%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Colle n°4 : étude de fonctions}\\[4pt]
  Semaine du 10/10/2022
\end{center}
\bigskip


\textbf{Ce que le programme contient :} 
\begin{itemize}
    \item Vocabulaire sur les fonctions à variables et valeurs réelles : domaine de définition, image, antécédent, graphe, bijection réciproque, parité, périodicité, majoration, sens de variations.
    \item Caractérisation graphique des différentes propriétés d'une fonction (parité, périodicité, majoration...)  
    \item Lien entre dérivée et tangente au graphe
    \item Lien entre signe de la dérivée et sens de variations
    \item Domaines de définition et dérivées des fonctions usuelles (fonction affine, valeur absolue, monôme, inverse, racine et puissances, $\exp$ et $\ln$, $\sin$ et $\cos$)
    \item Règles de calcul pour la dérivée : somme, produit, quotient, composition.
    \item Théorème des valeurs intermédiaires. Notion d'intervalle.
    \item "Théorème de la bijection" pour une fonction continue strictement monotone sur un intervalle.
    \item Définition de l'exponentielle via son équation différentielle et du logarithme comme bijection réciproque.
    \item Résolution d'équations et inéquations à partir d'études de fonctions.
    \item Raisonnement sur le nombre de solutions, pas nécessairement explicites, à des équations.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Ce que le programme ne contient \underline{pas} :}
\begin{itemize}
    \item des applications entre ensembles autres que des intervalles,
    \item les notions d'injectivité ou surjectivité,
    \item la définition rigoureuse de dérivée et de limites,
    \item des considérations théoriques sur la dérivation ou la continuité,
    \item des fonctions trigonométriques autres que $\sin$ et $\cos$.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Questions de cours possibles :} 
\begin{itemize}
     \item Définition de l'exponentielle comme unique fonction dérivable vérifiant $f'=f$ et valant $1$ en $0$, et propriétés en découlant (valeurs de $\exp(-x)$ et $\exp(x+y)$, signe, monotonie).
    \item Règles de calcul pour $\exp$ et $\ln$.
    \item Définition de $x^a$ pour $a$ réel et $x>0$, et démonstration de  "pour tout $x>0$, $x^{\frac12}=\sqrt{x}$".
    \item Étude d'une fonction donnée par une expression mathématique : domaine de définition et de dérivabilité (pour la dérivabilité, pas encore de démonstration), propriétés évidentes, calcul de la dérivée, limites au bord du domaine, tableau de variations et tracé du graphe.
    \item Énoncer (sans démonstration) le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la bijection pour une fonction continue strictement monotone sur un intervalle.
\end{itemize}
\end{document}
