%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
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\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Colle n°23 : Matrices d'applications linéaires}\\[4pt]
  Semaine du 05/06/2023
\end{center}
\bigskip


\textbf{Ce que le programme contient}
\begin{itemize}
\item Matrice des coordonnées d'un vecteur par rapport à une base (dans un espace vectoriel réel de dimension finie), et matrice des coordonnées d'une famille de vecteurs. \(\Mat_{\mc B}\) est un isomorphisme de \(\R\)-espaces vectoriels.
\item Le rang d'une famille de vecteur est égal au rang de la matrice de ses coordonnées dans une base donnée.
\item Matrice de passage : si \(\mc B\) et \(\mc B'\) sont deux bases de \(E\), alors la matrice de passage de \(\mc B\) à \(\mc B'\) est
  \[
    P_{\mc B\rightarrow \mc B'} =     \Mat_{\mc B}(\mc B')
  \]
\item Changement de base : \(\Mat_{\mc B'}(v)=P_{\mc B'\rightarrow B}\Mat_{\mc B}(v)\), et \(P_{\mc B'\rightarrow B}= P_{\mc B'\rightarrow F}P_{\mc F\rightarrow B}\).
\item Matrices d'applications linéaires relativement à deux bases :
  \[
    \Mat_{\mc B_F\leftarrow \mc B_E}(u) = \Mat_{\mc B_F}\big(u(\mc B_E)\big). 
  \]
  \(\Mat_{\mc B_F\leftarrow \mc B_E}\) est un isomorphisme entre \(\mc L(E,F)\) et \(\mc M_{n,p}(\R)\).
\item Le rang d'une application linaire est égal au rang de la sa matrice relativement à deux bases données.
\item Matrice d'un vecteur image :
  \[
    \Mat_{\mc B_F}(u(x))  = \Mat_{\mc B_F\leftarrow \mc B_E}(u)\Mat_{\mc B_E}(x)
  \]
\item Composition et produit matriciel :
  \[
    \Mat_{\mc B_G\leftarrow \mc B_E}(v\circ u)  = \Mat_{\mc B_G\leftarrow \mc B_F}(v)\Mat_{\mc B_F\leftarrow \mc B_E}(u)
  \]  
\item Un endomorphisme est inversible ssi sa matrice l'est, et alors la matrice de l'inverse est l'inverse de la matrice.
\item Changement de base : \(P_{\mc B\rightarrow \mc B'} =  \Mat_{\mc B\leftarrow\mc B'}(id_E)\), et donc
  \[
    \Mat_{\mc B_F'\leftarrow \mc B_E'}(u) = P_{\mc B_F'\rightarrow \mc B_F}\Mat_{\mc B_F\leftarrow \mc B_E}(u) P_{\mc B_E\rightarrow \mc B_E'}.
  \]
\item Autour du rang : un endomorphisme est inversible ssi son rang est égal à la dimension de l'espace, et une matrice carrée est inversible ssi son rang est égal à sa taille.
\item Un endomorphisme est de rang \(r\) ssi il existe des bases relativement auxquelles sa matrice s'écrit par blocs
  \[
    J_r =
    \begin{pmatrix}
      I_r & 0\\
      0 & 0
    \end{pmatrix}
  \]
\item Une matrice \(M\) est de rang \(r\) ssi il existe des matrices inversibles \(P\) et \(Q\) telles que \(M=PJ_rQ\).
\item Corollaire : une matrice et sa transposée ont même rang.
\end{itemize}\smallskip

\bigskip
\textbf{Ce que le programme ne contient \underline{pas} :}
\begin{itemize}
\item Des espaces vectoriels non réels.
\item Les polynômes d'applications linéaires / de matrices
\item Le déterminant pour des matrices plus grandes que \(2\times 2\)
\item La réduction d'endomorphismes...
\end{itemize}
\bigskip


\textbf{Question de cours :}
\begin{itemize}
\item Montrer la formule de changement de base pour la matrice des coordonnées d'un vecteur.
\item Montrer que si \(u\) est inversible, alors sa matrice l'est, et donner la matrice de l'inverse.
\item Calculer une matrice de changement de base.
\item Un calcul simple de rang d'une matrice / d'une application linéaire / d'une famille de vecteurs.
\end{itemize}

   
\end{document}
