%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\author{}
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%% Packages

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%% Packages setup

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%% Custom environments/macros


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\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 12 : problèmes}\\[4pt]
  Pour le 15 mai.
\end{center}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}

\section*{Modalités}
\begin{itemize}
\item Le sujet comporte trois problèmes qui ne requièrent pas de connaissances particulières en mathématiques. La classe est divisée en 3 groupes (de 5 personnes), chaque groupe traitera un sujet unique.
\item Vous pouvez vous organiser pour former les groupes, et vous attribuer les sujets.
\item Le lundi 15 mai aura lieu une présentation, dont la durée est de 40 minutes au maximum, en comptant les des questions éventuelles (c'est un maximum, pas un objectif).
\item Le reste de la classe fait partie du jury dans la mesure où tout le monde peut poser des questions.
\item Tous les supports sont autorisés pour la présentation (tableau et craie, projection d'un document informatique, dessins, etc.).
\item \emph{Le but de la présentation est d'exposer vos résultats de manière claire et convaincante : il s'agit de faire en sorte que le reste de la classe ait compris votre démarche et la solution du problème s'il y a lieu.}
\item Si vous n'avez pas résolu le problème en entier, ce n'est pas grave : présentez ce que vous avez pu démontrer, et expliquez ce qui bloque pour le reste. Vous pouvez aussi émettre des conjectures.
\item Si vous avez résolu le problème en entier, vous pouvez tout à fait rajouter des questions, généraliser le problème si cela vous paraît pertinent.
\end{itemize}

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\section*{Problèmes}

\subsection{Pavages carrés}
\begin{minipage}{9cm}
  Pour quels entiers \(n\in\N^*\) peut-on découper un carré en \(n\) carrés ? (Les carrés du pavage n'ont pas nécessairement tous la même taille.)
\end{minipage}\hspace*{2cm}
\begin{minipage}{5cm}
  \centering
  \includegraphics{asy/DM12_A.pdf}
  \captionof{figure}{un exemple de pavage pour \(n=7\)}
\end{minipage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Coloriages}
On colore le plan avec deux couleurs. Montrer qu'on peut trouver un triangle équilatéral dont les sommets sont de la même couleur.
\par \emph{Question bonus} : est-ce encore vrai pour un carré ?
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Découpage du plan}
Soit \(n\) un entier. En combien de morceaux au maximum peut-on découper le plan en traçant \(n\) lignes ?

\begin{figure}[h]
  \captionsetup{justification=centering,margin=2cm}
  \centering
  \includegraphics{asy/DM12_B.pdf}
  \caption{Des découpages avec 1 et 3 lignes, respectivement en 2 et 7 régions.\\Ces nombres sont-ils les plus grands possibles ?}
\end{figure}
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\end{document}
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