%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[a4paper, textwidth=17cm,textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir surveillé du 23/09/2022 : \\
  réels, suites, récurrence et sommes finies}
  
\end{center}
\bigskip

{\em L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est interdit.

La présentation, la qualité de rédaction et la précision des raisonnements sont primordiales dans l'appréciation d'une copie de mathématiques.

Il est conseillé de lire l'ensemble du sujet avant de commencer à composer. 

Ce sujet contient \textbf{\pageref*{LastPage} page}.

On peut admettre le résultat d'une question et poursuivre l'exercice.
} 

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo} Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
    \item  Montrer que pour $a$ et $b$ des réels strictement positifs, on a\; $\ds\frac{ab}{a+b} \leqslant \frac{a+b}4$.
    \item Soit $(u_n)_{n\in \N}$ la suite définie par $u_0 =0$ et pour tout $n\in \N$, $\ds u_{n+1} = u_n + \frac1{(n+1)(n+2)}$.
    
    Montrer par récurrence que pour tout $n\in \N$, on a $\ds u_n = \frac{n}{n+1}.$
    \item Résoudre les inéquations suivantes d'inconnue $x\in \R$ :
    $$(E_1) : \; x^2+ |x| \leqslant 6 \qquad\qquad \et \qquad \qquad(E_2) :\;  \frac{3x+1}{x^2+1} \leqslant 2.$$

    \item Montrer que pour $k$ et $n$ des entiers naturels, 
    $k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}\ds$.
\end{enumerate}
\end{exo}\bigskip

\begin{exo}
Soit $(u_n)_{n\geqslant1}$ la suite réelle définie par $u_1=2$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, $\ds u_{n+1} = 2\left(1 + \frac1n\right) u_n - n-1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ et $u_3$.
\item
Montrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant1$, on a $u_n > n$.
\item En déduire que $(u_n)$ est strictement croissante.
\item On définit, pour tout entier $n \geqslant 1$, $\ds v_n = \frac{u_n}n$.
\begin{enumerate}
\item
Montrer que la suite $(v_n)_{n\geq 1}$ est arithmético-géométrique, puis calculer son terme général.
\item
En déduire une expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo} Calculs de sommes
\begin{enumerate}
\item En appliquant directement les formules du cours, donner les sommes suivantes (pour $n \in \N^*$) :
\vspace{-1ex}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\ds \sum_{k=1}^n k$
\item $\ds \sum_{k=1}^n \pi^k$
\item $\ds \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}2^k 7^{2n-k}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Calculer les sommes suivantes (pour $n \in \N^*$) en détaillant les étapes :
\vspace{-1ex}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\ds \sum_{k=2}^{n+3} \ln\!\left(\sqrt{ \frac{k}{k+1}}\right)$
\item $\ds \sum_{k=1}^n \frac{1+3^{k}}{2^{k+1}}$
\item $\ds \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k+1}\e^k$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{-1ex}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 3$, on a $\ds \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n} > \frac{3}5$.
\item Montrer que pour tout entier $n\in \N$, $\ds \sum_{k=1}^n k! \leq 2n!$.
\end{enumerate}\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
