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\author{}
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\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 2 : sommes et produits finis}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{multicols}{2}

\begin{exo} \'Ecrire les sommes suivantes en utilisant le symbole $\ds\sum$ :
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
    \item $\ds 1 + 2^3 + 3^3 + \cdots + 150^3 = \,?$
    \item $\ds \frac16 + \frac18 + \frac1{10}+ \cdots + \frac1{66}=\,?$
    \item $\ds 1-\frac13+\frac15-\frac17 +\cdots +\frac1{29}=\,?$
    \item $\ds 2+4+6+ \cdots + 2n=\,?$
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo} Montrer par récurrence que les propositions suivantes sont vraies pour tout $n\in \N^*$ :
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
    \item $\ds \sum_{k=1}^n k2^k = (n-1)2^{n+1}+2$
    \item $\ds \prod_{k=1}^n (k+n) = 2^n \prod_{k=1}^n (2k-1)$ %avec des sommes et des logarithmes $\ds \sum_{k=1}^n \ln(k+n) = n \ln(2)+ \sum_{k=1}^n \ln(2k-1)$
    \item $\ds \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^k}k = - \sum_{k=1}^n \frac1{k+n}$
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip


\begin{exo}Donner une expression simple, en fonction de $n\in \N^*$, pour les sommes suivantes.
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
\item La somme des $n$ premiers nombres impairs.
\item $\ds 1\times 2 + 2\times3 + \cdots + n \times (n+1)$
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2} 
\item $\ds \sum_{k=0}^n (-1)^k$
\item $\ds \sum_{k=1}^n k(n+1-k)$
\item $\ds \sum_{k=2}^n(k^2+2k+1)$
\item $\ds \sum_{p=3}^{n+2} 2^p(1+3^p)$
\item $\ds \sum_{\ell=1}^n\frac1{2^{2\ell-1}}$
%\item $\ds \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt{3^i}}{n+1}$
\item $\ds \sum_{j=1}^{2n} (-1)^j j^2$\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip



\begin{exo} Calculer les sommes suivantes en faisant apparaître une somme télescopique.
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
    \item $\ds \sum_{k=1}^n \sqrt{k}-\sqrt{k+1}$
    \item $\ds \sum_{k=1}^n k \times k!$
    \item $\ds \sum_{k=1}^n \ln\!\left(1+\frac1k\right)$
    \item $\ds \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!}$
    \item $\ds \sum_{k=2}^n \frac1{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$
    \item $\ds \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}\bigskip

\begin{exo} Calculer, pour $n \in \N^*$, les produits suivants.
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
    \item $\ds \prod\limits_{k=1}^n 2k$
    \item $\ds \prod\limits_{k=1}^n (2k-1)$
    \item $\ds \prod\limits_{k=1}^n2^k$
    \item $\ds \prod\limits_{k=1}^n \left(1 + \frac1k\right)^k$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}\medskip


\begin{exo} Calculs de sommes et suites usuelles.
\begin{enumerate}
    \item Soit $(u_k)$ une suite arithmétique. Pour $n \in \N$, exprimer $\sum\limits_{k=0}^n u_k$ en fonction de $u_0$, $u_n$ et $n$.
    
    \emph{Indication :} on pourra utiliser $u_k = u_0+ k r$ où $r$ est la raison de la suite.\smallskip
    \item Soit $(w_n)$ une suite arithmético-géométrique de coefficients $a$ et $b$ (c'est-à-dire $w_{n+1} = a w_n + b$ pour tout $n\in \N$).
    \begin{enumerate}
        \item Montrer par récurrence que  pour tout $n \in \N$, $w_n = a^n w_0 + b\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^k$.
        \item On suppose $a \neq 1$. Simplifier l'expression obtenue pour $w_n$.
        \item Calculer, pour $n\in \N$, $\sum\limits_{k=0}^n w_k$ en fonction de $a$, $b$ et $n$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo} On étudie dans cet exercice la formule, définie pour $m$ et $n \in \N$:
$$\sum_{k=0}^n \binom{k+m}{m} = \binom{n+m+1}{m+1} .$$
\begin{enumerate}
    \item Représenter le triangle de Pascal jusqu'à la $8$ième ligne et vérifier que la formule est vraie pour $n=3$ et $m=3$.
    \item Montrer par récurrence que la formule est vraie.
    \emph{Indication :} dans ce raisonnement, $m$ est fixé, et la récurrence se fait sur $n$.
    \item À l'aide de la formule de Pascal, mettre la somme de la formule sous la forme d'une somme télescopique et retrouver ainsi le résultat de la question précédente sans faire de récurrence.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}Calculer les sommes suivantes pour $n\in \N$:
\vspace{-0.7em}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
    \item $\ds \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\frac{2^{2k}}{3^{k+1}}$
    \item $\ds \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k}\e^{-k}$
    \item $\ds \sum_{k=0}^n (2^{k-1}+1)\binom{n}{k}$
\staritem $\ds \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom{n}{k}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}\medskip
\newpage
\begin{exo}
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(1+x)^n$ où $n$ est un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
    \item Développer l'expression de $f$.
    \item Calculer de deux manières $f'(x)$.
    \item En déduire $\sum^n_{k=0} k \binom{n}{k}$ et $\sum^n_{k=0} k2^k \binom{n}{k}$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip



\begin{exo}
Pour $n \in \N^*$, on définit
\[\begin{array}{ll}
\ds A_n = \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} & \ds B_n =  \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \binom{2n}{k}\\
\ds P_n = \sum_{i=0}^n \binom{2n}{2i} &\ds I_n = \sum_{j=0}^{n-1}  \binom{2n}{2j+1} . \end{array}  \]
\begin{enumerate}
    \item Calculer $A_n$ et $B_n$.
    \item En séparant termes pairs et impairs, exprimer $A_n$ en fonction de $P_n$ et $I_n$. Faire de même pour $B_n$.
    \item En déduire les valeurs de $P_n$ et $I_n$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
À l’aide de la formule du binôme, démontrer que \begin{enumerate}
    \item Pour tout $n \in \N$, $4^n-1$ est multiple de $3$.
    \item Pour tout $n \in \N$, $7^n-1$ est multiple de $6$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip


\begin{exo} On note $k$ et $n$ deux entiers naturels tels que $k \leqslant n$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer, à partir de la formule explicite des coefficients du binome, que pour tout $i \in \I{k}{n}$, 
    $$ \binom{n}{i} \binom{i}{k}=\binom{n}{k} \binom{n-k}{i-k}.$$
    \item Donner une interprétation en terme de dénombrement de la formule précédente.
    \item En déduire que pour tout réel $x$, on a $\ds \sum_{i=k}^n \binom{n}{i}\binom{i}{k} x ^{n-i} = \binom{n}{k}(1+x)^{n-k}$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{multicols}

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\end{document}
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