%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

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%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{mdwlist}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
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\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

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\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 11 : Espaces vectoriels II}\\[4pt]
  À rendre pour le 28 avril.
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em La présentation, la qualité de rédaction et la précision des raisonnements sont primordiales dans l'appréciation d'une copie de mathématiques.}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Soit \(n\) un entier non nul. On effectue \(n\) lancers indépendants d'une pièce équilibrée.
  \begin{enumerate}
  \item Décrire clairement l'espace probabilisé qui modélise cette expérience.
  \item Quelle est la probabilité qu'au cours des \(n\) lancers, \og face \fg ne soit jamais suivi de \og pile \fg ?
  \item Déterminer la limite de cette probabilité lorsque \(n\to+\infty\).
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Suite des noyaux itérés]
  Soit \(E\) un \(\K\)-espace vectoriel, et soit \(f\in\mc L(E)\) un endomorphisme non nul. Notons, pour tout \(k\in\N\), \(N_k = \Ker(f^k)\), où \(f^k=\underbrace{f\circ f\circ\dots\circ f}_{k\text{ fois}}\), avec la convention \(f^0 = id_E\).
  \begin{enumerate}
  \item Étude d'un exemple. Dans cette question, \(E=\R^3\), on note \(\mc B=(e_1,e_2,e_3)\) une base de \(E\). On considère l'endormorphisme défini par
      \[
        f(e_1)=0,\quad f(e_2) = e_2+e_3,\quad f(e_3)=e_1.
      \]
    \begin{enumerate}
    \item Soit \(v\in\R^3\). On note ses coordonnées (dans la base \(\mc B\)) \((x,y,z)\). Donner les coordonnées de \(f(v)\) dans la base \(\mc B\).
    \item Déterminer le noyau de \(f\), ainsi que son image (donner une base de chacun de ces sous-espaces vectoriels).
    \item Faire de même avec \(f^2\) : déterminer son noyau \(N_2\) et son image.
    \item Calculer \(f^3(v)\). Que remarque-t-on ? Montrer que pour tout \(k\geq 2\), on a \(N_k=N_2\).
    \end{enumerate}
  \item On retourne dans le cas général, où \(f\) est simplement supposé non nul.
    \begin{enumerate}
    \item Que vaut \(N_0\) ?
    \item Montrer que pour tout \(k\in\N\), \(N_k\subset N_{k+1}\).
    \end{enumerate}
    On suppose à partir de maintenant qu'il existe un entier naturel \(p\in\N\) tel que \(N_p = N_{p+1}\).
    \begin{enumerate}[resume]
    \item Soit \(x\in N_{p+2}\). Montrer que \(f(x)\in N_{p+1}=N_p\), et en déduire que \(N_{p+1}=N_{p+2}\).
    \item En conclure, que pour tout \(k\geq p\), \(N_k=N_p\). 
    \end{enumerate}
  \item On suppose maintenant que \(E\) est de dimension finie égale à \(n\), et on pose, pour tout \(k\in\N\), \(n_k=\dim(N_k)\).
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que \((n_k)\) est une suite croissante d'entiers.
    \item Montrer qu'il existe \(p\in\N\) tel que pour tout \(k\in\N\),
      \[
        \begin{cases}
          k< p & \implies N_k \neq N_{k+1}\\
          k \geq p & \implies N_k = N_p.
        \end{cases}
      \]
      \emph{Indication : raisonner avec les dimensions des \(N_k\) : que peut-on dire si \(n_k=n_{k+1}\) ? Et dans le cas contraire ?}
    \item Montrer que \(p\leq n\).
    \end{enumerate}
  \item Application à la nilpotence : on dit que \(f\in\mc L(E)\) est \emph{nilpotent} s'il existe un entier \(k\in\N^*\) tel que \(f^k = 0_{\mc L(E)}\). On définit alors son \emph{indice de nilpotence}, noté \(p\), par le plus petit tel entier \(k\) vérifiant \(f^k = 0_{\mc L(E)}\). En d'autres termes, \(p\) est l'unique entier tel que
    \[
      f^p = 0_{\mc L(E)} \quad \text{et}\quad f^{p-1} \neq 0_{\mc L(E)}.
    \]
    Montrer que \(p\leq n\).
  \item Dans cette question, on se place dans l'espace des suites à valeurs réelles, \(E=\R^\N\), qui n'est pas un espace vectoriel de dimension finie. On définit l'application de shift à gauche par
    \[
      \arraycolsep=1.4pt
    \begin{array}{rcl}
      g: &\R^\N  &\to \R^\N\\
      &(u_0,u_1,u_2,\dots) &\mapsto (u_1,u_2,u_3,\dots) .
    \end{array}
  \]
  Pour tout \(k\in\N\), déterminer \(N_k\), et montrer que \(N_k\neq N_{k+1}\).
  \end{enumerate}
\end{exo}


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\end{document}
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