%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Colle n°9 : Convergences de suites}\\[4pt]
  Semaine du 12/12/2022
\end{center}
\bigskip

Le programme de cette semaine est centré sur la convergence des suites réelles.

\bigskip
\textbf{Ce que le programme contient :} 
\begin{itemize}
\item La définition de la convergence, avec une phrase, et avec \(\epsilon\).
\item Quelques propriétés de la convergence : unicité de la limite, caractère borné des suites convergentes, passages à la limite dans les inégalités, opérations sur les limites (somme, produit, quotient).
\item Dans le cas de la divergence, définition des limites infinies.
\item Théorème des gendarmes pour les suites convergentes, et aussi pour les suites divergentes vers \(\pm \infty\).
\item Composition des limites par une fonction continue.
\item Théorème des croissances comparées : les factorielles l'emportent sur les exponentielles, qui l'emportent sur les puissances, qui l'emportent sur les logarithmes.
\item Limites usuelles : comportement des suites géométriques en fonction de la raison.
\item Rappel concernant les parties de \(\R\) : majorants et minorants.
\item Théorème + définition de la borne supérieure : l'ensemble des majorants d'une partie non vide et majorée admet un plus petit élément.
\item Caractérisations équivalentes de la borne supérieure avec des \(\epsilon\), et avec une suite : \(\sup A=  a\)
  \[
    \iff
    \begin{cases}
      \forall x\in A, x\leq A \\
      \forall \epsilon>0,\exists x\in A, a-\epsilon<x
    \end{cases}
    \iff
    \begin{cases}
      \forall x\in A, x\leq A \\
      \exists (x_n)_{n\in\N}\in A^\N, \lim_{n\to+\infty}x_n=a.
    \end{cases}
  \]
\item Théorème de la limite monotone : une suite croissante est soit convergente, soit divergente vers \(+\infty\).
\item Définition des suites adjacentes, et théorème de convergence.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Ce que le programme ne contient \underline{pas} :}
\begin{itemize}
\item Les suites extraites.
\item Les suites récurrentes définies par une fonction.
\item Les suites à valeurs dans un ensemble non contenu dans \(\R\).
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Questions de cours possibles :} 
\begin{itemize}
\item Définition de la convergence + preuve d'une propriété.
\item Énoncé + démonstration du théorème des gendarmes.
\item Énoncé + démonstration du théorème de convergence des suites adjacentes, en utilisant celui sur les suites monotones.
\item Rappeler le théorème des croissances comparées.
\item Quelques calculs de limites pas trop compliquées, à justifier soigneusement.
\end{itemize}



\end{document}
