%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[a4paper, textwidth=17cm,textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{mdwlist}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir surveillé du 8/12/2022 : \\
    Résolution de systèmes linéaires}
\end{center}
\bigskip

{\em L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est interdit.

La présentation, la qualité de rédaction et la précision des raisonnements sont primordiales dans l'appréciation d'une copie de mathématiques.

Il est conseillé de lire l'ensemble du sujet avant de commencer à composer. 

On peut admettre le résultat d'une question et poursuivre l'exercice.
} 

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}


\begin{exo}[Méli-mélo] Les questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre les systèmes suivants :
    \[
      (S_1) :
      \begin{cases}
        x - y + 2z = 1 \\
        2x - 3y + z = 4\\
        x - 3y - 4z = 5
      \end{cases} \quad
      (S_2) :
      \begin{cases}
        2x - y + 3z = 1\\
        x + y-  z = 2\\
        x -2y + 4z = 1
      \end{cases}
    \]
  \item Soit \(A =
    \begin{pmatrix}
      1 & -1 & 0 \\
      0 & 1  & -1\\
      0 & 0 & 1
    \end{pmatrix}\).
    En écrivant \(A = I_3 + B\), commencer par calculer \(B^n\) pour tout \(n\in\N\), et en déduire une expression de \(A^n\) pour tout \(n\in\N\).
  \item Déterminer la limite des suites suivantes :
    \[
      u_n = 3^n - n^22^n,\quad v_n= \frac{\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n}}{2n + 3}.
    \]
  \item Pour \(\theta\in\R\), on définit
    \[
      R(\theta) =
      \begin{pmatrix}
        \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
        \sin(\theta) & \cos(\theta)
      \end{pmatrix}.
    \]
    Montrer que pour tous \(\theta,\theta'\in\R\), \(R(\theta)R(\theta') = R(\theta+\theta')\). Que vaut \(R(0)\) ? En déduire que pour tout \(\theta\in\R\), \(R(\theta)\) est inversible, et donner son inverse.
  \item Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites de réels positifs telles que \(\lim_{n\to+\infty} (u_n+v_n) =0\). Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers 0.
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Résoudre le système suivant en fonction de la valeur du paramètre \(m\in\R\) et de \(a,b,c\in\R\) :
  \[
    (S_m) : \left\{
      \begin{aligned}
        &mx + my + mz = a\\
        &x + my + z = b\\
        &x + y + mz = c
      \end{aligned}\right.
  \]
  \emph{Indication : il faudra faire des disjonctions de cas selon la valeur de \(m\).}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  On considère la suite de Fibonacci  \((F_n)_{n\in\N}\), définie comme suit :
  \[
    \begin{cases}
      F_0 = 0, \\
      F_1 = 1, \\
      F_{n+2} = F_{n+1} + F_n, \quad \forall n\in\N.
    \end{cases}
  \]
  On définit aussi la matrice \(A =
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    1 & 0
  \end{pmatrix}\).

  \begin{enumerate}
  \item Calculer les 5 premiers termes de la suite de Fibonacci, puis calculer \(A^2\) et \(A^3\).
  \item Déterminer le terme général de la suite \((F_n)\).
  \item Quelle est la limite de \(\frac{F_{n+1}}{F_n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\)?
  \item Montrer que pour tout entier naturel \(n\geq 1\),
    \[
      A^n =
      \begin{pmatrix}
        F_{n+1} & F_n \\
        F_n & F_{n-1}
      \end{pmatrix}.
    \]
  \item En déduire que pour tous entiers \(n, p\) tels que \(n\geq1\) et \(p\geq 1\),
    \[
      F_{n+p} = F_{n+1}F_p + F_nF_{p-1}.
    \]
  \end{enumerate}
\end{exo}

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\end{document}
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