%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\author{}
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  \stackrel{\substack{#1}}{\iff}}%

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\renewcommand\labelitemii{$\diamond$}
\renewcommand\labelitemiii{$\cdot$}
\renewcommand\labelitemiv{$\ast$}
\begin{center}
\Large Corrigé du devoir surveillé \no 4
\end{center}
\hrule

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item On réécrit les systèmes sous forme matricielle. Le système \((S_1)\) devient
    \begin{align*}
      \left(
        \begin{array}{ccc|c}
          1 & -1 & 2 & 1 \\
          2 & -3 & 1 & 4\\
          1 & -3 & -4 & 5 
        \end{array}
      \right)
      \elemiff{L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\\ L_3 \leftarrow L_3-L_1}
      &\left(
        \begin{array}{ccc|c}
          1 & -1 & 2 & 1 \\
          0 & -1 & -3 & 2\\
          0 & -2 & -6 & 4 
        \end{array}
      \right)
      \elemiff{L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2}
      \left(
        \begin{array}{ccc|c}
          1 & -1 & 2 & 1 \\
          0 & -1 & -3 & 2\\
          0 & 0 & 0 & 0  
        \end{array}
      \right) \\
      \elemiff{L_2 \leftarrow -L_2 }
      &\left(
        \begin{array}{ccc|c}
          1 & -1 & 2 & 1 \\
          0 & 1 & 3 & -2\\
          0 & 0 & 0 & 0  
        \end{array}
      \right)
      \elemiff{L_2 \leftarrow -L_2 }
      \left(
        \begin{array}{ccc|c}
          1 & 0 & 5 & -1 \\
          0 & 1 & 3 & -2\\
          0 & 0 & 0 & 0 
        \end{array}
      \right)
    \end{align*}
    donc l'ensemble des solutions de \((S_1)\) est
    \[
      \mc S(S_1) = \{ (-1 - 5z, -2 -3z,z), z\in\R\}
    \]
    Le système \((S_2)\) devient
    \begin{align*}
      \left(
        \begin{array}{ccc|c}
          2 & -1 & 3 & 1 \\
          1 & 1 & -1 & 2\\
          1 & -2 & 4 & 1  
        \end{array}
      \right)
      \elemiff{L_1 \leftrightarrow L_2}
      \left(
        \begin{array}{ccc|c}
          1 & 1 & -1 & 2\\
          2 & -1 & 3 & 1 \\
          1 & -2 & 4 & 1  
        \end{array}
      \right)
      \elemiff{L_2 \leftarrow L_2-2L_1 \\ L_3 \leftarrow L_3-L_1}
      \left(
        \begin{array}{ccc|c}
          1 & 1 & -1 & 2\\
          0 & -3 & 5 & -3 \\
          0 & -3 & 5 & -1  
        \end{array}
      \right)\\
      \elemiff{L_3 \leftarrow L_3-L_2}
      \left(
        \begin{array}{ccc|c}
          1 & 1 & -1 & 2\\
          0 & -3 & 5 & -3 \\
          0 & 0 & 0 & 2  
        \end{array}
      \right)
    \end{align*}
    et donc le système est incompatible, \(\mc S(S_2)=\emptyset\).
  \item Soit \(B=
    \begin{pmatrix}
      0 & -1 & 0 \\
      0 & 0 & -1 \\
      0 & 0 & 0
    \end{pmatrix}\). On trouve facilement que \(B^2 =
    \begin{pmatrix}
      0 & 0 & 1 \\
      0 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 0 
    \end{pmatrix}\), et \(B^3=0\). On en déduit que pour tout \(n\geq 3\), \(B^n=0\).

    Maintenant, comme \(A = B + I_3\), et comme \(B\) et \(I_3\) commutent, on peut utiliser le binôme de Newton pour calculer les puissances de \(A\). Soit \(n\geq 2\).
    \[
      A^n = (B+I_3)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} B^k = I_3 + nB + \frac{n(n-1)}{2}B^2
    \]
    et donc
    \[
      A^n =
      \begin{pmatrix}
        1 & -n & \frac{n(n-1)}{2}\\
        0 & 1 & -n \\
        0 & 0 & 1
      \end{pmatrix}.
    \]
  \item Soit \(n\in\N\).
    \[
      u_n = 3^n - n^22^n = 3^n\pare*{1 - n^2\pare*{\frac23}^n},
    \]
    or, par d'après le théorème des croissances comparées, \(\lim_{n\to+\infty}n^2 (2/3)^n = 0\) car \(0 <2/3 <1\), et on en déduit que \(\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty\).

    Intéressons-nous maintenant à la suite \(v_n\). Comme on a affaire à une fraction, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme dominant : soit \(n\in\N^*\),
    \begin{align*}
      v_n = \frac{\sqrt{n^2+n}-\sqrt n}{2n+3} &= \frac{n(\sqrt{1+1/n^2}-\sqrt{1/n})}{n(2+3/n)} \\
      &= \frac{\sqrt{1+1/n^2}-\frac1{\sqrt n}}{2+\frac3n}
    \end{align*}
    Or, \(1/n^2\xrightarrow[n\to+\infty]{}0\), idem pour \(1/\sqrt n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0\), et \(3/n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0\), donc la limite n'est pas indéterminée, et on en conclut que \(\lim_{n\to+\infty}v_n = \frac12\).
  \item Soient \(\theta,\theta'\in\R\). On calcule
    \begin{align*}
      R(\theta)R(\theta') &=       \begin{pmatrix}
        \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
        \sin(\theta) & \cos(\theta)
      \end{pmatrix}      \begin{pmatrix}
        \cos(\theta') & -\sin(\theta') \\
        \sin(\theta') & \cos(\theta')
      \end{pmatrix}\\
      &=
        \begin{pmatrix}
          \cos(\theta)\cos(\theta') - \sin(\theta)\sin(\theta') & -\cos(\theta)\sin(\theta') - \sin(\theta)\cos(\theta')\\
           \sin(\theta)\cos(\theta')+\cos(\theta)\sin(\theta') & \cos(\theta)\cos(\theta') - \sin(\theta)\sin(\theta') 
         \end{pmatrix} \\
      &=
        \begin{pmatrix}
          \cos(\theta+\theta') & -\sin(\theta+\theta') \\
          \sin(\theta+\theta') & \cos(\theta+\theta')
        \end{pmatrix} = R(\theta+\theta').
    \end{align*}
    Par ailleurs, \(R(0) = I_2\), et donc \(R(\theta)R(-\theta)=R(\theta-\theta) = R(0) = I_2\), ce qui montre que \(R(\theta)\) est inversible, et \(R(\theta)^{-1} = R(-\theta)\).
  \item Comme les termes des suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont positifs, on a : pour tout \(n\in\N\),
    \[
      0 \leq u_n \leq u_n + v_n.
    \]
    Or, la suite \((u_n+v_n)\) converge vers \(0\), et donc le théorème des gendarmes s'applique : la suite \((u_n)\) converge elle aussi vers 0. Le même argument, appliqué à l'autre suite, permet de montrer que \((v_n)\) converge elle aussi vers 0 (ou encore, en écrivant \(v_n = (u_n + v_n) - u_n\) ).
  \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
  On écrit \((S_m)\) sous forme matricielle :
  \begin{align*}
    \pare*{\begin{array}{ccc|c}
             m & m & m & a \\
             1 & m & 1 & b \\
             1 & 1 & m & c \\
           \end{array}}
    \elemiff{L_1 \leftrightarrow L_3}
    \pare*{\begin{array}{ccc|c}
             1 & 1 & m & c \\
             1 & m & 1 & b \\
             m & m & m & a \\
           \end{array}}
    \elemiff{L_2 \leftarrow L_2-L_1\\ L_3 \leftarrow L_3 -mL_1 }
    \pare*{\begin{array}{ccc|c}
             1 & 1 & m & c \\
             0 & m-1 & 1-m & b-c \\
             0 & 0 & m-m^2 & a-mc \\
           \end{array}}
  \end{align*}
  Pour continuer, il faut séparer les cas où le coefficient \(m-m^2\) est nul, et les cas où il ne l'est pas. Or \(m-m^2=0\) ssi \(m=0\) ou \(m=1\).
  \begin{itemize}[wide]
  \item Cas \(m=1\). Le système devient
    \[
      \pare*{\begin{array}{ccc|c}
               1 & 1 & 1 & c \\
               0 & 0 & 0 & b-c \\
               0 & 0 & 0 & a-c 
             \end{array}}
    \]
    et donc le système est compatible si, et seulement si \(b-c = a-c = 0\), c'est-à-dire \(a=b=c\). Dans ce cas, l'ensemble des solutions est donc :
    \[
      \mc S(S_1) = \{(x,y,a-x-y), x,y\in\R \}.
    \]
    Si la condition \(a=b=c\) n'est pas vérifiée, alors \(\mc S(S_1) = \emptyset\).
  \item Cas \(m=0\).
    Le système devient
    \begin{align*}
      \pare*{\begin{array}{ccc|c}
               1 & 1 & 0 & c \\
               0 & -1 & 1 & b-c \\
               0 & 0 & 0 & a \\
             \end{array}}
      \elemiff{L_1 \leftarrow L_1+L_2}
            \pare*{\begin{array}{ccc|c}
               1 & 0 & 1 & b \\
               0 & -1 & 1 & b-c \\
               0 & 0 & 0 & a \\
                   \end{array}}
      \elemiff{L_2 \leftarrow -L_2}
      \pare*{\begin{array}{ccc|c}
               1 & 0 & 1 & b \\
               0 & 1 & -1 & -b+c \\
               0 & 0 & 0 & a \\
             \end{array}}
    \end{align*}
    et donc le système est compatible si, et seulement si, \(a=0\). Si \(a\neq 0\), \(\mc S(S_0) = \emptyset\), et si \(a=0\),
    \[
      \mc S(S_0) = \{(b-z,-b+c+z,z), z\in\R\}.
    \]
  \item Cas \(m\in\R\setminus\{0,1\}\). Dans ce cas, on poursuit les calculs :
    \begin{align*}
      \pare*{\begin{array}{ccc|c}
               1 & 1 & m & c \\
               0 & m-1 & 1-m & b-c \\
               0 & 0 & m-m^2 & a-mc \\
             \end{array}}
      &\elemiff{L_2\leftarrow 1/(m-1)\times L_2 \\ L_3\leftarrow 1/(m-m^2)\times L_3}
      \pare*{\begin{array}{ccc|c}
               1 & 1 & m & c \\
               0 & 1 & -1 & \frac{b-c}{m-1} \\
               0 & 0 & 1 & \frac{a-mc}{m-m^2}
             \end{array}}\\
      &\elemiff{L_1\leftarrow L_1 - m L_3 \\ L_2\leftarrow L_2+L_3}
      \pare*{\begin{array}{ccc|c}
               1 & 1 & 0 & c -\frac{a-mc}{1-m}\\
               0 & 1 & 0 & \frac{b-c}{m-1}+\frac{a-mc}{m-m^2} \\
               0 & 0 & 1 & \frac{a-mc}{m-m^2} \\
             \end{array}}\\
    \end{align*}
    donc le système a une unique solution \((x,y,z)\), avec
    \begin{align*}
      z &= \frac{a-mc}{m-m^2}, \\
      y &= \frac{b-c}{m-1}+\frac{a-mc}{m-m^2} = \frac{a-mb}{m-m^2},\\
      z &= c - \frac{a-mc}{1-m} - y = \frac{-(m+1)a + mb + mc}{m-m^2}.
    \end{align*}
  \end{itemize}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item \(F_0 =0\), \(F_1 =1\), \(F_2 =1\), \(F_3 =2\), \(F_4 =3\). On peut aller plus loin : la suite s'écrit \(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,\dots\).

    On calcule les puissances de \(A\) :
    \[
      A =
      \begin{pmatrix}
        1& 1\\ 1&0
      \end{pmatrix},\quad
      A^2 =
      \begin{pmatrix}
        2& 1\\ 1&0
      \end{pmatrix},\quad
      A^3 =
      \begin{pmatrix}
        3& 2\\ 2&1
      \end{pmatrix}.
    \]
  \item La suite \((F_n)\) est une suite récurrente d'ordre 2 à coefficients constants. Pour déterminer son terme général, on commence par résoudre son équation caractéristique \(x^2-x-1=0\). Les racines de ce polynôme sont
    \[
      \varphi = \frac{1+\sqrt5}2, \quad\varphi'=\frac{1-\sqrt5}2,
    \]
    et donc il existe deux constantes \(A,B\in\R\) telles que pour tout \(n\in\N\),
    \[
      F_n = A\varphi^n + B\varphi'^n.
    \]
    On détermine \(A\) et \(B\) grâce aux premiers termes :
    \[
      \begin{cases}
        F_0 = 0\\
        F_1 = 1
      \end{cases}\iff
      \begin{cases}
        A + B = 0\\
        A\pare*{\frac{1+\sqrt5}2} + B\pare*{\frac{1-\sqrt5}2} = 1
      \end{cases}\iff
      \begin{cases}
        A = -B\\
        A\sqrt5=1
      \end{cases},
    \]
    et donc pour tout \(n\in\N\),
    \[
      F_n = \frac1{\sqrt5}\pare*{\pare*{\frac{1+\sqrt5}2}^n -\pare*{\frac{1-\sqrt5}2}^n}
    \]
  \item On a l'inégalité \(1+\sqrt5=\abs{1+\sqrt5}>\abs{1-\sqrt5}\), donc \(\abs\varphi>\abs{\varphi'}\). Alors, si \(n>0\),
    \begin{align*}
      \frac{F_{n+1}}{F_n} &= \frac{\varphi^{n+1} - \varphi'^{n+1}}{\varphi^n-\varphi'^n}\\
                          &= \frac{\varphi^{n+1}}{\varphi^{n}}\frac{1-(\varphi'/\varphi)^{n+1}}{1-(\varphi'/\varphi)^{n}}\\
                          &= \varphi \frac{1-(\varphi'/\varphi)^{n+1}}{1-(\varphi'/\varphi)^{n}},
    \end{align*}
    et comme \(\abs{\varphi'/\varphi}<1\), \(\lim_{n\to+\infty}(\varphi'/\varphi)^n=0\), et on peut en conclure que \(\lim_{n\to+\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi\).
  \item Pour \(n\in\N^*\), on considère la propriété :
    \[
      P(n) : A^n =
      \begin{pmatrix}
        F_{n+1} & F_n \\
        F_n & F_{n-1}
      \end{pmatrix}.
    \]
    On montre que la propriété est vraie par récurrence. On a déjà calculé \(A\), \(A^2\) et \(A^3\), et donc \(P(1)\), \(P(2)\) et \(P(3)\) sont vraies. Supposons que \(P(n)\) est vraie pour un certain \(n\in\N^*\).  Alors
    \[
      A^{n+1} = AA^n =
      \begin{pmatrix}
        1&1\\1&0
      \end{pmatrix}
      \begin{pmatrix}
        F_{n+1} & F_n \\
        F_n & F_{n-1}
      \end{pmatrix}
      =      \begin{pmatrix}
        F_{n+1}+F_n & F_n+F_{n-1} \\
        F_{n+1} & F_n
      \end{pmatrix}
      =\begin{pmatrix}
        F_{n+2} & F_{n+1} \\
        F_{n+1} & F_n
      \end{pmatrix}
    \]
    donc \(P(n+1)\) est vraie. Par principe de récurrence, on en conclut que \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\in\N^*\).
  \item Soient \(n,p\) des entiers naturels tels plus grands que 1. D'après la question précédente, on a :
    \[
      \begin{pmatrix}
        F_{n+p+1} & F_{n+p} \\
        F_{n+p} & F_{n+p-1}
      \end{pmatrix}
      = A^{n+p} = A^nA^p =
            \begin{pmatrix}
        F_{n+1} & F_n \\
        F_n & F_{n-1}
      \end{pmatrix}      \begin{pmatrix}
        F_{p+1} & F_p \\
        F_p & F_{p-1}
      \end{pmatrix}
    \]
    Par identification des coefficients, on en déduit que
    \[
      \begin{cases}
        F_{n+p+1} = F_{n+1}F_{p+1} + F_nF_p, \\
        F_{n+p} = F_{n+1}F_p + F_nF_{p-1},\\
        F_{n+p} = F_{n}F_{p+1} + F_{n-1}F_p,\\
        F_{n+p-1} = F_nF_p + F_{n-1}F_{p-1},
      \end{cases}
    \]
    la relation demandée est la seconde.
  \end{enumerate}
  
\end{exo}

\end{document}
