%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

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%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{mdwlist}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

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  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
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\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

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%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

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\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 10 : Espaces vectoriels}\\[4pt]
  À rendre pour le 4 avril
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em La présentation, la qualité de rédaction et la précision des raisonnements sont primordiales dans l'appréciation d'une copie de mathématiques.}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Soient \(E\) un espace vectoriel, et soit \(F_1,F_2\) des sous-espaces vectoriels de \(E\). 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que \(F_1\cap F_2\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
  \item Fournir un contre-exemple dans le cas de la réunion de sous-espaces vectoriels : donner un espace vectoriel \(E\) et des sous-espaces vectoriels \(F_1,F_2\)  tels que \(F_1\cup F_2\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E\). \emph{Indication : on pourra trouver des contre-exemples dans \(E=\R^2\).}
  % \item On veut montrer l'assertion suivante :
  %   \og \(F_1\cup F_2\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si, et seulement si, \(F_1\subset F_2\) ou \(F_2\subset F_1\). \fg
  %   \begin{enumerate}
  %   \item Montrer si l'un des sous-espaces vetoriels est inclus dans l'autre, alors leur réunion est un sous-espace vectoriel.
  %   \item Réciproquement, on suppose que \(F_1\cup F_2\) est un sous-espace vectoriel. On procède par l'absurde : supposons que \(F_1 \subsetneq F_2\) et \(F_2\subsetneq F_1\). Justifier l'existence de \(v_1\in F_1\setminus F_2\) et \(v_2\in F_2\setminus F_1\), et montrer que \(v_1+v_2\in F_1\cup F_2\).
  %   \item Grâce à une disjonction de cas, montrer que, nécessairement, \(v_1\in F_2\) ou \(v_2\in F_1\). \emph{Indication : si \(x\in A\cup B\), alors \(x\in A\) ou \(x\in B\)}.
  %   \item Conclure.
  %   \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Soient \(E,F,G\) trois \(\R\)-espaces vectoriels, et soit \(f\in\mc L(E,F)\) et \(g\in\mc L(F,G)\) des applications linéaires.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\Ker(f) \subset \Ker(g\circ f)\).
  \item Montrer que \(\im(g\circ f)\subset \im(g)\).
  \item En déduire que
    \begin{enumerate}
    \item si \(g\circ f\) est injective, alors \(f\) est injective,
    \item si \(g\circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.
    \end{enumerate}
  \item On considère maintenant les applications \(f\) et \(g\), définies sur l'ensemble des suites à valeurs réelles de la manière suivante : si \(u=(u_n)_{n\in\N}\in\R^\N\), alors
    \[
      (f(u))_n=
      \begin{cases}
        0 & \text{si }n=0,\\
        u_{n-1} &\text{si }n\geq 1,
      \end{cases}\qquad
      (g(u))_n = u_{n+1}.
    \]
    Montrer que \(g\circ f\) est bijective.
  \item En déduire une réponse à la question : si \(g\circ f\) est bijective, peut-on dire que \(f\) l'est aussi ?
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Dans cet exercice, \(E\) désigne l'ensemble des fonctions de \(\R\) dans \(\R\).
  \begin{enumerate}
  \item Soit \(T>0\), et soit \(F_T\subset E\) l'ensemble des fonctions \(T\)-périodiques. Montrer que \(F_T\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
  \item Considérons la fonction \(f:x\mapsto \sin(x) + \sin(\pi x)\), et supposons qu'il existe \(T>0\) tel que \(f\) soit \(T\)-périodique. 
    \begin{enumerate}
    \item Justifier que \(f'\) est \(T\)-périodique, puis que \(f''\) l'est aussi.
    \item En déduire que
      \[
      \left\{
      \begin{aligned}
        &\sin(T) + \sin(\pi T) = 0, \\
        &\sin(T) + \pi^2\sin(\pi T) = 0.
      \end{aligned}\right.
      \]
    \item Résoudre le système de la question b., et en déduire une absurdité. \emph{Indication : \(\pi\) n'est pas rationnel.}
    \item Est-ce que l'ensemble des fonctions \(f\in E\) périodiques est un sous-espace vectoriel ?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exo}

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\end{document}
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