\documentclass[a4paper]{article}
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\author{}
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% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists

\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
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\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
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%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
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\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}


\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\newcommand{\elem}[1]{% elementary operations
  \stackrel{\substack{#1}}{=}}%

\newcommand{\dbra}[1]{\ldbrack #1 \rdbrack}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
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\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\renewcommand\labelitemii{$\diamond$}
\renewcommand\labelitemiii{$\cdot$}
\renewcommand\labelitemiv{$\ast$}
\begin{center}
  \Large Corrigé du devoir surveillé \no 9
\end{center}
\hrule

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Les opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes préservent le rang. Ainsi,
  \[
    \rg\begin{pmatrix}
      2 & 4 \\
      3 & 5
    \end{pmatrix}
    \elem{C_2\leftarrow C_2-2C_1} \rg\begin{pmatrix}
      2 & 0 \\
      3 & -1
    \end{pmatrix}
    = \rg\begin{pmatrix}
      1 & 0 \\
      3 & -1
    \end{pmatrix}
    = \rg\begin{pmatrix}
      1 & 0 \\
      0 & -1
    \end{pmatrix}
    = \rg\begin{pmatrix}
      1 & 0 \\
      0 & 1
    \end{pmatrix} = 2.
  \]
  On procède de la même manière pour \(B\) :
  \begin{align*}
    \rg\begin{pmatrix}
      1&2&-1& 2\\
      2&1&0& 1\\
      -1&1&0& 2
    \end{pmatrix}
       &\elem{L_2\leftarrow L_2+2L_1\\ L_3\leftarrow L_3+L_1} \rg\begin{pmatrix}
         1&2&-1& 2\\
         0&-3&2& -3\\
         0&3 &-1& 4
       \end{pmatrix}
                  \elem{L_3\leftarrow L_3+L_2} \rg\begin{pmatrix}
                    1&2&-1& 2\\
                    0&-3&2& -3\\
                    0&0 &1& 1
                  \end{pmatrix} \\
       & =\rg\begin{pmatrix}
         1&0&0& 0\\
         0&-3&2& -3\\
         0&0 &1& 1
       \end{pmatrix}
                 =\rg\begin{pmatrix}
                   1&0&0& 0\\
                   0&-3&0& 0\\
                   0&0 &1& 1 
                 \end{pmatrix}
                           =\rg\begin{pmatrix}
                   1&0&0\\
                   0&-3&0\\
                   0&0 &1 
                 \end{pmatrix}=3
  \end{align*}
  De manière générale, on peut s'arrêter dès que l'on obtient une matrice échelonnée : le rang est égal au nombre de pivots. Calculons finalement le rang de \(C\). En ajoutant à chaque ligne la ligne d'en dessous, on obtient :
  \begin{align*}
    \rg\begin{pmatrix}
      1 & -1 & 0 & 0  &0 \\
      -1 & 1 & -1 & 0  &0\\
      0 & -1 & 1 & -1 & 0\\
      0 & 0 & -1 & 1 & -1\\
      0 & 0 & 0 & -1 & 1 
    \end{pmatrix}
  &=    \rg\begin{pmatrix}
       0 & 0 & -1 & 0  &0 \\
      -1 & 0 & 0 & -1  &0\\
      0 & -1 & 0 & 0 & -1\\
      0 & 0 & -1 & 0 & 0\\
      0 & 0 & 0 & -1 & 1 
    \end{pmatrix}
     =\rg\begin{pmatrix}
       0 & 0 & 1 & 0  &0 \\
      1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
      0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
      0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
      0 & 0 & 0 & 1 & 1 
    \end{pmatrix}\\
    &=   \rg\begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 & 0 &0 \\
      0 & 1 & 0 & 0 &0 \\
      0 & 0 & 1 & 0 &0 \\
      0 & 0 & 0 & 1  &1 
    \end{pmatrix} = 4.
  \end{align*}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Pour modéliser cette expérience aléatoire, on peut choisir l'univers des triplets de nombres entre 1 et 6, \(\Omega=\dbra{1,6}^3\). La probabilité correspondant à des dés équilibrés est alors la probabilité uniforme, car chaque éventualité est aussi probable que les autres. On choisit donc la probabilité \(\PP\) donnée par
    \[
      A\subset \Omega,\  \PP(A)= \frac{\Card(A)}{\Card(\Omega)}.
    \]
  \item La seule manière d'écrire 4 comme une somme de trois entiers naturel est \(4=1+1+2\). Si la somme des dés est 4, alors les dés affichent forcément 1, 1 et 2, dans le désordre. Les seules éventualités réalisant \(A_4\) sont donc \((1,1,2)\), \((1,2,1)\) et \((2,1,1)\). On en déduit que
    \[
      \PP(A_4) = \frac{3}{6^3} = \frac{1}{72}.
    \]
  \item On raisonne de la même manière que pour \(A_4\). Il faut déterminer les manières d'écrire 6 comme une somme de 3 entiers. Cette fois-ci, on trouve trois décompositions différentes :
    \begin{align*}
      6 &= 1 + 1 + 4 \\
        &= 1 + 2 + 3 \\
        &= 2 + 2 + 2
    \end{align*}

    La première décomposition correspond aux 3 éventualités \((1,1,4),(1,4,1),(4,1,1)\), la deuxième correspond à 6 éventualités, \((1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)\), et la dernière décomposition ne correspond qu'à 1 éventualité. On en déduit que \(\Card(A_6)=3+6+1=10\), et donc
    \[
      \PP(A_6)=\frac{10}{6^3}=\frac{5}{108}.
    \]
  \item Pour calculer la probabilité conditionnelle \(\PP_{A_6}(B)\), il faut calculer la probabilité de \(B\cap A_6\).
    On a déjà fait le travail d'identifier les éventualités qui réalisent \(A_6\), il suffit donc de dénombrer celles qui contiennent un 1. En fait, il n'y en a qu'une qui ne contient \emph{pas} de 1 : \((2,2,2)\). Ainsi, \(\Card(B\cap A_6)=9\).
    Finalement,
    \[
      \PP_{A_6}(B)=\frac{\PP(B\cap A_6)}{\PP(A_6)} = \frac{\Card(B\cap A_6)}{\Card(A_6)} = \frac{9}{10}.
    \]
    
  \item Les évènements \(A_6\) et \(B\) sont indépendants si \(\PP_{A_6}(B)=\PP(B)\), ou, de manière équivalente, si \(\PP(A_6\cap B)=\PP(A_6)\PP(B)\). Pour répondre à cette question, il nous reste donc à calculer la probabilité de l'évènement \(B\).
    Il est plus facile de calculer la probabilité de \(\overline B=\) \og aucun des dés n'affiche 1\fg. On a alors
    \[
      \PP(B) = 1 - \PP(\overline B) = 1 - \pare*{\frac{5}{6}}^3 = \frac{216-125}{216} = \frac{91}{216}.
    \]
    On a donc
    \[
      \PP(B)\neq \PP_{A_6}(B),
    \]
    et, par suite, \(B\) et \(A_6\) ne sont pas indépendants.
  \end{enumerate}
\end{exo}
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soit \(P\in \R_n[X]\) un élément du noyau de \(\phi\). Alors \(\phi(x_0)=\phi(x_1)=\dots=\phi(x_n)=0\), et donc \(P\) est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\), et qui possède \(n+1\) racines distinctes. On en conclut que nécessairement, \(P=0\), et donc \(\Ker(\phi)=\{0\}\).
  \item \(\phi\) est linéaire, et son noyau est réduit à \(0\), et donc elle est injective. De plus, \(\R_n[X]\) et \(\R^{n+1}\) sont deux espaces vectoriels de dimension \(n+1\). Par conséquent, \(\phi\) est bijective.
  \item La propriété demandée est une conséquence directe de la définition de la bijectivité : soit \(v=(y_0,\dots,y_n)\in\R^{n+1}\). Comme \(\phi\) est bijective, \(v\) admet un unique antécédant par \(\phi\). En d'autres termes, il existe un unique \(P\in\R_n[X]\) tel que
    \[
      \phi(P) = v \iff (P(x_0),\dots,P(x_n)) = (y_0,\dots,y_n).
    \]
  \item On peut répéter la démonstration des questions précédentes : on considère
    \[
      \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{1.2}
      \begin{array}{rcl}
        \psi:&\R_3[X]  &\to \R^{4}\\
             &P&\mapsto (P(a), P'(a), P(b), P'(b))
      \end{array}
    \]
    L'application \(\psi\) est linéaire. Si \(P\in\Ker(\psi)\), alors \(P\) admet deux racines doubles distinctes, \(a\) et \(b\). En particulier, \(P\) est un multiple du polynôme \((X-a)^2(X-b)^2\). Or, comme \(P\) est de degré \(\leq 3\), c'est forcément le polynôme nul. Ainsi, à nouveau, \(\Ker(\psi)=\{0\}\), et donc \(\psi\) est injective. De plus, \(\dim(\R^4)=\dim(\R_3[X])=4\), et donc \(\psi\) est une bijection. On en conclut que tout vecteur de \(\R^4\) admet un unique antécédant par \(\psi\), c'est-à-dire que
    \[
      \forall (\alpha,\beta,\gamma,\delta)\in\R^4,\ \exists!\  P\in\R_3[X]\text{ tel que }(P(a),P'(a),P(b),P'(b))=(\alpha,\beta,\delta,\gamma).
    \]
  \end{enumerate}
\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
