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\newtheorem{exo}{Exercice}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Corrigé du devoir en temps libre 11}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item L'univers de l'expérience aléatoire est l'ensemble des \(n\)-uplets de \(\{\text{pile},\text{face}\}\). Autrement dit, l'univers est \(\Omega=\{\text{pile},\text{face}\}^n\). Comme la pièce est équilibrée, et les lancers sont indépendants, la probabilité de chaque évènement élémentaire est égale à \((1/2)^n\), et on munit donc l'univers \(\Omega\) de la probabilité uniforme \(\PP\). L'espace probabilisé est \((\Omega,\mc P(\Omega), \PP)\).
  \item Pour \(i\in\dbra{1,n}\), on note \(F_i\) l'évènement : \og le \(i\)\ieme{} lancer donne ``face'' \fg. L'évènement \(B:\) \og ``face'' n'est jamais suivi de ``pile'' \fg{} est donc la réunion des évènements
    \begin{align*}
      A_0&=F_1\cap F_2 \cap F_3\cap \dots F_n \\
      A_1&=\overline{F_1}\cap F_2\cap F_3\cap\dots F_n\\
      A_2&=\overline{F_1}\cap \overline{F_2}\cap F_3\cap\dots F_n\\
      & \vdots \\
      A_n&= \overline{F_1}\cap \overline{F_2}\cap \overline{F_3}\cap\dots \overline{F_n}
    \end{align*}
    Les évènements \(A_i\) pour \(i\in\dbra{0,n}\) sont deux à deux incompatibles, donc la probabilité de \(B\) est égale à la somme des probabilités des \(A_i\). Ainsi, come les \(A_i\) sont des évènements élémentaires,
    \[
      \PP(B) = \sum_{i=0}^n A_i = \frac{n+1}{\Card(\Omega)}= \frac{n+1}{2^n}
    \]
  \item Par croissances comparées, on a : \(\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{2^n}=0\) : l'évènement \(B\) devient moins probable plus le nombre de lancers augmente, ce qui semble naturel.
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Si \(v=ae_1+be_2+ce_3\), alors
      \begin{align*}
        f(v)&= af(e_1) + bf(e_2) + cf(e_3) \\
        &= b(e_2+e_3) + c(e_1) = ce_1 + be_2 + be_3,
      \end{align*}
      donc dans la base \(\mc B\), les coordonnées de \(f(v)\) sont \((c, b, b)\).
    \item On raisonne dans la base \(\mc B\) : d'après la question précédente, \(v=(a,b,c)\in\Ker(f)\iff b=c=0\), donc \(\Ker(f) = \{(a,0,0), a\in\R\} = \Vect(e_1)\). De plus, \(\Im(f) = \Vect(f(e_1), f(e_2), f(e_3)) = \Vect(e_1,e_2+e_3)\), et la famille \((e_1,e_2+e_3)\) est clairement libre, c'est donc une base de \(\Im(f)\).
    \item On calcule l'image par \(f^2\) des vecteurs de la base \(\mc B\) :
      \[
        f^2(e_1) =0,\quad f^2(e_2)=f(e_2+e_3)=e_1+e_2+e_3,\quad f^2(e_3)=f(e_1)=0.
      \]
      Ainsi, dans la base \(\mc B\), \(f^2(a,b,c)=(b,b,b)\). On en déduit que
      \[
        \Ker(f^2) = \Vect(e_1,e_3),\quad \Im(f^2)=\Vect(e_1+e_2+e_3).
      \]
    \item On recommence avec \(f^3\) :
      \[
        f^3(e_1)= 0,\quad f^3(e_2) = f(e_1+e_2+e_3)= e_1+e_2+e_3,\quad f^3(e_3)=0,
      \]
      et on s'aperçoit que \(f^3\) et \(f^2\) coïncident sur la base \(\mc B\). Cela implique que \(f^3(v)=f^2(v)\) pour tout \(v\in\R^3\). On montre alors par une récurrence que pour tout \(k\geq 2\), \(f^k=f^2\) : c'est vrai pour \(k=2\) et pour \(k=3\). Supposons que \(f^k=f^2\) pour un certain \(k\geq 3\). Alors
      \[
        f^{k+1} = f\circ f^k = f\circ f^2= f^3 = f^2.
      \]
      Cela implique en particulier que pour tout \(k\geq 2\), \(N_k=\Ker(f^k)=\Ker(f^2)=N_2\).
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item \(N_0=\Ker(id_E) = \{0_E\}\).
    \item Soit \(k\in\N\), et soit \(x\in N_k\). Par définition, \(f^k(x)=0\), et donc \(f^{k+1}(x)= f(f^k(x))=0\), donc \(x\in N_{k+1}\). On a donc montré que \(N_k\subset N_{k+1}\).
    \item On suppose que \(N_p=N_{p+1}\). Soit \(x\in N_{p+2}\). Alors, par définition, \(0=f^{p+2}(x)=f^{p+1}(f(x))\), et donc \(f(x)\in N_{p+1}\). Or, \(N_p=N_{p+1}\), donc \(f(x)\in N_p\), et donc \(f^p(f(x))= f^{p+1}(x)=0\). On a ainsi montré que si \(N_{p+2}\subset N_{p+1}\). Mais d'après la question b., la suite \((N_k)\) est croissante : en particulier, \(N_{p+1}\subset N_{p+2}\), d'où l'égalité entre \(N_{p+1}\) et \(N_{p+2}\).
    \item Le résultat se démontre maintenant par récurrence : on a démontré dans la question précédente que si \(N_p=N_{p+1}\), alors \(N_{p+1}=N_{p+2}\). Cette propriété se propage donc à tous les entiers plus grands que \(p\), c'est-à-dire que pour tout \(k\geq p\), \(N_{k+1}=N_k\), donc \(N_k=N_p\).
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Puisque \(E\) est de dimension finie, les \(N_k\) sont eux aussi de dimension finie. Comme de plus, pour tout \(k\in\N\), on a \(N_k\subset N_{k+1}\), on en déduit que \(\dim(N_k) \leq \dim(N_{k+1})\), et que donc \(n_k\leq n_{k+1}\). La suite \((n_k)_{k\in\N}\) est croissante.
    \item La suite \((n_k)\) est une suite croissante d'entiers, et elle est majorée par \(n\), la dimension de \(E\). Elle ne peut pas être strictement croissante : il existe donc forcément \(k\in\N\) tel que \(n_k=n_{k+1}\). On note \(p\) le plus petit tel entier \(k\), c'est-à-dire que c'est l'unique entier qui vérifie
      \[
        \begin{cases}
          k<p\implies n_k<n_{k+1}\\
          n_p = n_{p+1}.
        \end{cases}
      \]
      Si \(k<p\), alors \(n_k\neq n_{k+1}\) implique que \(N_k\neq N_{k+1}\). En outre, on a \(N_p\subset N_{p+1}\), et \(\dim(N_p)=\dim(N_{p+1})\), et donc \(N_p=N_{p+1}\). D'après la question 2.d, on en déduit que pour tout \(k\geq p\), \(N_k=N_p\). En résummé, l'entier \(p\) vérifie :
      \[
        \begin{cases}
          k< p  \implies N_k \neq N_{k+1}\\
          k \geq p  \implies N_k = N_p.
        \end{cases}
      \]
    \item On a montré que \((n_k)\) est une suite strictement croissante pour \(k\in\dbra{0,p}\). Comme \(n_0\geq 0\), et comme pour tout \(k\in\dbra{0,p-1}\), \(n_{k+1}\geq n_k\), on peut montrer que \(n_k \geq k\) pour tout \(k\in\dbra{0,p}\). En particulier, \(n_p\geq p\). Or, on sait aussi que la suite \((n_k)\) est majorée par \(n\), et donc \(p\leq n_p\leq n\), donc \(p\leq n\).
    \end{enumerate}
  \item Soit \(f\in\mc L(E)\) une application nilpotente, et soit \(p\) sont indice de nilpotence. En reprenant les notations des questions précédentes, on a \(N_p=E\), et \(N_{p-1}\neq E\). Cela implique notamment que pour tout \(k\geq p\), \(N_k=N_p\), donc l'entier \(p\) est le même que celui défini dans la question 3.b, et en particulier, \(p\leq n\).
  \item Soit \(k\in\N\). l'application \(g^k\) est donnée par
    \[
      g^k((u_0,u_1,u_2,\dots)) = (u_k,u_{k+1},u_{k+2},\dots),
    \]
    donc son noyau est
    \[
      N_k=\{(u_n)_{n\in\N}\mid n\geq k\implies u_n=0 \},
    \]
    c'est l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à \(k-1\), \(\R_{k-1}[X]\). En particulier, on a toujours que \(N_k\subset N_{k+1}\), mais pour tout \(k\in\N\), cette inclusion est stricte : \(N_k\neq N_{k+1}\).
  \end{enumerate}

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
