%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\Vect}{\operatorname{Vect}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Colle n°20 : espaces vectoriels III}\\[4pt]
  Semaines du 24/04/2023
\end{center}
\bigskip

Malgré le titre, les probabilités finies restent au programme de cette semaine. On introduit la notion de dimension aux espaces vectoriels.

\textbf{\Large }
\begin{itemize}
\item Probabilités sur des univers finies : formule de Bayes, probabilités conditionnelles, indépendance de deux évènements (c.f. la feuille de colle 19)
\item Définition et caractérisations des espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels, des applications linéaires, de leur noyau et image.
\item Familles génératrices et familles libres, bases.
\item Théorème de la base incomplète (et de la base extraite d'une famille génératrice)
\item Théorème de la dimension finie : le cardinal d'une famille génératrice est plus grand que le cardinal d'une famille libre. Deux bases ont donc même cardinal.
\item Définition des espaces de vectoriels de dimension finie : ce sont ceux qui admettent une base.
\item Proposition : dans un espace vectoriel de dimension finie, une famille est une base si, et seulement si, elle est libre et de cardinal égal à la dimension.
\item Dans les ev de dimension finie, les sev sont de dimension finie.
\item Proposition : si deux sous-espaces vectoriels sont de même dimension, ils sont égaux si, et seulement si, l'un est inclus dans l'autre.
\end{itemize}\smallskip

\bigskip
\textbf{Ce que le programme ne contient \underline{pas} :}
\begin{itemize}
\item les variables aléatoires et tout ce qui y est lié,
\item les sommes d'espaces vectoriels et des supplémentaires,
\item le théorème du rang.
\end{itemize}
\bigskip


\textbf{Question de cours :}
\begin{itemize}
\item L'énoncé d'un des théorèmes du cours + application
\item Démontrer un des lemmes du cours : si \(u\) est combinaison linéaire de \((v_1,v_2,\dots,v_n)\), alors \(\Vect(v_1,\dots,v_n,u)=\Vect(v_1,\dots,v_n)\). Si \((v_1,\dots,v_n)\) est libre et \(u\not\in\Vect(v_1,\dots,v_n)\), alors \((v_1,\dots,v_n,u)\) est libre.
\item Montrer que si deux sev ont même dimension et que l'un est inclus dans l'autre, alors ils sont égaux.
\item Une application directe des théorèmes importants (montrer qu'une famille est une base, montrer que deux sev sont égaux).
\end{itemize}

   
\end{document}
