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\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

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%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
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\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

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\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcommand{\elemiff}[1]{% elementary operations
  \stackrel{\substack{#1}}{\iff}}%

\newcounter{exercice}

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\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Corrigé du devoir en temps libre 10}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item On vérifie que \(F_1\cap F_2\) satisfait aux trois axiomes des sous-espaces vectoriels :
    \begin{itemize}
    \item il est clair que \(F_1\cap F_2\subset E\), puisque \(F_1\) et \(F_2\) sont des sous-ensembles de \(E\) :
    \item par ailleurs, par définition des sous-espaces vectoriels, \(O_E\) est un élément de \(F_1\) et \(F_2\), donc dans leur intersection ;
    \item finalement, soient \(x,y\in F_1\cup F_2\) et \(\lambda\in\K\). Alors \(\lambda x + y \in F_1\) puisque \(x,y\in F_1\), et \(F_1\) est stable par combinaisons linéaires. Par le même argument, \(\lambda x + y \in F_2\), et donc \(\lambda x + y\in F_1\cup F_2\).
    \end{itemize}
    On en conclut que \(F_1\cup F_2\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
  \item Dans \(\R\), on a vu que les seuls sous-espaces vectoriels sont \(\{O\}\) et \(\R\), donc on ne peut pas y construire de contre-exemple. On se place donc dans \(E=\R^2\), et on choisit \(F_1 = \Vect((1,0))\) et \(F_2=\Vect((0,1))\). Géométriquement, en assimilant \(\R^2\) au plan, \(F_1\) est l'axe des abscisses, et \(F_2\) est l'axe des ordonnées. Il est alors clair que \(F_1\cup F_2\) n'est pas un espace vectoriel : le point \((1,1)\) n'appartient ni à \(F_1\), ni à \(F_2\), mais est une combinaison linéaire d'éléments de \(F_1\cup F_2\) : \((1,1)=(1,0)+(0,1)\).
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soit \(v\in\Ker(f)\). Alors \((g\circ f)(v) = g(f(v)) = g(0_F) = 0_G\), et donc \(v\in\Ker(g\circ f)\). On donc montré que \(\Ker(f)\subset \Ker(g\circ f)\).
  \item Soit \(v\in\im(g\circ f)\). Par définition, il existe \(u\in E\) tel que \((g\circ f)(u) = v\). Mais alors \(f(u)\) est un antécédent de \(v\) par la fonction \(g\) : ainsi, \(v\in\im(g)\), et donc \(\im(g\circ f)\subset \im(g)\).
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Si \(g\circ f\) est injective, alors \(\Ker(g\circ f) = \{0_E\}\). D'après la question précédente, \(\Ker(f)\subset \Ker(g\circ f) = \{0_E\}\), et donc \(\Ker(f) = \{0_E\}\), et donc \(f\) est injective.
    \item Si \(g\circ f\) est surjective, alors \(\im(g\circ f) = G\). À nouveau, on a \(\im(g\circ f)\subset \im(g)\), donc \(\im(g) = G\) est \(g\) est surjective.
    \end{enumerate}
  \item L'application \(f\) décale les termes de la suite dans un sens, et l'application \(g\) les décale dans l'autre : \(g\circ f\) est l'identité. En effet, si \(u\in\R^\N\), et si \(n\in\N\),
    \[
      (g(f(u)))_n = (f(u))_{n+1} = u_n.
    \]
    Ainsi, \(g\circ f=\operatorname{id}_{\R^\N}\) est bien bijective.
    \par\emph{Remarque :} \(f\circ g\) n'est pas l'identité (et n'est même pas bijective), car on a toujours \((f(g(u)))_0=0\). 
  \item Dans l'exemple étudié dans la question précédente, \(g\circ f\) est bijective, mais l'application \(f\) elle même n'est pas surjective, puisque toute suite dont le premier terme n'est pas nul n'admet pas d'antécédent par \(f\). En règle générale, on ne peut donc pas dire plus que \(g\circ f\) est bijective \(\implies\) \(f\) est injective.
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{itemize}
    \item C'est une évidente que l'ensemble des fonctions \(T\)-périodiques est inclus dans l'ensemble des fonctions, \(F_T\subset E\).
    \item La fonction identiquement nulle est \(T\)-périodique, \(O_E\in F_T\).
    \item Soient \(f,g\in F_T\) et \(\lambda\in\R\). La fonction \(\lambda f+g\) est elle aussi \(T\)-périodique : en effet, si \(x\in\R\),
      \[
        (\lambda f+g)(x+T) = \lambda f(x+T) + g(x+T) = \lambda f(x) + g(x) = (\lambda f + g)(x).
      \]      
    \end{itemize}
    On en conclut que \(F_T\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Comme on a supposé que \(f\) est \(T\)-périodique, on a, pour tout \(x\in\R\),
      \[
        f(x+T) = f(x).
      \]
      Notons \(g\) la fonction qui à \(x\) associe \(f(x+T)\). La périodicité de \(f\) assure donc que \(f=g\). Par ailleurs, \(f\) est de classe \(\mc C^2\), et donc par dérivation, on obtient que \(f''=g''\). Or, si \(x\in\R\), \(g'(x) = f'(x+T)\), et \(g''(x)=f''(x+T)\). On a bien montré que \(f''\) est \(T\)-périodique.
    \item Comme \(f\) et ses dérivées sont \(T\)-périodique, on a
      \[
        \begin{cases}
          f(T) = f(0)\\
          f''(T)= f''(0)
        \end{cases} \iff
        \begin{cases}
          \sin(T) + \sin(\pi T) = 0 \\
          \sin(T) + \pi^2\sin(\pi T)=0.
        \end{cases}
      \]
    \item La matrice des coefficients du système linéaire précédent, d'inconnues \(\sin(T)\) et \(\sin(\pi T)\), est \(
      \begin{pmatrix}
        1 & 1\\
        1 & \pi^2
      \end{pmatrix}\). C'est une matrice inversible, car son déterminant \(\pi^2-1\) est non nul. On en déduit que nécessairement, \(\sin(T)=\sin(\pi T)=0\). Cela implique qu'il existe \(k, k'\in\N\) tels que
      \[
        T = k\pi \quad \text{et} \quad \pi T = k'\pi
      \]
      Comme on a supposé que \(T>0\), \(k>0\), et en substituant \(T\) dans les équations précédentes, on obtient \(\pi = k'/k\), ce qui est exclu. 
    \item La fonction \(f\) est la somme de deux fonctions périodiques (\(x\mapsto \sin(x)\), de période \(2\pi\), et \(x\mapsto \sin(\pi x)\), de période 2), mais on a montré que \(f\) n'est pas une fonction périodique. Ainsi, l'ensemble des fonctions périodiques n'est pas stable par combinaison linéaire, et n'est pas conséquent pas un sous-espace vectoriel de \(E\).
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
