%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Colle n°18 : espaces vectoriels II}\\[4pt]
  Semaine du 27/03/2023
\end{center}
\bigskip

Cette semaine, on reprend tout le programme de la semaine dernière sur les espaces vectoriels, et on introduit les applications linéaires.


\textbf{\Large }
\begin{itemize}
\item Définition et caractérisations des espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels.
\item Famille de vecteurs, de combinaison linéaire, espaces vectoriels engendrés par une famille de vecteurs.
\item Familles génératrices et familles libres, bases.
\item Espaces vectoriels usuels : $\R^n$, $\R[X]$, ${\cal M}_{n,p}(\R)$, fonctions définies sur \(\R\), \(\C^\N\), etc.
\item Applications linéaires : définition et caractérisation. L'ensemble des applications linéaires est un espace vectoriel, et la composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
\item Noyau et image d'une application linéaire : définition, \(\Ker(f)\) et \(\Im(f)\) sont des sous-espaces vectoriels.
\item Lien entre le noyau d'une application linéaire et son injectivité.
\item Lien entre l'image par une application linéaire d'une famille génératrice et sa surjectivité.
\item Isomorphismes : l'inverse d'une isomorphisme est un isomorphisme, et une application linéaire est un isomorphisme si, et seulement si, elle transforme une base en une base.
\end{itemize}\smallskip

\bigskip
\textbf{Ce que le programme ne contient \underline{pas} :}
\begin{itemize}
\item la théorie de la dimension,  
\item des sommes d'espaces vectoriels et des supplémentaires,
\item de l'orthogonalité...
\end{itemize}
\bigskip


\textbf{Question de cours :}
\begin{itemize}
\item Montrer qu'une application est linéaire, ou qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel, ou qu'une famille est libre, sur un exemple pas trop compliqué.
\item Démontrer que le noyau et l'image sont des sev.
\item Démontrer le lien entre l'injectivité et le noyau.
\item Démontrer que l'inverse d'un isomorphisme est un isomorphisme.
\end{itemize}

    



\end{document}
