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\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 1 : nombres réels, suites et récurrence}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{multicols}{2}

\section{Nombres réels}

\begin{exo} Pour $a$ et $b$ deux nombres réels, simplifier les expressions suivantes sans vous soucier des conditions d'existence :
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
    \item $\ds\frac1{ab}\times\frac{\frac1a+\frac1b}{\frac1b-\frac1a}$
    \item $\ds\frac{ \frac{a+b}{ab}}{a-b}$
    \item $\ds\frac{a+b}{ \frac{ab}{a-b}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
    \item Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a\leqslant b$. Montrer que \quad $\ds \frac{2a + b}{3}\leqslant b$\quad et \quad $\ds \frac{a - 4b}{3}\leqslant -b$.
    \item Montrer que pour $n\geqslant 2$, on a \quad $\ds \frac{3}{n+2} \leqslant \frac 34$ \quad et \quad  $\ds \frac{n+1}{n+2} \geqslant \frac34$.
    \item Montrer que pour $x$ et $y$ des réels positifs, on a $\sqrt{x}+\sqrt{y} \leqslant \sqrt{2} \sqrt{x+y}$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip


\begin{exo}
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $x \in [1,4]$ et $y\in [-3,-1]$.

Donner les encadrements les plus précis possibles des nombres réels suivants: \quad $x-y$,\quad  $x y$ \quad et \quad $\ds \frac{x}y$.
\end{exo}\medskip

\begin{exo}\setlength{\columnseprule}{0pt}
Résoudre les inéquations suivantes (d'inconnue $x \in \R$) et donner leurs ensembles de solutions à l'aide d'intervalles.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
\item $\ds x^2 \leqslant 4$ 
\item $\ds\frac{3}x < \frac{x}3$
\item $\ds\frac{2 x+1}{x +3} \leqslant 2$
\item$\ds\sqrt{x^2+6} \leqslant 3x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}\medskip



\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre l'équation $|3 x -7|  = |- 2 x +1|$ d'inconnue $x\in \R$.
    \item Résoudre l'équation $|x+2| = |x^2-4|$ d'inconnue $x\in \R$.
    \item Trouver toutes les valeurs de $x \in \R$ telles que $|3x +6|-5 < |2x + 4|$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tous réels positifs $a$ et $b$, on a $\sqrt{a b} \leqslant \frac{1}{2}(a+b)$. Dans quel(s) cas y a-t'il égalité ?
    \item On suppose maintenant que $a>0$ et $b>0$. Déduire de la question précédente que $\ds \frac{2}{\frac1a+\frac1b} \leqslant \sqrt{ab}$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

%\begin{exo}
%Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels positifs tels que $a \leqslant b+c$. Montrer que
%$\ds \frac{a}{1+a} \leqslant \frac{b}{1+b} + \frac{c}{1+c}.$
%\end{exo}\medskip


\section{Suites et récurrence}

\begin{exo}
On étudie la suite $(u_n)_{n\in \N}$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1} =\sqrt{5+2n+{u_n}^2\phantom{(}}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer les premiers termes de la suite (jusqu'au rang $n=4$).
    \item Conjecturer une formule explicite pour le terme général de la suite (c'est-à-dire exprimer $u_n$ en fonction de $n$).
    \item Démontrer la conjecture à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
    \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$ on a 
$$1^2+ 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{(2n +1)(n+1)n}{6}.$$
\item Soit $a>-1$. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$, on a $(1+a)^n \geqslant 1 + na$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$ on a 
$$1 \times 3 \times \cdots \times (2n+1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}.$$
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip


\begin{exo} On définit la suite $(u_n)_{n\in \N}$ par $u_0 =1$ et $\ds u_{n+1} = \frac12 u_n + \frac1{u_n}$ pour tout entier $n$.

Montrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est minorée par 1 et majorée par 2.
\end{exo}\medskip


\begin{exo}
Pour les suites suivantes, donner la nature de la suite et une expression explicite du terme général.
\begin{enumerate}
    \item $(u_n)$ définie par $\left\{\begin{array}{l}
    u_0=1,\\
    u_{n+1} = 3 u_n -1 \textrm{ pour tout } n \in \N.
    \end{array}\right.$
    \item $(v_n)$ définie par $\left\{\begin{array}{l}
    v_1=0,\\
    v_{n+1}= \frac{1}{3}v_n+3 \textrm{ pour tout } n \in \N^\star.
    \end{array}\right.$
%    \item $(w_n)$ définie par $w_0=w_1 = 2$ et pour tout $n\in \N, \; w_{n+2} = 2 \sqrt{2} w_{n+1} - 2 w_n$.
%    \item $(x_n)$ définie par $x_0 = 1$, $x_1 = 0$ et, pour tout $n\in\N$, $x_{n+2} = x_{n+1}+6 x_n$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip




\begin{exo}
Soit $(u_n)_{n\in \N}$ la suite réelle définie par $u_0=2$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = 2u_n+3^n$.
\begin{enumerate}
\item
Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
\item
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \frac{u_n}{3^n}$.
\begin{enumerate}
\item
Montrer que la suite $(v_n)_{n\in\N}$ est arithmético-géométrique.
\item
En déduire une expression explicite de $v_n$, puis de $u_n$, en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}
Soient $\left(a_n\right)$ et  $\left(b_n\right)$ deux suites définies par $a_0=2$, $b_0=0$ et, pour tout entier $n$,
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$a_{n+1}=2a_n+b_n\qquad(1)$ \\
$b_{n+1}=a_n+2b_n\qquad\,(2)$
\end{tabular}\right.$$

Les questions 2 et 3  permettent de déterminer le terme général de ces suites de 2 manières indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_1$, $b_1$ puis $a_2$ et $b_2$
\item \textbf{Méthode 1 :}
\begin{enumerate}
\item Posons pour tout $n\in\N$ : $s_n=a_n+b_n$. 
Montrer que $\left(s_n\right)$ est géométrique et déterminer son terme général.
\item Posons pour tout $n\in\N$ : $d_n=a_n-b_n$. 
Montrer que $\left(d_n\right)$ est constante et déterminer son terme général.
\item Déduire en résolvant un système les termes généraux de $\left(a_n\right)$ et  $\left(b_n\right)$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Méthode 2 :}
\begin{enumerate}
\item En combinant les relations (1) et (2) montrer que pour tout entier $n$, $a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0$.
\item Déterminer le terme général de $\left(a_n\right)$.
\item Déduire celui de $\left(b_n\right)$ à l'aide de la relation de récurrence (1).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip


