%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[a4paper, textwidth=17cm,textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{mdwlist}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\newcommand{\Card}{\operatorname{Card}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\newcommand{\dbra}[1]{\ldbrack #1 \rdbrack}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir surveillé du 05/05/2023 : \\
    Espaces vectoriels II}
\end{center}
\bigskip

{\em L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est interdit.

La présentation, la qualité de rédaction et la précision des raisonnements sont primordiales dans l'appréciation d'une copie de mathématiques.

Il est conseillé de lire l'ensemble du sujet avant de commencer à composer. 

On peut admettre le résultat d'une question et poursuivre l'exercice.
} 


\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}


\begin{exo}
  Calculer le rang des matrices suivantes :
  \[
    A =
    \begin{pmatrix}
      2 & 4 \\
      3 & 5
    \end{pmatrix},
    \quad B =
    \begin{pmatrix}
      1&2&-1& 2\\
      2&1&0& 1\\
      -1&1&0& 2
    \end{pmatrix},
    \quad C=
    \begin{pmatrix}
      1 & -1 & 0 & 0  &0 \\
      -1 & 1 & -1 & 0  &0\\
      0 & -1 & 1 & -1 & 0\\
      0 & 0 & -1 & 1 & -1\\
      0 & 0 & 0 & -1 & 1 
    \end{pmatrix}.
  \]
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}
  On lance successivement trois dés à six faces.
  \begin{enumerate}
  \item Quel univers permet de modéliser cette expérience ? Si les dés sont équilibrés, quelle fonction de probabilité choisit-on ?
  \item Pour \(k\in\dbra{3,18}\), on considère l'évènement \(A_k=\) \og la somme des dés est égale à \(k\)\fg. Décrire les éventualités qui réalisent \(A_4\), et en déduire \(\PP(A_4)\).
  \item Calculer \(\PP(A_6)\).
  \item On note \(B\) l'évènement \og au moins l'un des dés est un 1 \fg . Quelle est la probabilité que \(B\) soit réalisé en sachant que la somme des dés est égale à 6 ?
  \item \(B\) et \(A_6\) sont-ils indépendants ?
  \end{enumerate}
\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Soient \(n\) un entier naturel et \(x_0, x_1, x_2, \dots, x_n\) des réels distincts. On considère l'application
  \[
    \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{1.2}
    \begin{array}{rcl}
      \phi:&\R_n[X]  &\to \R^{n+1}\\
        &P&\mapsto (P(x_0), P(x_1),\dots, P(x_n))
    \end{array}
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que le noyau de \(\phi\) est réduit au polynôme nul.
  \item En déduire que \(\phi\) est bijective.
  \item Montrer qu'alors, si \(y_0,y_1,\dots,y_n)\in\R^{n+1}\), il existe un unique polynôme \(P\in\R_n[X]\) tel que
    \[
      (P(x_0), P(x_1),\dots, P(x_n)) = (y_0,y_1,\dots,y_n).
    \]
  \item Soient deux réels distincts \(a\) et \(b\). En s'inspirant des questions précédentes, montrer que si \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\in\R^4\), alors il existe un unique polynôme \(P\in\R_3[X]\) tel que
    \[
      P(a)=\alpha,\quad P'(a) =\beta,\quad P(b)=\gamma,\quad P'(b)=\delta.
    \]
  \end{enumerate}
\end{exo}



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\end{document}
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