%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\author{}
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\newtheorem{exo}{Exercice}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 5 : Nombres complexes}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{multicols}{2}



\section{Formes algébrique et exponentielle, représentation graphique}
\begin{exo}
Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique.
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\[\begin{array}{lll}
 \ds z_1 = \frac{1}{1+3i}, & \ds z_2=(1+i)^2,&
 \ds z_3 = \frac{2-i}{1+i}, \\ \ds z_4=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i},
& \ds z_5=\frac{(1+i)^4}{(1-i)^3} \,\;\,\; +&\ds  \frac{(1-i)^4}{(1+i)^3}.\end{array}\]
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Représenter dans le plan puis mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants.
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\[\begin{array}{lll}
\ds z_1 = 3 +3i,&
\ds z_2=-\sqrt{3} - i,&
\ds z_3 = -\frac{4}{3}i,\\
\ds z_4=-2,&
\ds z_5= \sqrt{3}i-3,&
\ds z_6= \e^{i \frac{\pi}{4}}+\e^{i \frac{3\pi}{4}}.
\end{array}\]
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Pour quels entiers $n$ le nombre $(1+\sqrt{3}i)^n$ est-il réel ? imaginaire pur ?
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Pour $\theta,\theta' \in ]-\pi, \pi[$, mettre sous forme exponentielle $\e^{i\theta} - \e^{- i \theta'}$ et  $\ds \frac{1-\e^{i\theta}}{1+\e^{i\theta}}$.
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
    Mettre sous forme algébrique $\big( \frac{1+i\sqrt{3}}{1+i} \big)^{125}$. 
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
	Résoudre les équations suivantes dans $\C$ :
	\setlength{\columnseprule}{0pt}
	\begin{multicols}{2}
		\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
			\item $3 + \bar{z}- 2iz=5-3i$,
			\item $|z-2-i| = 3$,
			\item $|z-1|= |z-i|$.
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
\noindent\emph{Indication :} on pourra raisonner géométriquement pour les deux dernières.
\end{exo}\medskip

\begin{exo} On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=3$, $b=i$ et $c=2+3i$. Déterminer l'affixe de $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.\end{exo}\medskip

\begin{exo} Pour $z\in \C$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=1$, $b=z$ et $c=z^2$.
Déterminer pour quels $z$ ces trois points sont alignés.\end{exo}\medskip

\begin{exo}
On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module 1.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que pour $u \in \mathbb{U}$, on a $\overline{u} = \frac1{u}$.
    \item Montrer que \; $\forall u \in \mathbb{U}$, $\forall z \in \C^*$,\; $\ds \left| u - \frac1{z}\right| = \frac{|\overline{u}-z|}{|z|}\ .$
    \item Montrer que \; $\forall z \in \C\setminus \{1\}$, \; $ \ds \frac{z+1}{z-1} \in i \R \; \Longleftrightarrow\; z \in \mathbb{U}$
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
	Déterminer les complexes $z$ tels que $z$, $1-z$ et $1/z$ ont même module. 
\end{exo}\medskip


\begin{exo}
	Montrer que pour tout $z\in \C$, $$|z+i| = |z-i| \quad\Longleftrightarrow\quad z \in \R.$$
\end{exo}\medskip




\begin{exo}
	Résoudre les équations suivantes dans $\C$ :
	\setlength{\columnseprule}{0pt}
	\begin{multicols}{2}
		\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
			\item $1 +z +z^2 +z^3 =0$,
			\item $z^2 = |z|$,
			\item $z^3 = \overline{z}$,
			\item $z^4 = 3+4i$.
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
\end{exo}\medskip

\section{Moivre et trigonométrie}


\begin{exo}
Linéariser les expressions : $\sin(x)^3$, $\cos(x)^3$ et $\sin(x)^2 \cos(x)^2$.
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour $p$ et $q\in \R$,
$$\cos(p)+\cos(q) = 2\cos\!\Big(\frac{p+q}2\Big)\cos\!\Big(\frac{p-q}2\Big).$$
\item Déterminer des formules semblables pour la différence de deux cosinus et la somme de deux sinus.
\item Résoudre pour $x\in \R$,
$$\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x) = 0.$$
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Soit $\theta \in ]-\pi,\pi[$ et $n\in \N^*$.
\begin{enumerate}
    \item Mettre sous forme exponentielle $1+\e^{i \theta}$.
    \item Calculer et simplifier la somme $\ds \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \e^{ik\theta}$\ .
    \item En déduire des expressions factorisées de $\ds\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(k \theta)$ et $\ds\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \sin(k \theta)$\ .
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip



\begin{exo}
	Soit $a \in ]0,\pi[$. Calculer $\ds \sum_{k=1}^n \cos(a)^k \cos(ka)$.
\end{exo}\medskip





\begin{exo}
	Soit $n \in \N^*$. Déterminer les valeurs de 
	\[
	A_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{2n}{2k} \quad \text{et} \quad B_n = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \binom{2n}{2k+1}. 
	\]
	\emph{Indication : calculer $A_n + i B_n$. }
\end{exo}
\newpage

\section{Racines de polynômes d'ordre $2$, suites récurrentes d'ordre $2$}


\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
    \item Calculer sous forme algébrique les racines carrées de $1+i$.
    \item En déduire les valeurs de $\cos(\frac{\pi}8)$ et $\sin(\frac{\pi}8)$ à l'aide de racines carrées.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
Déterminer les racines des polynômes de degré $2$ suivants :
\begin{enumerate}
\item $P_1(z) =i z^2 +(1-3i) z + 4i$
\item $P_2(z) =z^2- (1+i) z + i$
\item $P_3(z) =i z^2+(i+2)z+1-3i$
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo} Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_0=-1$ et $u_1=3$ et pour tout $n\in \N$, $u_{n+2}= 2u_{n+1}-4u_n$.\\
Déterminer une expression du terme général de $u_n$.
\end{exo}\medskip



\begin{exo}
	Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$, $u_1= \mathrm{e}$ et pour tout $n \in \N, \; u_{n+2} = \sqrt{u_{n+1} u _n}$.\\
	Donner l'expression explicite du terme général $u_n$.\\
	\emph{Indication.} On pourra étudier la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \ln(u_n)$.
\end{exo}\medskip

\begin{exo} Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres complexes avec $c \neq 0$. On cherche à déterminer l'expression du terme général de la suite définie par $u_0 =1$, $u_1 = 1$ et la relation de récurrence $(E)$: $\forall n \in \N$, $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n +c$.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose dans cette question que $a+b \neq 1$.
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer quelle suite constante vérifie la même relation de récurrence $(E)$ que la suite $(u_n)$.
			\item On note $\lambda$ la valeur d'une telle suite constante, et on définit la suite $(v_n)$ de terme général $v_n = u_n -\lambda$. Montrer que la suite $(v_n)$ est récurrente linéaire d'ordre 2.
			\item Déterminer le terme général de $(v_n)$, puis de $(u_n)$, dans le cas $a=1$, $b=\frac12$ et $c=-1$.\medskip
		\end{enumerate}
		\item On suppose dans cette question que $a+b = 1$. On note alors, pour tout $n \in \N$, $w_n = u_{n+1}-u_n$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que la suite $(w_n)$ est arithmético-géometrique.
			\item Pour $n\in \N$, exprimer $u_n$ à partir des $w_k$ pour $k \in \I{1}{n}$ à l'aide d'une somme télescopique.
			\item Calculer le terme général de $(w_n)$, puis de $(u_n)$, dans le cas $a = 4$, $b=-3$ et $c=2$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exo}
\section{Racines $n$-ièmes de l'unité}

\begin{exo}
Déterminer les racines $4$-ièmes de $z_1$ et $z_2$ :
$$z_1=-119+120i \quad \text{ et } \quad z_2=\frac1{1+i}.$$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\omega = \e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ et $u = \omega  + \omega^2 + \omega^4$ et $v= \omega^3+\omega^5+\omega^6$. 
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\omega^7$ puis  $\ds \sum_{k=0}^6 \omega^k$.
    \item Calculer $u+v$ et $uv$.
    \item Déterminer un polynôme de degré deux dont $u$ et $v$ sont les racines et en déduire la forme algébrique de $u$ et de $v$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip



\begin{exo} On note $j = e^{i \frac{2\pi}3}$.
\begin{enumerate}
    \item Représenter géométriquement $j$, $j^2$, $\overline{j}$, $\frac1{j}$.
    \item Montrer que $1+j+j^2=0$.
    \item Montrer que pour tout $z \in \C$,
$$(z+1)(z+j)(z+j^2) = (1+z)(1+jz)(1+j^2z).$$
    \item Résoudre : $z^6 + z^3 +1 = 0$.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip





\begin{exo}
Soit $n \in \N^*$. On note $\omega = e^{i \frac{2 \pi}n}$ et on cherche à calculer la somme $S_n = \ds \sum_{k=1}^n \big(1+\omega^k\big)^n$.
\begin{enumerate}
    \item Soit $p\in \N.$ Montrer que $\omega^p = 1$ si et seulement si $p$ est divisible par $n$.
    \item Soit $k \in \N$. Développer $\big(1+ w^k\big)^n$ à l'aide de la formule du binôme de Newton.
    \item En déduire que $\ds S_n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\sum_{k=1}^n (\omega^i)^k$.
    \item Conclure que $S_n = 2n$. \emph{Attention aux conditions pour appliquer la formule de somme à termes géométriques.}
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip
$ $\\$ $\\$ $\\$ $\\$ $\\$ $\\$ $



\end{multicols}
\end{document}

