%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Colle n°1 : réels, suites, sommes finies}\\[4pt]
  Semaine du 19/09/2022
\end{center}
\bigskip


\textbf{Ce que le programme contient :} 
\begin{itemize}
\item Rappels sur les nombres réels : opérations, ordre, inégalités, valeur absolue, inégalité triangulaire.
\item Définitions générales sur les suites : suite croissante, décroissante, majorée, minorée, bornée.
\item Raisonnement par récurrence simple. Définition de la factorielle.
\item Suites usuelles : arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Calcul du terme général de telles suites.
\item Notation $\sum$ et propriétés : linéarité, relation de Chasles, changements d'indice (de type glissement ou retournement), somme télescopique, séparation des termes de rangs pairs et impairs.
\item Sommes usuelles à connaître : pour $n\in \N$ et $q\in \R\setminus \{1\}$, 
$$ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\, , \qquad \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2.$$
\item Expression, interprétations et propriétés diverses des coefficients binomiaux: expression en terme de factorielles, symétrie, triangle de Pascal.
\item Formule du binôme de Newton et exemples de calculs de somme.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Ce que le programme ne contient \underline{pas} :}
\begin{itemize}
    \item des nombres complexes,
    \item la convergence des suites,
    \item des suites récurrences linéaires d'ordre $2$,
    \item des raisonnements par récurrence forte ou double,
    \item des sommes doubles,
    \item des produits finis (à part éventuellement pour définir la factorielle),
    \item du dénombrement en tant que tel.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Questions de cours possibles :} 
\begin{itemize}
    \item Calcul du terme général d'une suite arithmético-géométrique par la méthode du cours, sur un exemple.
     \item Somme géométrique avec démonstration.
    \item Somme des $n$ premiers entiers avec démonstration.
    \item Coefficients binomiaux : expression avec les factorielles et démonstration de la formule de Pascal.
    \item Formule du binome de Newton (sans démonstration).
\end{itemize}



\end{document}
