%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\title{}
\author{}
\date{}

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%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
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  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
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% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
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%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

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  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
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%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

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\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
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\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir surveillé du 14/10/2022 : \\
  raisonnements et étude de fonctions}
  
\end{center}
\bigskip

{\em L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est interdit.

La présentation, la qualité de rédaction et la précision des raisonnements sont primordiales dans l'appréciation d'une copie de mathématiques.

Il est conseillé de lire l'ensemble du sujet avant de commencer à composer. 

Ce sujet contient \textbf{\pageref*{LastPage} pages}.

On peut admettre le résultat d'une question et poursuivre l'exercice.
} 

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo} Les questions de cet exercice, proches du cours, sont indépendantes.
\begin{enumerate}
    \item Donner les parties réelle, imaginaire, la quantité conjuguée et le module du complexe $z=3+i$.
    \item Énoncer les formules d'Euler et la formule de Moivre.
    \item Linéariser $(\sin(x))^3$ pour $x\in\R$.
    \item Soit $\mathcal{C}$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. Pour tout $f$ dans $\mathcal{C}$, on définit les propositions $P(f)$ : "$f$ est une fonction impaire" et $Q(f)$ : "$f$ s'annule en $0$".\begin{enumerate}
    \item Pour $f$ dans $\mathcal{C}$, décrire $P(f)$, $Q(f)$ et leurs négations à l'aide de quantificateurs si nécessaire.
    \item Pour $f$ dans $\mathcal{C}$, donner la réciproque, la négation et la contraposée de l'implication "$P(f) \Longrightarrow Q(f)$".
    \item Démontrer que l'implication "$P(f)\Longrightarrow Q(f)$" est vraie pour tout $f$ dans $\mathcal{C}$.
    \item \'Ecrire une phrase ayant le même sens que cette implication, commençant par "Il est nécessaire que...".
    \end{enumerate}
    \item Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires. 
    \item Déterminer le domaine de définition et la dérivée, là où elle est définie,  des fonctions suivantes :
    $$ f:x \mapsto x \ln(x^2+x-2) \qquad \et \qquad g:x \mapsto \sqrt{\exp(2x) -2}.$$ 
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo} On note $E= \N^2$ l'ensemble des couples d'entiers, et on considère les trois parties de $E$ suivantes :
$$A=\big\{(a,b)\in E \,|\, \exists c \in \N, a^2+b^2= c^2\big\}, \qquad B = \big\{ (2n,n^2-1)\,;\, n \in \N^* \big\} \et C = \big\{ (a,b)\in E\,|\, a\leqslant 9 \text{ et }b \geqslant 13\big\}$$
\begin{enumerate}
    \item Donner un exemple d'élément de $A$, de $\overline{A}$, de $B$, de $\overline{B}$, de $C$ et de $\overline{C}$. 
    \item Donner un exemple d'élément de $A \cap C$.
    \item Démontrer que $B \subset A$. L'inclusion $A \subset B$ est-elle vraie ?
    \item En déduire que $(16,63) \in A$.
    \item Démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que $\forall k\in \N^*$, $(k,k) \notin A$.
    \item Peut-on tracer un triangle rectangle et isocèle dont les longueurs des trois côtés seraient des entiers ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo} On considère la fonction $f : x \mapsto \ln\!\left(1 + x^2 + 2 e^x\right)$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est définie sur $\R$.
\item Calculer la dérivée de $f$ sur son domaine de définition.
\item En étudiant la fonction $g : x \mapsto x + e^x$, justifier que $f'$ s'annule une seule fois sur $\R$.

On note $\alpha$ l'unique réel tel que $f'(\alpha) = 0$.
\item Montrer que $-1 \leqslant \alpha \leqslant 0$ et que $f(\alpha) = 2 \ln(1 - \alpha)$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ en précisant ses limites aux bords du domaine.
\item Donner l'équation de la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $0$.
\item On dit que la droite d'équation $y=ax+b$ (avec $a,b \in \R$) est une \emph{asymptote oblique} au graphe de $f$ en $+\infty$ si $\ds \lim_{x \to +\infty} \big(f(x)-ax-b\big) = 0$
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) - x $. \emph{Indice : si $h$ est une fonction continue en un réel $a$, alors $\lim\limits_{t \to 0} h(a+t) =h(a)$.}
    \item En déduire l'équation de l'asymptote oblique au graphe de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\item Montrer que $\lim\limits_{x \to - \infty} f(x) - 2 \ln(|x|) =0$.
\item \`A l'aide des questions précédentes, tracer l'allure du graphe de $f$ dans un repère orthonormé.

\emph{On pourra utiliser les valeurs approchées $\ln(2) \approx 0.7$ et $\ln(3) \approx 1.1$}.
\end{enumerate}

\end{exo}



\begin{exo}
Trouver l'erreur dans les raisonnements suivants.\\ \emph{Attention, le but n'est pas de montrer que la proposition démontrée est fausse, mais bien de pointer l'erreur commise ! La réponse doit être rédigée en maximum deux lignes.}
\begin{enumerate}
    \item 
\ogfg{
Montrons, par récurrence sur \(n \in\N^\star\), la propriété \(P(n)\) : "\(n\) points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés".

Pour \(n = 1\) et \(n = 2\), la propriété est vraie.
Supposons alors la propriété établie à un certain rang \(n \geq 2\).
Considérons \(n + 1\) points deux à deux distincts \(A_1, A_2, \dots , A_n, A_{n+1}\).
D'après l'hypothèse de récurrence, les points \(A_1, A_2, \dots , A_n\) sont alignés sur une droite \(D\).
Encore d'après l'hypothèse de récurrence, les points \(A_2, \dots , A_n, A_{n+1}\) sont alignés sur une droite \(D'\).
Or \(D\) et \(D'\) contiennent les deux points distincts \(A_2\) et \(A_n\), donc \(D = D'\).
Par conséquent \(A_1, A_2, . . . , A_n, A_{n+1}\) sont alignés sur la droite \(D\), et l'hérédité est établie. Par récurrence, on a donc démontré que $n$ points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés, pour tout $n\in \N^\star$.
}
\item
\ogfg{Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On sait que
\[
1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]
et 
\[
1 + 2 + \dots + n-1 = \frac{(n-1)n}{2}.
\]
Si on rajoute 1 à cette dernière égalité, on obtient :
\[
1 + 2 + \dots + n-1 + 1 = 1 + 2 + \dots + n = \frac{(n-1)n}{2} + 1,
\]
et on en déduit donc que \(n(n+1)/2 = (n-1)n/2 + 1\). En simplifiant cette expression, on obtient \(n=1\), et on a donc montré que tout entier naturel est égal à 1.
}
\end{enumerate}
\end{exo}



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\end{document}
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