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\begin{document}
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\renewcommand\labelitemiii{$\cdot$}
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\begin{center}
\Large Corrigé du devoir surveillé \no 3
\end{center}
\hrule
\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item On remarque que \(z=2\) vérifie \(2^5=32\). Alors, si \(z\in\C\), \(z^5=32=2^5\) si, et seulement si, \(\pare*{\frac z2}^5=1\), c'est-à-dire si \(z/2\) est une racine 5e de l'unité. Or, les racines 5e de l'unité sont les \(e^{i2k\pi/5}\), avec \( k\in \{0,1,\dots, 4\}\). On en déduit que l'ensemble des \(z\in\C\) tels que \(z^5=32\) est
    \[
      \left\{ 2e^{\frac{ik\pi}{5}}, k\in\{0, 1, 2, 3, 4\} \right\}
    \]
  \item Soient \(p,q\in\R\). On a, par définition, \(\sin(p)+\sin(q)=\Im(e^{ip}+e^{iq})\). Or,
    \begin{align*}
      e^{ip}+e^{iq} &= e^{i(p+q)/2}\pare*{e^{i(p-q)/2} + e^{i(-p+q)/2}} \\
                    &= 2e^{i(p+q)/2}\cos\pare*{\frac{p-q}2}\\
                    &= 2\cos\pare*{\frac{p+q}2}\cos\pare*{\frac{p-q}2} + 2i\sin\pare*{\frac{p+q}2}\cos\pare*{\frac{p-q}2} 
    \end{align*}
    et donc
    \[
      \sin(p)+\sin(q) = 2\sin\pare*{\frac{p+q}2}\cos\pare*{\frac{p-q}2}.
    \]
  \item La fonction \(\arctan\) est continue sur \(\R\), et donc, d'après le théorème fondamental de l'analyse,
    \[
      F:x\mapsto \int_0^x\arctan(t)dt
    \]
    en est une primitive sur \(\R\). On se propose de calculer cette intégrale grâce à une intégration par parties : les fonctions \(\arctan\) et \(t\mapsto t\) sont toutes les deux de classe \(\mc C^1\) sur \(\R\), et donc, pour \(x\in\R\),
    \begin{align*}
      F(x) =\int_0^x \arctan(t)dt &= \sbra{t\arctan(t)}_0^x - \int_0^x \frac{t}{1+t^2}dt \\
                            &= x\arctan(x) - \sbra*{\frac12 \ln(1+t^2)}_0^x \\
                            &= x\arctan(x) - \frac12\ln(1+x^2).
    \end{align*}
  \item On peut remarquer que la fonction constante \(x\mapsto 1/4\) est une solution particulière de l'équation différentielle \((E_1)\). On résout l'équation homogène associée,
    \[
      (H_1) : \forall x\in\R, (1+x^4)y'(x) + 4x^3y(x) = 0.
    \]
    Comme \(1+x^4 >0\) pour tout \(x\in\R\), on peut normaliser l'équation \((H_1)\), et il suffit alors de trouver une primitive de la fonction \(x\mapsto \frac{4x^3}{1+x^4}\). Cette fraction est de la forme \(\frac{u'}{u}\), dont une primitive est \(\ln(\abs u)\), et donc les solutions de \((H_1)\) sont les éléments de l'ensemble
    \[
      S(H_1) = \{x\mapsto \alpha e^{-\ln(1+x^4)} = \frac{\alpha}{1+x^4}, \alpha\in\R\}.
    \]
    Finalement, l'ensemble des solutions de \((E_1)\) est
    \[
      S(E_1) = \left\{x\mapsto \frac{\alpha}{1+x^4} + \frac14, \alpha\in\R\right\}.
    \]
  \item On résout l'équation différentielle
    \[
      \forall x\in\R,\quad y''(x) - 3y'(x) + 2y(x) = 0.
    \]
    Son équation caractéristique est \(X^2 - 3X + 2 = 0\), dont les racines sont \(1\) et \(2\), et donc les solutions réelles de l'EDL sont les fonctions de la forme
    \[
      f:x\mapsto \alpha e^x + \beta e^{2x},
    \]
    où \(\alpha,\beta\in\R\).
    Une telle fonction \(f\) est la solution du problème de Cauchy si, et seulement si
    \[
      \left\{\begin{aligned}
        f(0) &= \alpha + \beta = 1 \\
        f'(0) &= \alpha + 2\beta = 0
      \end{aligned}\right. \iff
    \left\{\begin{aligned}
        \alpha &= 2 \\
        \beta &= -1.
      \end{aligned}\right.
    \]
    On en conclut que l'unique solution du problème de Cauchy est la fonction
    \[
      f:x\mapsto 2e^x-e^{2x}.
    \]
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
L'équation caractéristique associée à la suite $(u_n)_{n\in \N}$ est $r^2-(4+2i)r + 3+6i =0$. Le discriminant de ce polynôme de degré $2$ est
\[\Delta = (4+2i)^2 - 4(3+6i)=-8i.\]
Déterminons les racines carrés de $\Delta$ sous forme algébrique : si $(x,y)\in \R^2$, alors 
\[
  (x+iy)^2=\Delta \Longleftrightarrow \left\{
    \begin{array}{l}
      x^2 +y^2 = \abs\Delta=8\\
      x^2 - y^2 = 0\\
      2xy=-8\end{array}\right.
\]
Comme $\Delta$ est un complexe non nul, il admet exactement deux racines carrées complexes, opposées l'une de l'autre. Si $x+iy$ est une telle racine, en sommant les deux premières lignes, on obtient $2x^2=8$, et la deuxième ligne nous donne $y^2=x^2=4$. La troisième ligne indique que $x$ et $y$ sont nécessairement de signes opposés. Les deux racines carrées de $\Delta$ sont donc $\pm (2-2i)$. Par conséquence, les racines de l'équation caractéristiques sont 
\[
  r_1= \frac{4+2i + (2-2i)}2=3 \et r_2=\frac{4+2i - (2-2i)}2=1+2i
\]
Il existe alors deux constantes complexes $A$ et $B$ tel que le terme général de la suite s'écrit à l'aide de ces racines :
\[
  \forall n\in \N, u_n= A r_1^n + B r_2^n.
\]
Déterminons ces constantes à l'aide des données initiales :
\[
  \left\{
    \begin{array}{l}
      0=u_0 = A+B\\
      -4+4i = u_1 = Ar_1 + Br_2 \end{array}\right. 
  \Longleftrightarrow
  \left\{
    \begin{array}{l}
      B=-A\\
      -4+4i = A(r_1 -r_2 )= A (2-2i)\end{array}\right.
\]
Ainsi si $A$ et $B$ sont les constantes associées à $(u_n)$, on a nécessairement $(A,B)=(-2,2)$. On peut donc conclure :
\[\forall n\in \N,\quad u_n= A r_1^n + B r_2^n= -2 \times 3^n + 2(1+2i)^n .\]
\end{exo}


\begin{exo}
  \begin{itemize}[wide]
    
  \item   On commence par résoudre l'équation homogène associée,
    \[
      (H_2) : \forall x\in\R,\quad y''(x) - 4y'(x) + 4 y(x)=0.
    \]
    L'équation caractéristique associée à \((H_1)\) est \(X^2-4X+ 4=0\), qui admet une unique racine double \(X=2\). Par conséquent, l'ensemble des solutions réelles de \((H_2)\) est
    \[
      S(H_2) = \{ x\mapsto (\alpha+\beta x)e^{2x}, \alpha,\beta\in\R\}.
    \]
  \item Cherchons maintenant des solutions particulières pour les seconds membres \(b_1 : x\mapsto e^x\), \(b_2 : x\mapsto (3x-1)e^{2x}\) et \(b_3 : x\mapsto x-2\). Le cas de \(b_1\) et \(b_3\) sont les plus faciles à traiter, commençons par là. Pour \(b_1\), comme \(1\) n'est pas une solution de l'équation caractéristique, il existe une solution particulière \(\vphi_1\) de la forme \(\vphi_1:x\mapsto Ce^x\), où \(C\) est une constante réelle. Après injection dans l'équation différentielle, on trouve, pour tout \(x\in\R\), \((C-4C+4C)e^x = e^x\), et donc \(C=1\).

    Pour \(b_3\), on cherche une solution particulière \(\vphi_3\) de la forme \(\vphi_3 : x\mapsto \alpha x + \beta\). Un calcul direct donne : \(\vphi_3\) est une solution particulière pour le second membre \(b_3\) si, et seulement si, pour tout \(x\in\R\), \(-4\alpha + 4\alpha x + 4\beta = x-2\), ce qui est équivalent à \(\alpha=\frac14\) et \(\beta=-\frac14\).

    Finalement, pour \(b_2\), le calcul est un peu plus laborieux car \(2\) est racine double de l'équation caractéristique. Ainsi, il existe \(A\) et \(B\) tels que \(\vphi_2:x\mapsto x^2(Ax+B)e^{2x}\) est une solution particulière. On calcule les dérivées successives de \(\vphi_2\) : pour \(x\in\R\),
    \begin{align*}
      \vphi_2(x) &= (Ax^3 + Bx^2) e^{2x} \\
      \vphi_2'(x) &= ( 2Ax^3 + (3A+2B)x^2 + 2Bx)e^{2x}\\
      \vphi''_2(x) &= ( 4Ax^3 + (12A+4B)x^2 + (6A+8B)x + 2B)e^{2x}.
    \end{align*}
    Ainsi, \(\vphi_2''(x) - 4 \vphi_2'(x) + 4\vphi_2(x) = (3x-1)e^{2x}\) pour tout \(x\in\R\) si, et seulement si, \(A\) et \(B\) sont des solutions du systèmes d'équation
    \[
      \left\{\begin{aligned}
          &4A - 8A + 4A = 0 \\
          &12A + 4B - 12A -8B + 4B=0\\
          &6A + 8B - 8B= 3\\
          &8B = -1
        \end{aligned}\right. \iff
      \left\{\begin{aligned}
          6A &= 3\\
          8B &= -1.
        \end{aligned}\right.
    \]
  \item On peut enfin utiliser le principe de superposition pour conclure que l'ensemble des solutions réelles de \((E_2)\) est
    \[
      S(E_2) = \left\{ x\mapsto \pare*{\alpha+\beta x -\frac18x^2 +\frac12 x^3}e^{2x} + e^x + \frac14 x - \frac14, \alpha,\beta\in\R\right\}.
    \]
  \end{itemize}
\end{exo}
  
\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item La fonction \(g\) est continue sur \(\sbra{0,1}\), et donc, d'après le théorème fondamental de l'analyse, la fonction \(x\mapsto \int_0^x g(t)dt\) est dérivable, et c'est une primitive de \(g\). On en déduit donc que \(f\) est dérivable, et que \(f'=g\). Le même argument permet de démontrer que \(g\) est dérivable, et que \(g'=f\). Il s'ensuit alors que \(f'\) est elle-même dérivable, et il en va de même pour \(g'\).
  \item D'après la question précédente, on peut affirmer que \(f''=g'=f\), et que \(g''=f'=g\). Par conséquent, les fonctions \(f\) et \(g\) sont toutes les deux solutions de l'équation différentielle
    \[
      (E_3) : \forall x\in\sbra{0,1}, \quad y''(x) - y(x) = 0.
    \]
    Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme \(x\mapsto \alpha e^x + \beta e^{-x}\), où \(\alpha,\beta\) sont des constantes réelles.
  \item Par hypothèse, \(f(0) = \int_0^0 g(t)dt = 0\). De même, \(f'(0) = g(0) = \int_0^0 f(t)dt = 0\). Or, comme \(f\) est une solution de \((E_3)\), il existe \(\alpha,\beta\in\R\) tels que \(f:x\mapsto \alpha e^x + \beta e^{-x}\). Mais puisque \(f(0)=f'(0) = 0\), on a nécessairement \(\alpha = \beta = 0\). Par conséquent, \(f\) est la fonction nulle, et \(g\) est nulle elle aussi. Ce sont les seules fonctions qui vérifient la propriété de l'énoncé.
  \end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}