%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\author{}
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%% Packages setup

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\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

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\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir surveillé du 26/05/2023 : \\
    Devoir final}
\end{center}
\bigskip

{\em Le sujet est intentionnellement trop long : s'il ne s'agit pas forcément de le traiter en entier, il ne s'agit pas non plus d'optimiser la copie en traitant une question de chaque exercice. La continuité sera valorisée dans l'appréciation de la copie.
} 

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Algèbre linéaire]
  \begin{enumerate}
  \item   Trouver l'inverse des matrices suivantes :
    \[
      A =
      \begin{pmatrix}
        1 & 2 \\
        6 & 11
      \end{pmatrix},\quad
      B =
      \begin{pmatrix}
        2 & -1 & 2\\
        5 & -3 & 3\\
        -1 & 0 & -2
      \end{pmatrix},
    \]
  \item On considère la matrice
    \[
      C=  \begin{pmatrix}
        0 & 1 & 1 & 1\\
        1 & 0 & 1 & 1\\
        1 & 1 & 0 & 1\\
        1 & 1 & 1 & 0
      \end{pmatrix}.
    \]
    Calculer \(C^2\), en déduire que \(C\) est inversible, et donner l'inverse de \(C\).
  \item Soient \(a,b\in\R\). Résoudre le système suivant, en détaillant plusieurs cas selon les valeurs de \(a\) et de \(b\) :
    \[
      \begin{cases}
        ax + by +z = 1\\
        x+ aby + z = b\\
        x+ by +az =1
      \end{cases}
    \]
    On pourra commencer par traiter des cas particuliers, comme par exemple le cas \(b=0\), puis le cas \(a=-2\).
  \end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Résoudre l'équation différentielle d'inconnue \(y\)
  \[
    (E): y'' - 3y' +2y = \sin(2x), \quad\forall x\in\R.
  \]
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exo}
  On considère la fonction \(f\) définie par\(f(x)=2\sqrt{3+x}\).
  Étant donné un réel \(u_0\), on souhaite étudier la suite récurrente \((u_n)_{n\in\N}\) définie par
  \[
    \forall n\in\N,\ u_{n+1} = f(u_n).
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Étudier la fonction \(f\) : préciser son domaine de définition, si elle est continue, et dresser un tableau de variation.
  \item Montrer si \(u_0\) est dane le domaine de définition de \(f\), alors la suite est bien définie, c'est-à-dire que pour tout \(n\in\N\), \(u_n\) est dans le domaine de définition de \(f\).
  \item Montrer que pour tout \(u_0\geq-3\), la suite \((u_n)\) est monotone.
  \item Trouver les points fixes de \(f\), c'est-à-dire les réels \(x\) tels que \(f(x)=x\).
  \item En supposant que la suite \((u_n)\) converge, quelles sont ses limites possibles ?
  \item Dresser alors le tableau de signe de la fonction \(g(x)=f(x)-x\), et en déduire à quelle condition sur \(u_0\) la suite \((u_n)\) est croissante, et à quelle condition elle est décroissante.
  \item Conclure : montrer que \(\forall u_0\geq -3\), la suite \((u_n)\) converge vers \(6\).
  \end{enumerate}
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Calcul des décimales de \(\pi\)]
  {\itshape Historiquement, les décimales de \(\pi\) étaient déterminées en approximant un cercle par un polygone régulier dont on peut calculer le périmètre. Cette méthode est restée d'actualité jusqu'à ce qu'Isaac Newton change la donne grâce à des développements en série (qui sont essentiellement des développements limités).

    Le meilleur résultat connu à cette époque était celui de Ludolph Van Ceulen, qui a méticuleusement calculé, à la main, le périmètre d'un polygone régulier à \(2^{62}\) côtés. Ce calcul, qui lui demanda 25 ans de travail (!!), lui permit de déterminer 35 décimales de \(\pi\). En 1666, alors confiné chez lui en raison de l'épidémie de la peste qui ravage l'Angleterre, Isaac Newton comprend comment utiliser les polynômes pour approximer des fonctions, ce qui lui permet de développer une nouvelle formule d'approximation de \(\pi\), beaucoup plus facile à mettre en \oe uvre.

    Dans cet exercice, nous revisitons la méthode de Newton grâce au développement limité de la fonction \(\arctan\). Le type de formule de que nous allons démontrer reste utilisé aujourd'hui pour calculer \(\pi\) avec une très grande précision !}
  \begin{enumerate}
  \item Soit \(n\in\N\). Donner le développement limité de la fonction \(x\mapsto \frac1{1+x^2}\) à l'ordre \(2n\) en \(0\).
  \item En déduire que le développement limité de la fonction \(\arctan\) en \(0\) et à l'ordre \(2n+1\) s'écrit
    \[
      \arctan(x)= x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}{5} + \dots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o_{x\to0}(x^{2n+1}).
    \]
  \item Que vaut \(\arctan(1)\) ? En déduire une approximation de \(\pi\), grâce au développement limité de la question précédente à l'ordre 1.
  \end{enumerate}
  {\itshape Cette approximation, bien sûr, n'est pas très bonne. Le problème vient du fait qu'on utilise le développement limité d'\(\arctan\) en \(0\) pour calculer \(\arctan(1)\). On obtiendrait un meilleur résultat avec une formule faisant intervenir des termes de la forme \(\arctan(x)\), avec \(x\) proche de \(0\) : c'est l'objectif de la fin de ce problème.}

  \begin{enumerate}[resume]
  \item (Formule de John Machin)   On admet que pour tout \(x,y\) tels que \(xy\neq 1\) et \(\abs{\arctan x+\arctan y}<\frac\pi2\),
    \[
      \arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\pare*{\frac{x+y}{1-xy}}.
    \]
    Montrer que \(2\arctan\pare*{\frac15}=\arctan\pare*{\frac5{12}}\), puis que \(4\arctan\pare*{\frac15}=\arctan\pare*{\frac{120}{119}}\). En déduire que
    \[
      \arctan(1) = 4\arctan\pare*{\frac15} - \arctan\pare*{\frac1{239}}.
    \]
  \item (Application) Utiliser la formule de John Machin et le développement limité d'arctan à l'ordre 1 pour en déduire une approximation de \(\pi\). Combien de décimales de \(\pi\) sont correctes ?  (\emph{Indication :} \(4/239 \simeq 0,02\), \(\pi\simeq 3,14\).)
  \end{enumerate}
  {\itshape À titre indicatif, on retrouve les 35 décimales de \(\pi\) de Van Ceulen avec la formule de Machin en faisant un DL d'ordre 21, ce qui n'est pas rien, mais qui se calcule en un temps considérablement plus court que 25 ans. Un ordinateur le fait instantanément !}
\end{exo}


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\hrule
\vspace{1em}
\(\therefore\) Fin du sujet court \(\therefore\)
\vspace{1em}
\hrule

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\begin{exo}[Somme de nombres impairs]
  On pose \(s(1)=1\), \(s(2)=3+5\), \(s(3)=7+9+11,\dots,\) de sorte que \(s(n)\) est la somme des \(n\) premiers nombres impairs non utilisés dans \(s(1),\dots,s(n-1)\).
  \begin{enumerate}
  \item Calculer \(s(i)\) pour \(i\in\dbra{1,4}\).
  \item Montrer que pour tout \(n\in\N^*\),
    \[
      \sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}.
    \]
  \item Pour \(k\in\N^*\), on note \(I(k)\) le \(k\)-ième entier naturel impair.
    \begin{enumerate}
    \item Exprimer \(I(k)\) en fonction de \(k\).
    \item Pour \(N\in\N^*\), on pose \(S(N)=\sum_{k=1}^N I(k)\). Calculer \(S(N)\).
    \item En déduire la somme \(T(n)=\sum_{i=1}^n s(i)\)
    \item Exprimer \(s(n)=\) grâce à \(T(n-1)\) et \(T(n)\), et en déduire la valeur de \(s(n)\).
    \end{enumerate}
  \item À l'aide des résultats précédents, donner la valeur de \(      \sum_{i=1}^n i^3\) en fonction de \(n\).
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Polynômes réels scindés]
  Soit \(P\in\R[X]\) un polynôme de degré supérieur ou égal à 2. On suppose que \(P\) est scindé, c'est-à-dire qu'il admet \(n\) racines réelles, comptées avec multiplicité. En d'autres termes, il existe \(x_1<x_2<\dots<x_p\in\R\) et \(n_1,\dots,n_p\in\N\) tels que \(n_1+n_2+\dots + n_p=\deg(P)\) et 
  \[
    P(X)=(X-x_1)^{n_1}(X-x_2)^{n_2}\dots(X-x_p)^{n_p}.
  \]
  On va montrer que \(P'\) est scindé.
  \begin{enumerate}
  \item Énoncer le théorème de Rolle.
  \item En déduire qu'il existe \(y_1,\dots,y_{p-1}\) tels que \(P'(y_1)=\dots=P'(y_{p-1})=0\), et
    \[
      x_1<y_1<x_2<y_2<\dots <y_{p-1}<x_p.
    \]
  \item Si \(x_k\) est une racine de \(P\) de multiplicité \(n_k\geq 1\), quelle est sa multiplicité dans \(P'\) ?
  \item Démontrer que \(P'\) est scindé.
  \end{enumerate}
\end{exo}



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\begin{exo}[Polynômes de Chebychev]
  Pour \(n\in\N\), on considère \(T_n : [-1,1]\to\R\) définie par :
  \[
    T_n(x)=\cos( n\arccos (x)). 
  \]
  On rappelle que pour tout \(x\in[-1,1]\), \(\cos(\arccos(x))=x\).
  \begin{enumerate}
  \item  \begin{enumerate}
    \item Soit \(\theta\in\R\). Donner une expression de \(\cos(2\theta)\) en fonction de \(\cos(\theta)\).
    \item Simplifier \(T_0(x)\), \(T_1(x)\), \(T_2(x)\).
    \item Démontrer que pour tous réels \(a,b\), on a la relation
      \[
        \cos(a)+\cos(b) = 2\cos\pare*{\frac{a+b}2}\cos\pare*{\frac{a-b}2}
      \]
    \item En déduire que pour tout \(n\geq 1\) et pour tout \(x\in[-1,1]\),
      \[
        T_{n+1}(x)= 2xT_n(x)-T_{n-1}(x).
      \]
    \item Grâce à la question précédente et au calcul de \(T_0\) et \(T_1\), démontrer que pour tout \(n\in\N\), \(T_n\) est une fonction polynomiale.
    \end{enumerate}
  \item    Par facilité d'écriture, on confondra dans la suite du sujet la fonction polynomiale, ici définie sur \([-1,1]\), et le polynôme correspondant, qui peut être évalué en tout \(x\in\R\).
    \begin{enumerate}
    \item Pour \(n\in\N\), quel est le degré de \(T_n\) ? Quel est son coefficient dominant ?
    \item Soit \(\theta\in\R\). Que vaut \(\arccos(\cos(\theta))\) ? On rappelle que \(\arccos\) est la fonction réciproque de la fonction cosinus \emph{restreinte à \([0,\pi]\).}
    \item Montrer que pour tout \(\theta\in\R\) et \(n\in\N\), \(T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta)\). 
    \item Déterminer les racines de \(T_n\) appartenant à \([-1,1]\). Le polynôme \(T_n\) admet-il des racines en dehors de cet intervalle ?
    \end{enumerate}
  \item On rappelle que la fonction cosinus hyperbolique est définie par
    \[
      \cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.
    \]
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout \(n\in\N\) et tout \(x\in\R\), \(T_n(\cosh(x))=\cosh(nx)\).
    \item En déduire que pour tout \(x\in\R\), \(\abs{T_n(x)}\leq 1 \iff \abs x\leq 1\).
\end{enumerate}

  \end{enumerate}
\end{exo}


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\end{document}
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