%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\title{}
\author{}
\date{}

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%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
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\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Colle n°3 : ensembles, raisonnements, étude de fonctions}\\[4pt]
  Semaine du 03/10/2022
\end{center}
\bigskip


\textbf{Ce que le programme contient :} 
\begin{itemize}
    \item Notion de proposition logique et table de vérité.
    \item Construction de propositions:  connecteurs logiques (non, et, ou, implication, équivalence) et quantificateurs.
    \item Vocabulaire autour de l'implication : condition nécessaire, condition suffisante, contraposée, réciproque.
    \item Règles de négation de propositions.
    \item Ensembles usuels: ensembles de nombres, intervalles de $\R$, intervalles d'entiers (notation $\I{k}{n}$).
    \item Définition d'ensemble à partir d'autres ensembles : produits cartésiens et utilisation des notations suivantes 
    $$ \big\{ f(x) \;;\; x\in E \big\}  \qquad \et \qquad \big\{ x \in E \;|\; P(x) \big\}.$$
    \item Opérations sur les ensembles (réunion, intersection, complémentaire) et lien avec les connecteurs logiques.
    \item Règles de calculs sur les ensembles/propositions : distributivité de $\cup$ sur $\cap$ (et de $\cap$ sur $\cup$), lois de De Morgan.
    \item Techniques de raisonnement : par l'absurde, double implication, récurrence. 
    \item Raisonnements par analyse et synthèse.
    \item Vocabulaire sur les fonctions à variables et valeurs réelles : domaine de définition, image, antécédent, graphe, bijection réciproque, parité, périodicité, majoration, sens de variations. 
    \item Caractérisation graphique des différentes propriétés d'une fonction (parité, périodicité, majoration...)  
    \item Lien entre dérivée et tangente au graphe
    \item Lien entre signe de la dérivée et sens de variations
    \item Domaines de définition et dérivées des fonctions usuelles (fonction affine, valeur absolue, monôme, inverse, racine et puissances, $\exp$ et $\ln$, $\sin$ et $\cos$)
    \item Règles de calcul pour la dérivée : somme, produit, quotient, composition.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Ce que le programme ne contient \underline{pas} :}
\begin{itemize}
    \item des exercices théoriques sur la logique et les ensembles,
    \item des applications entre ensembles autres que des intervalles,
    \item les notions d'injectivité ou surjectivité,
    \item la définition rigoureuse de dérivée et de limites,
    \item des considérations théoriques sur la dérivée,
    \item le TVI ou la bijectivité des applications strictement monotones,
    \item des fonctions trigonométriques autres que $\sin$ et $\cos$.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Questions de cours possibles :} 
\begin{itemize}
    \item Pour une implication $P \Rightarrow Q$, donner sa table de vérité, et écrire sa contraposée, sa réciproque et sa négation.
    \item \'Enoncer les propriétés de distributivité et les lois de De Morgan pour les calculs sur les ensembles.
    \item Règles de calcul pour $\exp$ et $\ln$.
    \item Définition de $x^a$ pour $a$ réel et $x>0$, et démonstration de  "pour tout $x>0$, $x^{\frac12}=\sqrt{x}$".
    \item Étude d'une fonction donnée par une expression mathématique : domaine de définition et de dérivabilité (pour la dérivabilité, pas encore de démonstration), propriétés évidentes, calcul de la dérivée, limites au bord du domaine, tableau de variations et tracé du graphe.
\end{itemize}
\end{document}
