrar{\sqrt a,+\infty}\), et que \(f(\sqrt a)=\sqrt a\). Par conséquent, si \(x\geq\sqrt a\), alors \(f(x)\geq f(\sqrt a) = \sqrt a\), et donc \(\osbrar{\sqrt a,+\infty}\) est bien stable par \(f\).
  \item Comme \(a>1\), en particulier, \(a\geq\sqrt a\). Comme de plus l'intervalle \(\osbrar{\sqrt a,+\infty}\) est stable par \(f\), on en déduit que pour tout \(n\in\N\), \(x_n\geq \sqrt a\). On peut alors affirmer que \((x_n)\) est monotone, car \(f\) est croissante sur l'intervalle \(\osbrar{\sqrt a, +\infty}\), mais on va démontrer d'un seul coup que la suite est décroissante : pour ce faire, on étudie \(f(x)-x\) pour \(x\geq \sqrt a\):
    \[
      f(x)-x = \frac{x^2+a}{2x}-x = \frac{x^2-2x^2+a}{2x} = \frac{-x^2+a}{2x} \leq 0,
    \]
    et donc, si \(n\in\N\), \(x_{n+1}-x_n = f(x_n)-x_n \leq 0\), et la suite \((x_n)\) est décroissante.
  \item La suite \((x_n)\) est décroissante, et elle est minorée par \(\sqrt a\) d'après la question 5. D'après le théorème de la limite monotone, la suite \((x_n)\) est donc convergente, et sa limite est supérieure ou égale à \(\sqrt a>0\). Mais alors les conclusions de la question 3. s'appliquent : sa limite est forcément égale à \(\sqrt a\). On a donc montré que
    \[
      \lim_{n\to+\infty}x_n=\sqrt a.
    \]
  \item On choisit \(a=2\), et on calcule les premiers termes de la suite.
    \[
      x_0=2, \quad x_1=\frac{4+2}{4}=\frac32,\quad x_2=\frac{9/4+2}{3}=\frac{17}{12}.
    \]
    En posant la division euclidienne, on trouve que \(17/12=1,41666\dots\) Ainsi, l'approximation de \(\sqrt 2\) est plutôt bonne étant donnée la simplicité des calculs : leurs parties décimales ont deux chiffres en commun, autrement dit,
    \[
      \abs*{\sqrt 2-\frac{17}{12}} < 10^{-2}.
    \]
  \end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
