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\newtheorem{exo}{Exercice}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 4 : Fonctions usuelles et étude globale de fonctions}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{multicols}{2}


\begin{exo}
	Simplifier les nombres ci-dessous (pour $x$ un réel convenable et $n$ entier).
	\renewcommand{\arraystretch}
	{3}
	\[\begin{array}{ll}
	A = \left(\sqrt{7-2\sqrt{6}}+ \sqrt{7+2\sqrt{6}}\right)^2& F= \frac{\sqrt{\e^{3x+5}}}{\left(\e^x\right)^2\e^{-\frac12x+2}}
	\\
	B={\frac{ 3^{-2} \times 27}{ \left(3^2\right)^3 \times 3^{-1}}}& G=\frac{2^{x+1} 6^x}{3^x} - 4^x
	\\
	C=\sqrt{\big(1-\sqrt{2}\big)^2} + \sqrt{\big(2-\sqrt{2}\big)^2}& H=\frac{\e^{3 - \ln(2)}}{\e^2}
	\\
	D=\exp\!\big(\ln(4) + |2 \ln(2)-2|\big)& I=\frac{\big(x \sqrt{x}\big)^5}{(x^2 \times x)^3}
	\\
	E=7 \times3^n - 9\times 3^{n-1} - 3^{n+1}& J=16^{\frac14}+9^{\frac12}-125^{\frac13}\end{array}\]
	\[K=2\ln\!\left( \sqrt{x^2-1}\right) - \ln(x-1) - \ln(x+1)\]
\end{exo}\medskip


\begin{exo}Compositions de fonctions.
	\begin{enumerate}
		\item Pour $f: x \mapsto x^2 + 2x$ et $g: x \mapsto x+1$, donner une expression simplifiée pour les fonctions $g \circ f $ et $f \circ g$.
		\item Pour $f: x \mapsto x^2 + 2x$ et $g: x \mapsto \frac{x}{x+1}$, donner une expression simplifiée pour les fonctions $g \circ f $ et $f \circ g$.
		\item Pour $f: x \mapsto \ln(x)^2 - \ln(x)$ et $g: x \mapsto \e^{-x}$, donner une expression simplifiée pour les fonctions $g \circ f $ et $f \circ g$.
	\end{enumerate}
\end{exo}\medskip



\begin{exo} Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, étudier le domaine de définition, puis calculer la dérivée là où elle est définie.
\renewcommand{\arraystretch}
{2}
\[\begin{array}{ll}
f_1:x \mapsto \ln(1+x^3)&f_8:t \mapsto \sqrt{ \ln(t)+1}\\
f_2:x \mapsto \frac{x^2+1}{x^2-1}&f_9 : a \mapsto 2^a\\
f_3:y \mapsto \ln(y)^4&f_{10} : x \mapsto x \sin\!\left(\frac1{\sqrt{x}}\right)\\
f_4:x \mapsto x^2\e^{-\frac1x}&f_{11}:x \mapsto \ln\!\big(\e^{x+1} + \e^{x-1}\big)\\
f_5:t \mapsto \ln\!\big(\ln(t)\big)&f_{12}: x \mapsto \frac1{\sqrt{\e^{2x}+1}}\\
f_6: \theta \mapsto \cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2&f_{13} :x  \mapsto (1+x)^{\frac1x}\\
f_7 :t \mapsto \frac{\cos\!\big(t^2\big)}{t}&f_{14}:x \mapsto \big(1+x \ln(x)\big)^3 
\end{array}\]
\end{exo}\medskip



\begin{exo} \'Etudier chacune des fonctions définies ci-dessous (domaine de définition et de dérivabilité, calcul de la dérivée, tableau de variations et limites au bord du domaine) puis représenter l'allure de leur graphe dans un repère orthonormé en s'aidant entre autres des tangentes horizontales et des points d'annulation.
$$f: x \mapsto \sqrt{x}-x,\;\; g:x \mapsto x \ln(x), \; \; h : x \mapsto \frac{x^2-x-1}{x^2+x+1}.$$
\end{exo}\medskip





\begin{exo}Étudier le domaine de définition puis la parité de 
$$f:x \mapsto \frac{\e^x}{\big(1+\e^x\big)^2} \; \et \; g:x \mapsto \ln \!\big(x+ \sqrt{1+x^2}\big).$$
\end{exo}\medskip

\begin{exo} Soient $f$ et $g$ deux fonctions impaires définies sur $\R$. Déterminer la parité de $f+g$, $f\times g$, et $f \circ g$.
\end{exo}\medskip

\begin{exo} Représenter dans un même repère le graphe des fonctions $x \mapsto \frac1x$ et $x \mapsto \big\lfloor \frac1x \big\rfloor$.
\end{exo}\medskip



\begin{exo}
Démontrer, à l'aide d'une étude de fonction, que $\forall x \in \R_+$, $\e^{2x}-2x\e^x\geqslant 1$.
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Résoudre, pour $x\in \R$, les inéquations ou équations suivantes :
\begin{center}
\begin{eqenum}
    \item $3\e^x - 2 \e^{\frac{x}{2}} < 1$,
    \item $\ln(9x^2) - 2 \ln(3) = 2$,
    \item $\exp(-2x^2)\exp(3x) \leqslant \e$,
    \item $1- \left(\frac12\right)^{\!x} \geqslant 0,99$,
    \item $\e^{2x} - \e^x < 6$,
    \item $\e^{x^2-1} = \ln(2)$,
    \item $2\ln(1+x^2) \geqslant 3$.
\end{eqenum}\end{center}
\end{exo}\medskip


\begin{exo}
	Pour tout $x >0$, on définit \[ f(x) = 2\ln(x)-x + \frac1x.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de $f$ et en déduire les variations de $f$ sur $\R_+^*$.
		\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$. En déduire que $f$ réalise une bijection de $\R^*_+$ vers $\R$.
		\item Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 1 au graphe de $f$.
		\item Représenter l'allure du graphe de $f$ dans un repère orthonormé, et celui de sa bijection réciproque.
	\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo} On considère la fonction $\ds f : x \mapsto \frac{x}{1+\e^x}$.
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $f$, puis calculer sa dérivée.
\item On note $g : x\mapsto 1+\e^x -x \e^x$.
\begin{enumerate}
    \item Établir le tableau de variations de $g$.
    \item Justifier rigoureusement que $g$ s'annule une unique fois sur $\R$, en un réel que l'on notera $\alpha$.
    \item Donner, en fonction de $\alpha$, le tableau de signes de $g$.
\end{enumerate}
\item
Montrer que $f(\alpha) = \alpha -1$ et que $\alpha$ vérifie l'encadrement suivant : $1 \leqslant \alpha \leqslant 1+ \e^{-1}$. 
\item
Dresser le tableau de variations de $f$ en précisant bien les limites en $+\infty$ et $-\infty$.
\item Montrer que $\lim\limits_{x\to -\infty} \big(f(x) - x\big) = 0$.

On admet que cela signifie que la droite d'équation $y=x$ est une asymptote au graphe de $f$ en $-\infty$.
\item
Représenter, dans un repère orthonormé, l'allure du graphe de $f$, à l'aide entre autres de ses tangentes horizontales et de ses asymptotes.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo} On étudie la fonction $\ds f : x \mapsto \frac{x^2}{\ln(x)}$.
\begin{enumerate}
    \item Donner le domaine de définition de $f$, calculer sa dérivée et en déduire son tableau de variations.
    \item Préciser les limites de $f$ aux bords de son domaine. On pourra utiliser $\lim\limits_{x\to1^-} \ln(x) = 0^-$ et $\lim\limits_{x\to1^+} \ln(x) = 0^+$.
    \item Tracer l'allure du graphe de $f$ dans un repère orthonormé.
    \item Préciser, en fonction de la valeur de $y \in \R$, le nombre de solutions à l'équation, $f(x) =y$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip



\begin{exo}
Soit $a \in \R$ un réel fixé. Déterminer, en distinguant éventuellement plusieurs cas selon la valeur de $a$, le nombre de solutions aux équations :
\begin{eqenum}
    \item $\ln(x + a) = x$,
    \item $x^3+a = 3x$,
    \item $x^a = a^x$, en supposant $a> 0$.
\end{eqenum}
\emph{Remarque :} on ne demande pas la valeur des solutions, seulement leur nombre.
\end{exo}\medskip


\begin{exo} On définit la fonction $f$ sur $\R$ par \[ f(x) = \frac{\e^x-1}{\e^x+1}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de $f$ et en déduire ses variations.
		\item Montrer que $f$ réalise une bijection de $\R$ vers un intervalle $J$ à préciser.
		\item Résoudre, pour $y \in J$, l'équation $f(x) = y$ et en déduire une expression de $f^{-1}(y)$.
	\end{enumerate}
\end{exo}\medskip


\begin{exo} On considère la fonction $f: x \mapsto \frac{|x| }{1 + x^2}$ définie sur $\R$. Pour chacune des propositions logiques ci-dessous, démontrer si elles sont vraies ou fausses (avec une rédaction rigoureuse et concise).
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in \R,\, f(x) = f(-x)$,
\item $\exists M \in \R,\, \forall x\in \R, f(x)\leqslant M$,
\item $\forall x \in \R,\, |x| >1 \Rightarrow f(x) < \frac12$,
\item $\forall y \in \R_+,\, \exists x \in \R, f(x) = y$,
\item $\exists x_0 \in \R, \forall x \in \R, f(x) \leqslant f(x_0)$,
\item $\forall y \in \,]0,\frac12], \exists! x \in\, ]0,1], f(x) = y$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo} \medskip

\end{multicols}
\end{document}
\newpage

Dérivées
$$x \mapsto \ln\!\big(\e^{3x+1} + \e^{3x-1}\big) \qquad \qquad x \mapsto \frac{2x+3}{x^2+1}\qquad\qquad x \mapsto \frac1{\sqrt{\e^{2x}+1}}$$
$$x \mapsto x \sin\left(\frac1{\sqrt{x}}\right) \qquad\qquad x \mapsto \left(1+\frac1x\right) \e^{\frac1x} +1\qquad \qquad x \mapsto \big(1+x \ln(x)\big)^3$$
$$x \mapsto (1+x)^{\frac1x} \qquad \qquad x \mapsto\e^{\big(1+\ln(x)\big)^2}$$

Calculs
$$\e^{\ln(4) + |2 \ln(2)-2|} \qquad \qquad 7 \times3^n - 9\times 3^{n-1} - 3^{n+1} \qquad\qquad  \frac{\e^{3 - \ln(2)}}{\e^2}$$

$$16^{\frac14}+9^{\frac12}-125^{\frac13}\qquad\qquad  \frac{8^n\times \sqrt{3}^{n+1}}{6^{n-1}\times\big(2^{n+2}\big)^2}$$
 Résoudre
$$\e^{2x} - \e^x < 6\qquad\qquad \e^{x^2-1} = \ln(2) \qquad \qquad 2\ln(1+x^2) \geqslant 3$$

\newpage

\begin{exo}[$\star$]
Soit $n$ un nombre entier strictement positif ($n \in \N^*$). 
\begin{enumerate}
    \item Montrer que $n-1 \leqslant \sqrt{n^2-1} < n$. %\emph{On rappel que la fonction racine carré est strictement croissante.}
    \item En déduire, à l'aide des propriétés de la partie entière, que $\lfloor \sqrt{n^2-1}\rfloor = n - 1$.
    \item Donner, sans calculatrice, les valeurs de $\lfloor \sqrt{99} \rfloor$, $\lfloor \sqrt{120} \rfloor$ et $\lfloor \sqrt{168} \rfloor$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}[$\star$]
Montrer que pour tout réel $x$, on a l'égalité suivante:
$\left\lfloor \frac{x}2 \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x+1}2  \right\rfloor =  \left\lfloor x \right\rfloor$.
\end{exo}\medskip




\begin{exo}
Soit $f : \R \to \R$ la fonction définie par $ \forall x \in \R$ , $f(x) = \e^x-x^2$. Montrer que $f$ est bijective.

\emph{Indication.} On pourra dériver deux fois $f$ pour déterminer le signe de $f'$.
\end{exo}\medskip


\begin{exo}
Simplifier.
$$\text{a})\;\frac{ \frac3{16} - \frac18}{\frac5{12} + \frac7{20}} \qquad\qquad \text{b})\;\frac1{\sqrt{3}}-\frac{1}{1+\frac{2}{1+\sqrt{3}}}\qquad\qquad \text{c})\;\text{ pour } x \in \R \setminus \{-1,0,1\}, \qquad \frac{4x+2}{x^2-1}- \frac3{x+1} + \frac{-x+3x^2}{x^3-x}.$$
\end{exo}\medskip

\begin{exo} Ranger dans l'ordre (du plus petit au plus grand) les nombres suivants :
$$10^{-3}\;; \qquad \sqrt{7-4\sqrt{3}}\;; \qquad 2-\sqrt{3}\;;\qquad -10^3\;; \qquad 2^8\;;\qquad \sqrt{2}\;; \qquad 0,01\;;\qquad \frac{7}{5}\;;\qquad 8^2\;; \qquad \frac{3}{2}. $$
\end{exo}\medskip




\begin{exo}Compositions de fonctions.
\begin{enumerate}
    \item On définit $f: x \mapsto x^2 + 2x$ et $g: x \mapsto x+1$. Donner une expression pour les fonctions $g \circ f $ et $f \circ g$.
    \item On définit $f: x \mapsto x^2 + 2x$ et $g: x \mapsto \frac{x}{x+1}$. Donner une expression pour les fonctions $g \circ f $ et $f \circ g$.
    \item On définit $f: x \mapsto \ln(x)^2 - \ln(x)$ et $g: x \mapsto \e^{-x}$. Donner une expression pour les fonctions $g \circ f $ et $f \circ g$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $\forall x \in \R,\; f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$.
\begin{enumerate}
    \item Faire le tableau de variations de $f$.
    \item Déterminer les éventuelles droites asymptotes au graphe de $f$ (pour $x \to + \infty$ et $x \to - \infty$) puis tracer l'allure de ce graphe dans un repère orthonormé.
    \item Montrer que $f$ est bijective (de $\R$ vers un intervalle à préciser), tracer le graphe de sa bijection réciproque, puis en déterminer une expression explicite.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip


\begin{exo}[$*$]Fonction réciproque de sinus.
\begin{enumerate}
    \item Trouver un intervalle $I$ de $\R$ tel que la fonction $\sin : I \to [-1,1]$ soit bijective et impaire. 
    \item Tracer dans un même repère le graphe de la fonction $\sin : I \to [-1,1]$ et de sa fonction réciproque. On la note $\textrm{arcsin} : [-1,1] \to I$.
    \item Montrer que pour tout $x\in[-1,1]$, $\cos\left( \textrm{arcsin}(x)\right) = \sqrt{1-x^2}$.
    \item Montrer que pour tout $x\in\,]-1,1[$, arcsin est dérivable en $x$ et $\textrm{arcsin}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
    \item En déduire la valeur de l'intégrale $$\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rmd x.$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Étudier l'injectivité et la surjectivité de $f:E\to F$ dans les cas
suivants:
\vspace{-1em}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $E=\R$, $F=\R$, $f:x\mapsto\lfloor x\rfloor$
\item $E=\R$, $F=\R$, $f:x\mapsto\frac{x^3}{1+x^2}$
\item $E=\R$, $F=\R$, $f:x\mapsto\frac{x}{1+x^2}$
\item $E=[-1,1]$, $F=\R$, $f:x\mapsto\frac{x}{1+x^2}$
\item $E=\R$, $F=[-\frac12,\frac12]$, $f:x\mapsto\frac{x}{1+x^2}$
\item $E=[-1,1]$, $F=[-\frac12,\frac12]$, $f:x \mapsto\frac{x}{1+x^2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}\medskip



\begin{exo}
On considère l'application $ f:\begin{cases}\R\setminus \{3\} \to \R\setminus \{2\} \\ \qquad \;\;  x \mapsto \frac{2x+1}{x-3}\end{cases}$.
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que cette application est bien définie.
    \item Montrer que $1$ admet un unique antécédent par $f$ et le déterminer.
    \item Soit $y \in \R\setminus \{2\}$. Montrer que l'équation $f(x) = y$, d'inconnue $x \in \R \setminus \{3\}$, admet une unique solution.
    \item Conclure que $f$ est une bijection et donner une expression de $f^{-1}(y)$ pour $y \in \R\setminus \{2\}$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout $n\in \N$, l'équation d'inconnue $x\in \R$, $(E_n)$: $x^5 + x = n$ admet une unique solution.
    
    On note $u_n$ l'unique solution de $(E_n)$.
    \item Montrer que $(u_n)$ est croissante, puis déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip
