%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Colle n°7 : équations différentielles linéaires, matrices}\\[4pt]
  Semaine du 28/11/2022
\end{center}
\bigskip


Il n'y a pas eu de colles la semaine dernière, donc on reprend tout ce qu'on a fait sur les EDL.

\bigskip
\textbf{Ce que le programme contient :} 
\begin{itemize}
\item Résolution d'équations différentielles d'ordre 1 normalisées : méthode de variation de la constante, principe de superposition, recherche de solutions particulières (sans la méthode de variation de la constante) lorsque le second membre a une forme particulière.
\item Résolution d'équations différentielles d'ordre 2 à coefficients constants : équation caractéristique et structure des solutions de l'équation homogène associée (dans \(\R\) et dans \(\C\)), principe de superposition, recherche de solutions particulières.
\item Matrices : définition et propriétés du produit extérieure, de la somme, du produit matriciel, et de la transposée. Puissances de matrices, formule de binôme de Newton pour les matrices qui commutent.
\item Matrices inversibles : définition, comportement de l'inverse avec le produit, la transposée. Puissances négatives de matrices inversibles. Cas des matrices \(2\times 2\), des matrices diagonales, et critère d'inversibilité pour les matrices triangulaires.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Ce que le programme ne contient \underline{pas} :}
\begin{itemize}
\item Des équations différentielles non linéaires ;
\item Des EDL avec des fonctions à valeurs vectorielles ;
\item Des recollements de solutions d'EDL ;
\item La méthode de variation de la constante pour les EDL d'ordre 2 ;
\item Des résultats plus avancés sur les matrices (pas d'espaces vectoriels, pas d'applications linéaires, pas de déterminant, etc.).
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Questions de cours possibles :} 
\begin{itemize}
    \item La méthode de variation de la constante sur une EDL pas trop compliquée.
    \item Une EDL d'ordre 2 homogène, en précisant si on cherche les solutions réelles ou complexes.
    \item L'énoncé du principe de superposition dans le cas d'une EDL d'ordre 1 ou 2.
    \item La définition du produit matriciel.
    \item La définition de l'inverse d'une matrice carrée + les conséquences sur l'inverse d'un produit, l'inverse de la transposée, etc.
    \item Le cas des matrices \(2\times2\).
\end{itemize}



\end{document}
