%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\title{}
\author{}
\date{}

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%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
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\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Colle n°2 : sommes et produits finis, logique, ensembles}\\[4pt]
  Semaine du 26/09/2022
\end{center}
\bigskip


\textbf{Ce que le programme contient :} 
\begin{itemize}
\item Notation $\sum$ et propriétés : linéarité, relation de Chasles, changements d'indice (de type glissement ou retournement), somme télescopique, séparation des termes de rangs pairs et impairs.
\item Sommes usuelles à connaître : pour $n\in \N$ et $q\in \R\setminus \{1\}$, 
$$ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\, , \qquad \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2.$$
\item Notation $\prod$ et exemples d'utilisations, factorielle. Propriétés des produits finis vues par analogie de celles des sommes (produit télescopique, Chasles, factorisation...)
\item Expression, interprétations et propriétés diverses des coefficients binomiaux: expression en terme de factorielles, symétrie, triangle de Pascal.
\item Formule du binôme de Newton et exemples de calculs de somme.

    \item Notion de proposition logique et table de vérité.
    \item Construction de propositions:  connecteurs logiques (non, et, ou, implication, équivalence) et quantificateurs.
    \item Vocabulaire autour de l'implication : condition nécessaire, condition suffisante, contraposée, réciproque.
    \item Règles de négation de propositions.
    \item Ensembles usuels: ensembles de nombres, intervalles de $\R$, intervalles d'entiers (notation $\I{k}{n}$).
    \item Définition d'ensemble à partir d'autres ensembles : produits cartésiens et utilisation des notations suivantes 
    $$ \big\{ f(x) \;;\; x\in E \big\}  \qquad \et \qquad \big\{ x \in E \;|\; P(x) \big\}.$$
    \item Opérations sur les ensembles (réunion, intersection, complémentaire) et lien avec les connecteurs logiques.
    \item Règles de calculs sur les ensembles/propositions : distributivité de $\cup$ sur $\cap$ (et de $\cap$ sur $\cup$), lois de De Morgan.
    \item Techniques de raisonnement : par l'absurde, double implication, récurrence.

\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Ce que le programme ne contient \underline{pas} :}
\begin{itemize}
    \item des nombres complexes,
    \item la convergence des suites,
    \item des suites récurrences linéaires d'ordre $2$,
    \item des sommes doubles,
    \item du dénombrement en tant que tel,
    \item des exercices théoriques sur la logique et les ensembles,
    \item des applications entre ensembles.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Questions de cours possibles :} 
\begin{itemize}
     \item Somme géométrique avec démonstration.
    \item Somme des $n$ premiers entiers avec démonstration.
    \item Coefficients binomiaux : expression avec les factorielles et démonstration de la formule de Pascal.
    \item Formule du binome de Newton (sans démonstration).
    \item Pour une implication $P \Rightarrow Q$, donner sa table de vérité, et écrire sa contraposée, sa réciproque et sa négation.
    \item \'Enoncer les propriétés de distributivité et les lois de De Morgan pour les calculs sur les ensembles.
\end{itemize}



\end{document}
