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\newtheorem{exo}{Exercice}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 6 : Équations différentielles}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{multicols}{2}

  \section{Intégration}
  \begin{exo} Déterminer, pour chaque fonction ci-dessous, une primitive en précisant le (ou les) intervalle(s) de validité.
    \setlength{\columnseprule}{0pt}
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $\ds x \mapsto \e^{3x} + 2x^4\phantom{\Big)}$
      \item $\ds x \mapsto x \e^{-x^2}\phantom{\Big)}$
      \item $t \mapsto \sqrt{ 1+2t}$
      \item $\ds t \mapsto \frac1t\ln(t)$
      \item $\theta \mapsto \cos(\theta)^2 \phantom{\Big)}$
      \item $\ds t \mapsto \frac{1}{t\ln(t)}$
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}Calculer les intégrales suivantes.
    \setlength{\columnseprule}{0pt}
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $\ds\int_{-1}^1|x^2-x|\,d x$
      \item $\ds\int_0^1 \frac{ \e^x}{\e^x+3}\, d x$
      \item $\ds \int_1^2\frac{t^2+2t-1}{t+1}\, d t$
      \item $\ds \int_0^{1/2} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
      \end{enumerate}
    \end{multicols}    
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo} Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une (ou plusieurs) intégration(s) par parties.
    \setlength{\columnseprule}{0pt}
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $ \ds \int_0^{\pi/2}(x-1)\cos(x) d x$
      \item $ \ds \int_0^1 x^2\ln(1+x)d x$
      \item $ \ds \int_0^1 \ln(1+x^2)d x$
      \item $ \ds \int_0^1x\arctan(x^2)d x$
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variable indiqué.
    \begin{enumerate}
    \item $ \ds \int_0^1\frac{\e^x}{1+\e^{2x}}d x$ \qquad\qquad ($x=\ln(t)$)
    \item $ \ds \int_1^2\frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}d t$ \qquad \qquad($t=u^2$)
    \item $ \ds \int_0^1 \frac{1}{1+\e^t}d t$ \qquad \qquad($u=\e^t$)
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Recherche de primitives]
    ~
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer, à l'aide d'une intégration par parties, une primitive de la fonction arctangente.
    \item Déterminer une primitive de la fonction tangente sur l'intervalle $]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2[\,$. On rappelle que $\forall \theta \in \,]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2[$, $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$.
  \item \begin{enumerate}
  \item Déterminer $a,b \in \R$ tels que $\frac1{1-x^2} = \frac{a}{1-x}+ \frac{b}{1+x}$ pour tout $x\in \R \setminus \{-1,1\}$.
  \item En déduire une primitive de $x \mapsto \frac{1}{1-x^2}$ sur l'intervalle $]-1,1[$.
  \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \section{Équations différentielles du premier ordre}

  \begin{exo}
    Résoudre les équations différentielles homogènes suivantes.
    \setlength{\columnseprule}{0pt}
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item \( 2y' - 3y = 0\)
      \item \( y' - xy = 0 \)
      \item \( (1+x^2)y' + 2xy = 0\)
      \item \(\ds y' - \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)}y = 0\)
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Résoudre les équations différentielles suivantes sur l'intervalle spécifié.
    \begin{enumerate}
    \item \( y' - 3y = 2\quad\) sur \(\R\)
    \item \( y' + y = 1 + x + xe^{-x} + \sin(x)\quad\) sur \(\R\)
    \item \( y' - 2x y = \sinh(x) - 2x\cosh(x)\quad\) sur \(\R\)
    \item \( (1+x)^2y' + xy = \sqrt{1+x^2}\quad\)  sur \(\R\)
    \item \( x^3y' + 4(1-x^2)y = x^4 \quad\)  sur \(\R_+^*\)
    \item \( y' + \tan(x) y - \sin(2x)= 0\quad\)  sur \(\osbra{-\frac\pi2,\frac\pi2}\)
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Résoudre les problèmes de Cauchy suivant
    \begin{enumerate}
    \item \(y' + 2xy = xe^{-x^2}\) sur \(\R\), avec \(y(0)=1\).
    \item \((1-x)y' - (1+2x)y = 1 + 2x\) sur \(\osbra{-1,1}\), et avec \(y(0) = 0\).
    \item \(\cos(x)y' + \sin(x)y = 1\) sur \(\osbra{-\pi/2, \pi/2}\), avec \(y(0)=2\).
    \end{enumerate}
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Équation fonctionnelle 1]
    Déterminer l'ensemble des fonctions \(f:\R\to\R\) dérivables qui vérifient, pour tout \((s,t)\in\R^2\), \(f(s+t)=f(s)f(t)\).
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Équation fonctionnelle 2]
    Décrire toutes les fonctions \(f:\R_+\to\R\) continues vérifiant
    \[
    \forall x\in\osbrar{0,+\infty},\ 2xf(x) = 3\int_0^x f(t)dt.
    \]
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    On considère une fonction \(a:\R\to\R\) continue et \(T\)-périodique, pour un certain \(T>0\). On pose \(\bar a = \frac1T \int_0^T a(x)dx\) la valeur moyenne de \(a\). Montrer que si \(f\) est une solution de l'équation différentielle
    \[
    y' - a(x) y = 0
    \]
    sur \(\R\), alors \(x\mapsto e^{-\bar ax} f(x)\) est \(T\)-périodique.
  \end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  
  \section{Équations différentielles du deuxième ordre}

  \begin{exo}
    Résoudre les équations différentielles homogènes suivantes dans \(\R\), puis dans \(\C\).
    \begin{enumerate}
    \item \(y'' - 3y' + 2y = 0\)
    \item \(y'' - 4y' + 4y = 0\)
    \item \(y'' + 2y' + 2y = 0\)
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Résoudre les équations différentielles suivantes d'inconnue \(y\) à valeurs dans \(\R\).
    \begin{enumerate}
    \item \(y'' - 2y' + y = te^t \)
    \item \(y'' - 4y' + 5y = \cos(2t) - 2\sin(2t)\)
    \item \(y'' + 9y = \cos(2t)e^t\)
    \item \(y'' + 4y' - 5y = 2e^t\)
    \item \(y'' + y' + y = e^t\cos(t)\)
    \item \(y'' - 3y' + 2y = (t^2+1)e^t\)
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Commenter la résolution suivante :
    \par\og On considère l'équation différentielle d'inconnue \(y\), \(x^2y(x)'' - xy(x)' = 0\) sur l'intervalle \(\osbra{0,+\infty}\). L'équation caractéristique est \(x^2r^2 + xr = 0\), dont les racines sont \(r=0\) et \(r= -1/x\). On en déduit que l'ensemble des solutions est
    \[
    \mc S = \{ x\mapsto A + B\exp(-1/x), \ (A,B)\in\R^2 \}. \text{\fg}
    \]
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Soit \(m\in\R\). En fonction de la valeur de \(m\), trouver les solutions réelles de l'équation différentielle
    \[
    y'' - 2y' + my = \cos(x)
    \]
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Équation fonctionnelle 1]
    Déterminer les fonctions \(f:\R\to\R\) dérivables telles que pour tout \(x\in\R\),
    \[
    f'(x) + f(-x) = e^x.
    \]
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Équation fonctionnelle 2]
    Soit \(\lambda \in\R\). Trouver toutes les fonctions \(f\) définies et dérivables sur \(\R\), et telles que, pour tout \(x\in\R\),
    \[
    f'(x) = f(\lambda -x).
    \]
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Résoudre sur \(\R\) l'équation différenteielle
    \[
    (t^2+1)y'' + (t^2-2t+1)y' - 2ty = 0
    \]
    en introduisant la fonction \(z=y'+y\).
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Un changement de variable]
    On cherche à résoudre l'équation différentielle
    \[
    y'' + \frac{1}{2x^2}y = 0 \tag{\(E\)}
    \]
    sur \(\osbra{0,+\infty}\). Pour ce faire, on définit, pour \(t\in\R\), \(z(t)=y(e^t)e^{-t/2}\).
    \begin{enumerate}
    \item Soit \(x>0\). Exprimer  \(y(x)\) en fonction de \(z(\ln(x))\).
    \item En déduire que la fonction \(z\) vérifie une équation différentielle \((E')\) d'ordre 2 à coefficients constants.
    \item Résoudre \((E')\), puis résoudre \((E)\).
    \end{enumerate}
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[e3a PSI 2019]
    On considère l'équation différentielle d'ordre 3
    \[
    y^{(3)} - y = 0. \tag{\(E_1\)}
    \]
    \begin{enumerate}
    \item Soit \(f\) une solution de \((E_1)\). On pose \(g = f'' + f' + f\). Déterminer une équation différentielle du premier ordre \((E_2)\) vérifiée par \(g\).
    \item Résoudre \((E_2)\).
    \item En déduire les solutions de \((E_1)\).
    \end{enumerate}
  \end{exo}
  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
