%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{mdwlist}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
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\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}
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\newcommand{\If}{]\!]}
\DeclareMathOperator{\0}{\mathbb{O}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 8}\\[4pt]
  À rendre pour le vendredi 27 janvier 2023
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est proscrit lors des devoirs sur table, il est donc fortement recommandé de s'habituer dès maintenant à ces nouvelles exigences.

Pour les devoirs maison, il est possible de travailler à plusieurs pour réfléchir aux exercices, de se faire aider (après avoir essayé) ou de poser des questions au professeur. Par contre, il est indispensable que la rédaction des exercices soit personnelle.}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}


\renewcommand\labelitemi{$\bullet$}
\renewcommand\labelitemii{$\cdot$}
\renewcommand\labelitemiii{$\diamond$}
\renewcommand\labelitemiv{$\ast$}

\begin{exo} Déterminer les limites suivantes :
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{x+2}{x^2\ln{x}} \quad\quad    \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{x+1}{x-3}\right)^x \quad\quad \lim_{x\to -\infty} x^2-2x+x\cos(x) \quad\quad \lim_{x\to +\infty} \frac{2+\cos(x)}{x+\sin(x)}.\]
\end{exo}


\begin{exo}
Calcul des valeurs approchées des racines du polynôme $P = X^3-6X^2+3X+1$.
\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Définir une fonction \texttt{Python} qui pour un réel $x$ donné, renvoie $P(x)$.
    \item Poser la division euclidienne de $P$ par $P'$.
    \item Dresser le tableau de variation de $x \mapsto P(x)$.
    
    \emph{La question précédente est utile pour déterminer le signe de $P$ là où sa dérivée s'annule.}
    \item Montrer que $P$ admet trois racines réelles que l'on notera $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$, avec $\alpha<\beta<\gamma$.
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
    \item Montrer que $0<\beta <1$.
    \item En appliquant la méthode de la dichotomie, calculer un encadrement à $\frac14$ près de $\beta$.
    
    \emph{Les étapes du calcul doivent apparaître sur la copie.}
    \item \'Ecrire une fonction \texttt{Python} dépendant de $\varepsilon$ qui renvoie une valeur approchée à $\varepsilon$ près de $\beta$ à l'aide de la dichotomie.
    
    \emph{Remarque.} Par exemple, on peut demander à la fonction de renvoyer la borne supérieure de l'intervalle obtenu, ce qui donnerait \texttt{0.8152084350585938} pour $\varepsilon=10^{-5}$.

    \end{enumerate}
    \item On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = u_1 = 0$, $u_2=1$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+3} = 6u_{n+2}-3u_{n+1} - u_n$.
    
    On pose de plus, pour tout $n \in \N$, $X_n= \begin{pmatrix}u_{n+2}\\u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} \in \M_{3,1}(\R)$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer qu'il existe une matrice $A \in \M_3(\R)$ telle que pour tout $n \in \N$, $X_{n+1} = A X_n$.
        \item Justifier que pour tout $n\in \N$, $X_n = A^n X_0$, puis que $u_n$ est le coefficient en position $3,1$ de $A^n$.
        \item Vérifier que $A^2 = \begin{pmatrix}33&-19&-6\\6&-3&-1\\1&0&0\end{pmatrix}$, calculer $A^3$, puis montrer que $P$ est un polynôme annulateur de $A$, c'est à dire que $P(A) = A^3-6A^2+3A+I_3 = \0_3.$
        \item Soit $n\in \N$. On note $R_n \in \R[X]$ le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $P$. Montrer que $R_n$ est de la forme $a_nX^2+b_nX+c_n$ où $(a_n,b_n,c_n) \in \R^3$ est la solution d'un système linéaire à préciser (mais que l'on ne cherchera pas à résoudre).
        \item Montrer que $A^n = a_nA^2+b_nA+c_nI_3$, puis que $u_n = a_n$.
        
        En résolvant le système de la question précédente, on admet que l'on obtient :
        $$a_n= \frac{\gamma^n(\beta-\alpha)+\beta^n(\alpha-\gamma)+\alpha^n(\gamma-\beta)}{(\beta-\alpha) \gamma^2 +(\alpha-\gamma)\beta^2 + (\gamma-\beta)\alpha^2}.$$
        \item Montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \gamma$.
        \item Compléter le programme \texttt{Python} suivant qui calcule les termes de $(u_n)$ jusqu'à $n=20$ et affiche $\frac{u_{20}}{u_{19}}$.
\begin{verbatim}
U=[0,0,1]
for k in range(2,20):
    U.append(......)
print(U[20]/U[19])
\end{verbatim}
\emph{Remarque.} On obtient le résultat suivant : \texttt{5.41147...}.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
    \item Donner la forme factorisée de $P$ en fonction de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ puis justifier que $\alpha+\beta+\gamma = 6$.
\item En déduire une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-5}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}