%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb,mathx]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{multicol}

\usepackage{mdwlist}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% multicol
\setlength{\columnseprule}{.5pt}

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\newlist{eqenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[eqenum]{label*=$\quad(E_{\arabic*}):$,leftmargin=*}


\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
\geometry{textwidth = 0.85\paperwidth,
  textheight = 0.8\paperheight}
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}


\newcommand{\dbra}[1]{\ldbrack #1 \rdbrack}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 7 : Matrices et systèmes d'équations linéaires}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{multicols}{2}
\section{Opérations sur les matrices}


\begin{exo}
  Écrire la matrice \(M=(m_{i,j})\) dans chacun des cas :
  \begin{enumerate}
  \item \(m_{i,j} = i + j\) pour \(1\leq i\leq3\) et \(1\leq j\leq2\), puis pour \(i,j\in\dbra{1,n}\).
  \item \(m_{i,j}=i^j\) pour \(i,j\in \dbra{1,3}\)
  \item \(m_{k,l} = \sin\pare*{\frac\pi2(k+l)}\) pour \(1\leq k\leq2\) et \(1\leq l\leq3\).
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
On considère les trois matrices $A$, $B$ et $C$ suivantes :
$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
,\quad
B=
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
2 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix},
\quad 
C=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 2\\
1 & 3 & 0
\end{pmatrix}.
$$
Parmi les expressions suivantes, lesquels sont bien définies ? Les calculer.
\begin{align*}
  &2A ,\quad- B,\quad  AB ,\quad BA ,\quad BC, \quad CB ,\\
  &A + B^t,\quad B +  C^t ,\quad BA + C , \quad B + (AC)^t .
\end{align*}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  On considère les matrices
  \[
  A = 
  \begin{pmatrix*}[r]
    1 & 2 & -1 \\
    0 & 1 & 0
  \end{pmatrix*},\
  B = 
  \begin{pmatrix*}
    1 & 0 \\
    0 & 1 \\
    2 & 0
  \end{pmatrix*},\
  C = 
  \begin{pmatrix*}[r]
    -1 & -1 \\
    2 & 5 \\
    -3 & 0
  \end{pmatrix*}
  \]
  Calculer \(2B-C\) et \(2AB-AC\).
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Soient \(a,b\in\R\). On pose \(J=  \begin{pmatrix}    1&1\\1&1  \end{pmatrix}\) et \( A = \begin{pmatrix} a& b \\ b & a \end{pmatrix}\). Calculer \(J^n\) pour \(n\in\N\), et en déduire une expression de \(A^n\) pour \(n\in\N\).
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Soient \(a,b,c\in\C\). Trouver \(a',b',c'\in\C\) tels que
  \[
  \begin{pmatrix}
    1 & a & b \\
    0 & 1 & c \\
    0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    1 & a' & b' \\
    0 & 1 & c' \\
    0 & 0 & 1
  \end{pmatrix} = I_3
  \]
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  On considère les matrices
  \[
    A =
    \begin{pmatrix*}[r]
      1&1\\
      -1&-1
    \end{pmatrix*},\quad
    B=
    \begin{pmatrix*}[r]
      4 &3 \\
      -3 &-2
    \end{pmatrix*}.
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Calculer \(A^2\). En déduire la valeur de \(A^n\) pour tout \(n\in\N\).
  \item Trouver \(\alpha,\beta\in\R\) tels que \(B = \alpha A + \beta I_2\).
  \item En déduire la valeur de \(B^n\) pour tout \(n\in\N\).
  \item Calculer \(B^{-1}\), et l'exprimer en fonction de \(I_2\) et \(A\).
  \item La formule trouvée dans la question 3. reste-t-elle valable lorsque \(n\in\Z\) ?
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
On considère $A = \frac12 \begin{pmatrix*}[r]1&0&3\\-3&-2&-3\\3&0&1 \end{pmatrix*}$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer $A^2$ puis déterminer $a$ et $b\in \R$ tels que $A^2 = aA+bI_3$.
    \item En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ à l'aide de $A$ et $ I_3$.
    \item Montrer par récurrence que pour tout $n\in \N$, il existe des réels $a_n$ et $b_n$ tels que $A^n = a_nA+b_nI_3$.
    \item Montrer que $(a_n)$ est récurrence linéaire d'ordre 2 puis déterminer les termes généraux des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
Soit la matrice 
$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \in \M_3(\R)$
\begin{enumerate}
\item Calculer $A^2$ et $A^3$.
\item Montrer que pour tout $n\in \N$, il existe des réels $a_n$ et $b_n$ tels que
  $$
  A^n=\begin{pmatrix}
1 & a_n & b_n\\
0 & 1 & a_n\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
\emph{On pourra faire une récurrence et définir $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$}.
\item Déterminer les termes généraux des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ et en déduire une expression de $A^n$ en fonction de $n \in \N$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
Soit $A\in \M_4(\R)$ la matrice définie par
$$
A =\begin{pmatrix}
  0 & 1 & 1 & 1 \\
  1 & 0 & 1 & 1 \\
  1 & 1 & 0 & 1 \\
  1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}.
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $A^2$ et l'exprimer en fonction de $A$ et $I_4$.
\item
Montrer que la matrice $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et $I_4$, puis préciser ses coefficients.
\item \begin{enumerate}
    \item Montrer que, pour tout $n\in \N$, il existe des réels $a_n$ et $b_n$ tels que $A^n = a_n A + b_n I$.
    \item Déterminer l'expression explicite de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item En remarquant que $A = J - I_4$ pour une matrice $J$ à préciser, calculer $A^n$ et retrouver le résultat de 3.b. à l'aide de la question 1.
\end{enumerate}
\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Résolution de systèmes linéaires}

\begin{exo} Résoudre les systèmes linéaires d'inconnues $(x,y,z) \in \R^3$ suivants :
  $$
  (S_1):\begin{cases}
    x+y+z=1\\
    x-y-z=2\\
    2x-2y+z=3
  \end{cases}\quad
  (S_2):\begin{cases}
    3x+y+z=2\\
    6x+3y+z=9.
  \end{cases}
  $$
  $$ 
  (S_3):\begin{cases}
    x-y+2z=5\\
    3x-2y+z=0\\
    4x-3y-2z=-8
  \end{cases}
  \quad(S_4):\begin{cases}
    2x+y+z=3\\
    3x-y-2z=0\\
    x+y-z=-2\\
    x+2y+z=1\end{cases}
  $$
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
Déterminer des réels $a,b,c$ et $d$ tels que pour tout $x \in \R\setminus \{-2,-1,0,1\}$,
$$\frac{11x^3-x+2}{(x^2-1)(x^2+2x)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}x + \frac{c}{x+1} + \frac{d}{x+2}\,.$$
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Résoudre le système suivant, en discutant suivant les valeurs du paramètre \(a\):
  \[
  \left\{
  \begin{aligned}
    x +y + z &= 1\\
    x + 2y +az &= 2\\
    2x + ay + 2z &= 3
  \end{aligned}
  \right.
  \]
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  On considère \(A=
  \begin{pmatrix*}[r]
    1 & -3 & -1 \\
    1 & 2 & 1\\
    4 & 5 & 3
  \end{pmatrix*}.\)
  Montrer que \(A\) est inversible, et calculer son inverse.
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  On considère trois réels \(a,b,c\) et la matrice
  \[
    A =
    \begin{pmatrix*}[r]
      2& -1 &1\\
      3& -1 & -2\\
      1 & 2 &-17
    \end{pmatrix*}.
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre les systèmes
    \[
      \hspace{-2em}(S):\begin{cases}
        2x -y + z = 1\\
        3x - y -2z=1\\
        x+2y-17z=1
      \end{cases}
      (S'):\begin{cases}
        2x -y + z = 1\\
        3x - y -2z=2\\
        x+2y-17z=3
      \end{cases}
    \]
  \item La matrice \(A\) est-elle inversible ?
  \item Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels \(a,b,c\) pour que le système
    \[
      \begin{cases}
        2x -y + z = a\\
        3x - y -2z=b\\
        x+2y-17z=c
      \end{cases}
    \]
    admette au moins une solution, et décrire l'ensemble des solutions lorsque cette condition est remplie.
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles en précisant, si c'est le cas, leur inverse.
  $$
  A= \begin{pmatrix*}[r] 1&2\\-\frac12&1\end{pmatrix*},\quad
  B = 
  \begin{pmatrix*}[r]
    1 & 0 & - 1 \\
    2 & 1 & - 3 \\
    - 1 & 0 & 2 \\
  \end{pmatrix*},$$
  $$
  C = 
  \begin{pmatrix*}[r]
    1 & 0 & 3 \\
    2 & 0 & 2 \\
    3 & 0 & 1 \\
  \end{pmatrix*},\quad
  D =
  \begin{pmatrix*}[r]
    2 & - 1 & 1 \\
    1 & 1 & 1 \\
    - 1 & 2 & 1 \\
  \end{pmatrix*},$$
  $$
  E =
  \begin{pmatrix*}[r]
    1 & 2 & 1 \\
    0 & 1 & 1 \\
    1 & 1 & 0 \\
  \end{pmatrix*},\quad
  F =
  \begin{pmatrix*}[r]
    1 & 1 & 1 & 1\\
    0 & 0 & 1 & 2\\
    0 & 0 & 2 & 1\\
    0 & 0 & 0 & 2\\
  \end{pmatrix*}.
  $$
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
Considérons les matrices 
$$A=\begin{pmatrix*}[r]
-1 & 4 & 8\\
0 & -3 & -4\\
0 & 2 & 3
\end{pmatrix*}
\text{ et } 
P=\begin{pmatrix*}[r]
1 & 1 & -1\\
-1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix*}.$$
\begin{enumerate}
\item
Montrer que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.
\item
Calculer la matrice $D=PAP^{-1}$. \emph{Indication:} c'est une matrice diagonale.
\item
Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ à l'aide de $P$, $P^{-1}$ et d'une matrice diagonale dont on précisera les coefficients.
\item
Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \N$, on a $ D^n = PA^n P^{-1}$.
\item En  déduire une expression de $A^n$ en fonction de $P$, $P^{-1}$ et d'une matrice diagonale dont on précisera les coefficients. 
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo} Résoudre, en fonction du paramètre $\lambda \in \R$, les systèmes linéaires d'inconnues $(x,y,z)\in \R^3$ suivants
  $$
  (S_1):\begin{cases}
    3x+y-z=1\\
    x-2y+2z=\lambda\\
    x+y-z=1,
  \end{cases}\quad
  (S_2):\begin{cases}
    x+y+z=\lambda+1\\
    2x-y-z=\lambda\\
    x-2y-2z=3\lambda,
  \end{cases}\quad
  $$
  $$
  (S_3):\begin{cases}
    x -y +z=\lambda\\
    x+\lambda y-z=1\\
    x-y - z = 1.
  \end{cases}$$
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
