%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{multicol}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% multicol
\setlength{\columnseprule}{.5pt}

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
\geometry{textwidth = 0.85\paperwidth,
  textheight = 0.8\paperheight}
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}


\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 3 : logique et ensembles}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{multicols}{2}
\section{Propositions logiques}

\begin{exo}
Pour $P$, $Q$ et $R$ des propositions logiques, écrire les tables de vérité des propositions \ogfg{($P$ et $Q$) $\Rightarrow R$} et de \ogfg{$P \Rightarrow$ ($Q \Rightarrow R$)}. Que peut-on en conclure ?
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $P_1$, $P_2$ et $P_3$ les propositions suivantes :
\begin{itemize}
\item $P_1$ : \ogfg{$\forall x\in I,\;x\geqslant2$},
\item $P_2$ : \ogfg{$\exists x\in I,\;x>1$},
\item $P_3$ : \ogfg{$\forall x\in I,\;\exists y\in I,\;x+y=2$}.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Écrire, à l'aide des quantificateurs, les négations des propositions $P_1$, $P_2$ et $P_3$.
\item On suppose pour cette question que $I=[2,4]$.

Pour chacune des propositions $P_1$, $P_2$ et $P_3$, déterminer si elle est vraie ou fausse en justifiant rigoureusement.
\item Même question avec l'intervalle $I=[-1,3].$
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo} Pour $n\in \N$, on considère la proposition ${\cal P}(n)$ : \ogfg{$\exists k\in \N,\,  n^3 + 2n = 3k$}.
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que ${\cal P}(0)$, ${\cal P}(1)$ et ${\cal P}(2)$ sont vraies.
    \item Développez $(n+1)^3$ puis démontrer, par récurrence, que ${\cal P}(n)$ est vraie pour tout $n\in\N$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
\'Enoncer à l'aide des quantificateurs les propositions suivantes portant sur une suite réelle $(u_n)_{n \in \N}$, puis écrire leur négation.
\begin{enumerate}
    \item $(u_n)$ est croissante.
    \item $(u_n)$ est géométrique.
    \item $(u_n)$ est bornée.
 \end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Donner une condition nécessaire mais non suffisante sur $x$ pour que $x^2 \geqslant 1.$
\item Donner une condition suffisante mais non nécessaire sur $x$ pour que $x^2 \geqslant 1.$
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip


\begin{exo}
Dire si ces affirmation sont vraies.
\begin{enumerate}
	\item Pour que le produit de deux réels soit positif, il suffit que ces réels soient positifs.
	\item Pour que le produit de deux réels soit positif, il faut que ces réels soient positifs.
	\item Il est nécessaire que $x>0$ pour que $2x+3>0$.
	\item Il suffit que $x>0$ pour que $2x+3>0$.
	%\item Pour que $x=2$, il faut que $x^2=4$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\section{Ensembles}
\begin{exo} Soient $A$, $B$ et $C$ des parties d'un ensemble $E$.
\'Ecrire à l'aide des ensembles $A$, $B$ et $C$ et des opérations sur les ensembles (intersection, réunion et complémentaire) les ensembles suivants:
\begin{enumerate}
    \item L'ensemble des éléments de $E$ qui appartiennent à $A$ ou à $B$, mais pas aux deux à la fois.
    \item L'ensemble des éléments de $E$ qui appartiennent exactement à deux des trois ensembles $A$, $B$ et $C$.
    \item L'ensemble des éléments qui n'appartiennent à aucun des trois ensembles.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Soient $X$ et $Y$ deux parties d'un ensemble $E$. \'Ecrire de manière plus simple les ensembles suivants :
\begin{enumerate}
\item $A = (X \cap Y) \cup (X \cap \overline{Y})$,
\item $B = (X \cup Y) \cap (X \cup \overline{Y})$,
\item $C = (X \cup Y) \cap (X \cup \overline{Y}) \cap ( \overline{X} \cup Y) \cap (\overline{X} \cup \overline{Y})$,
\item $D = (X \cap Y) \cup (X \cap \overline{Y}) \cup ( \overline{X} \cap Y) \cup (\overline{X} \cap \overline{Y})$.
\end{enumerate}
\end{exo} \medskip

\begin{exo}
En considérant $\R^2$ comme l'ensemble des points du plan (rapporté à un repère orthonormé), représenter graphiquement les sous-ensembles de $\R^2$ ci-dessous:
\[\begin{array}{l}
A=\left\lbrace (x,y)\in \R^2 \ | \ x+y = 1\right\rbrace,\\
B=\left\lbrace (x,y)\in \R^2 \ | \ xy<0\right\rbrace,\\ 
C=\left\lbrace (x,y)\in \R^2 \ | \ x^2+y^2\leqslant1 \text{ et } x\geqslant 0 \right\rbrace.\end{array}\]
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Soient $A, B, C$ des parties d'un ensemble $E$. 
\begin{enumerate}
    \item Montrer que si $A \cup B = A \cap B$, alors $A = B$. 
    
    \emph{On pourra montrer l'égalité d'ensembles par double inclusion.}
    \staritem Montrer que si $A \cup B = A \cup C$ et $A \cap B = A \cap C$, alors $B = C$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Montrer que les deux sous-ensembles $A$ et $B$ de $\R^2$ définis ci-dessous sont égaux.
\[\begin{array}{l} 
A= \left\{(x,y) \in \R^2\,|\, x+2y = 1 \right\},\\
B = \left\{\left(1-t,\frac12 t\right);\; t\in \R\right\}.\end{array}\]
\end{exo}
\section{Raisonnements}
\begin{exo} Soit $a$ et $b$ des réels. \'Ecrire la contraposée de l'implication : \quad ($a=0$\; ou\; $b=0$) \quad $\Longrightarrow$ \quad $ab=0$.
\end{exo}\medskip

\begin{exo} Soit $n\in \N$. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par contraposée, que
$$(n^2-1) \text{ n'est pas divisible par }8 \quad \Longrightarrow \quad n \text{ est pair}.$$
On pourra utiliser le fait que si $n$ est impair, alors il existe $k\in \N$ tel que $n=4k+1$ ou $n=4k+3$.
\end{exo}\medskip

\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item 
Montrer en raisonnant par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
\item Démontrer que si $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs tels que $a+b\sqrt{2}=0$, alors $a=b=0$.
\item En déduire que pour $m,n,p$ et $q$ des entiers relatifs, on a
$$m+n\sqrt{2}=p+q\sqrt{2} \quad \Longleftrightarrow \quad  m=p \;\text{ et }\; n=q.$$
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo} Soient $a,b$ et $c$ trois réels de $[0,1]$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer le maximum sur l'intervalle $[0,1]$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = x(1-x)$.
    \item À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que l'un au moins des nombres $a(1-c)$, $b(1-a)$ et $c(1-b)$ est inférieur ou égal à $\frac14$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Montrer que, pour tout nombres réels $a$ et $b$, on a
$$\forall n \in \N, a\times 2^n + b \times 3^n =0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=b=0.$$
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Soit $a$ un réel. Prouver l'équivalence :
$$a=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \epsilon>0, \, \,  |a|\leqslant \epsilon.$$
\end{exo}\medskip

\begin{exo} En procédant par analyse et synthèse, montrer que toute fonction de $\R$ dans $\R$ est somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.\end{exo}\medskip

\begin{exo} En procédant par analyse et synthèse, déterminer toutes les applications $f : \N \to \R$ telles que
\[\forall m,n\in \N, f(m+n)=f(m)+f(n).\]\end{exo}\medskip

\begin{exo} En procédant par analyse et synthèse, résoudre $|2x-1|=x+2$ pour $x$ dans $\R$.\end{exo}\medskip

\begin{exo} En procédant par analyse et synthèse, déterminer toutes les applications $f: \R \to \R$ telles que
\[\forall x,y\in \R, f(x)f(y)=f(xy)+x+y.\]\end{exo}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo} On considère les deux applications suivantes, définie sur $\N$ et à valeur dans $\N$ :
$$ f: \begin{cases} \N \to \N\\ n \mapsto 2n \end{cases} \qquad \mathrm{ et } \qquad g: \begin{cases} \N \to \N\\ n \mapsto \begin{cases} \frac{n}2\; \text{ si } n \text{ est pair,}\\ \frac{n-1}2 \text{ si } n \text{ est impair.} \end{cases} \end{cases}$$
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que $f$ et $g$ sont bien définies (c'est à dire que les images sont bien dans l'ensemble d'arrivée).
    \item Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $g(0)$, $g(1)$ et $g(2)$.
    \item \'Etudier les propriétés d'injectivité et de surjectivité de $f$, de $g$, de $g\circ f$ et de $f\circ g$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Soit $a$ un réel. Prouver l'équivalence :
$$a=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \epsilon>0, \, \,  |a|\leqslant \epsilon$$
\end{exo}\medskip


\begin{exo}
Soient $A$, $B$ et $C$ trois propositions. \'Ecrire la négation de chacune des proposition suivantes sous une forme simple:
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\item $A$ ou ($B$ et $C$)
\item $A$ et  ($B$ ou non($C$))
\item $A$ $\Rightarrow$ non($B$)
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\item non($A$ ou $B$) $\Rightarrow$ $C$
\item ($A$ et $B$) $\Rightarrow $ non($C$)
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo} \medskip


\begin{exo} Démontrer que les propositions suivantes sont vraies.
\begin{enumerate}
   \item $\forall x \in \R, \exists y\in \R,\, x + y > 0 $ .
   \item $\exists x \in \R, \forall y \in \R,\, xy = 0$.
   \item . \qquad \emph{Indication :} on pourra raisonner par récurrence.
 \end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Déterminer ${\cal P}(E)$ pour $E=\{1,2,3,4\}$. Combien d'éléments possède l'ensemble ${\cal P}(E)$.
\end{exo}\medskip

