%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[a4paper, textwidth=17cm,textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{csquotes}

\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir surveillé du 18/11/2022 : \\
  nombres complexes et équations différentielles}
  
\end{center}
\bigskip

{\em L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est interdit.

La présentation, la qualité de rédaction et la précision des raisonnements sont primordiales dans l'appréciation d'une copie de mathématiques.

Il est conseillé de lire l'ensemble du sujet avant de commencer à composer. 

On peut admettre le résultat d'une question et poursuivre l'exercice.
} 

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo} Les questions de cet exercice, proches du cours, sont indépendantes.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer l'ensemble des \(z\in\C\) tels que \(z^5 = 32\).
    \item Soient \(p, q\in\R\). Factoriser \(\sin(p)+\sin(q)\) en factorisant par l'arc moitié.
    \item Après avoir justifié qu'elle existe, donner une primitive de la fonction \(\arctan\) sur \(\R\).
    \item Résoudre l'équation différentielle
      \[
        (E_1):\forall x\in\R,\quad (1+x^4)y'(x) + 4x^3 y(x) = x^3,
      \]
      d'inconnue \(y:\R\to\R\).
    \item Trouver l'unique solution du problème de Cauchy
      \[
        \begin{cases}
          \forall x\in\R,\quad y''(x) - 3y'(x) + 2y(x) = 0, \\
          y(0) = 1, \\
          y'(0) = 0.
        \end{cases}
      \]
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} Déterminer le terme général de la suite suivante, définie par une récurrence double :
\[\left\{\begin{array}{l}
    u_0=0\\
    u_1=-4+4i\\
    u_{n+2}=(4+2i)u_{n+1}-(3+6i)u_n \quad \forall n\in \N.\end{array}\right. \]
\end{exo}

\begin{exo}
  En utilisant le principe de superposition et en cherchant des solutions particulières, résoudre l'équation différentielle
  \[
    (E_2):\forall x\in\R,\quad y''(x) - 4y'(x) + 4y(x) = e^x + (3x-1)e^{2x} + x -2,
  \]
  
\end{exo}

\begin{exo}
  Soient deux fonctions \(f,g:[0,1]\to\R\) continues et telles que \(\forall x\in[0,1]\),
  \[
    f(x)=\int_0^xg(t)dt, \quad g(x)=\int_0^x f(t)dt.
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Justifier que \(f\) et \(g\) sont dérivables, puis que leurs dérivées sont elles aussi dérivables.
  \item Déterminer une équation différentielle d'ordre 2 dont \(f\) et \(g\) sont solution, puis la résoudre.
  \item Que valent \(f(0)\) et \(f'(0)\) ? Conclure.
  \end{enumerate}
\end{exo}

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\end{document}
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