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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 8 : convergence de suites}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{multicols}{2}

  \section{Convergence et calcul de limites}
  
  \begin{exo}
    Soient \(u\) et \(v\) deux suites telles que \(u+v\) et \(u-v\) convergent. Montrer que \(u\) et \(v\) convergent.
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Soit \(u\) une suite d'entiers relatifs. Montrer que \(u\) converge si, et seulement si, elle est constante à partir d'un certain rang.
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Déterminer par comparaison la limite des suites suivantes :
    \setlength{\columnseprule}{0pt}
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item \(u_n = \ds\frac{\sin(n)}{n+ (-1)^{n+1}}\)
      \item \(u_n = \ds\frac{n!}{n^n}\)
      \item \(u_n = \frac{n-(-1)^n}{n+(-1)^n}\)
      \item \(u_n = \ds\frac{e^n}{n^n}\)
      \item \(u_n = \sqrt[n]{2+(-1)^n}\)
      \end{enumerate}
    \end{multicols}

  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Soient \(u\) et \(v\) deux suites d'éléments de \(\sbra{0,1}\) telles que \(uv\) converge vers \(1\). Montrer que \(u\) et \(v\) convergent, et déterminer leur limite.
  \end{exo}
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Déterminer les limites des suites suivantes :
    \setlength{\columnseprule}{0pt}
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $ \ds u_n = \frac{3^n-(-2)^n}{3^n+(-2)^n}$
      \item $ u_n = \sqrt{n^2+n+1} - n$
      \item $ u_n = \dfrac{3n - 2n^3}{n^2 + 1}$
      \item $ u_n = \dfrac{(n+2)!}{(2n^{2}+1)n!}.$
      \item $ \ds u_n = \frac{n-\sqrt{n^2+1}}{n+\sqrt{n^2-1}}$
      \item $ \ds u_n = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k$
      \item $ u_n = \pare*{1+\frac1n}^n$
      \item $ u_n = \sqrt[n]{n^2}$
      \item $\ds u_n = \sin\pare*{n\pi+\frac1n}$
      \item $ \ds u_n = \sin\pare*{\frac1n}^{1/n}$
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Soit \((u_n)_{n\in\N}\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que
    \[
      \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = l.
    \]
    \begin{enumerate}
    \item     Montrer que si \(l<1\), alors \(u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\).
    \item     Montrer que si \(l>1\), alors \(u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty\).
    \item Avec des exemples de suites explicites, montrer que si \(l=1\), on ne peut a priori rien dire sur le comportement de la suite \((u_n)\).
    \end{enumerate}
  \end{exo}


  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo} On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 0$, $v_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$,
    $$u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}2 \quad \et \quad v_{n+1} = \sqrt{ \frac{u_n^2 + v_n^2}{2}}.$$
    \begin{enumerate}
    \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 0$ et $v_n > 0$.
    \item Soit $n$ un entier naturel. Montrer que
      $$
      v_{n+1}^2 - u_{n+1}^2 =  \frac{\left(u_n - v_n\right)^2}4
      $$
    \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant v_n$.
    \item Montrer, à l'aide des résultats précédents, que la suite $(u_n)$ est croissante.
    \item Comparer $v_{n+1}^2$ et $v_n^2$ et en déduire le sens de variation de $(v_n)$.
    \item Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes. On note $\ell$ la limite de $(u_n)$ et $\ell'$ celle de $(v_n)$.
    \item Montrer, à l'aide d'un passage à la limite, que $\ell = \ell'$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Soit \((u_n)\) une suite d'entiers naturels distincts deux à deux. Montrer que \((u_n)\) tend vers \(+\infty\).
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \section{Suites monotones et adjacentes}

  \begin{exo}
    Soit \((u_n)\) une suite croissante telle que la suite \((u_{2n})\) converge. Montrer que \((u_n)\) converge.
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
  
  \begin{exo} On considère les suites $(u_n)$ et \((v_n)\) définies pour tout \(n\in\N^*\) par
    $$
    u_n = \sum_{k=1}^n \frac1{k^2}, \quad v_n = u_n + \frac1n.
    $$
    Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Pour \(n\geq 1\), on pose
    \[
      u_n = \frac{1\times 3\times\dots\times(2n-1)}{2\times 4\times \dots\times(2n)}.
    \]
    \begin{enumerate}
    \item Écrire \(u_n\) à l'aide de factorielles.
    \item En étudiant sa monotonie, montrer que \((u_n)\) est convergente.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Irrationnalité de \(e\)]
    On pose, pour \(n\geq 1\),
    \[
      u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!},\quad v_n=u_n+\frac{1}{n!}.
    \]
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que \(u_n\) et \(v_n\) sont strictement monotones, et qu'elles sont adjacentes.
    \item On admet que \(u_n\) et \(v_n\) convergent vers \(e\), la constante d'Euler. On va montrer que \(e\) est irrationnel : supposons que \(e=\frac pq\), où \(p\) et \(q\) sont des entiers. Obtenir une absurdité en considérant \(q! u_q\), \(q!e\), et \(q! v_q\).
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \section{Suites définies par récurrence}

  \begin{exo}
    Étudier la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par \(u_0\in\R\) et 
    \[
      \forall n\in\N, \quad u_{n+1} = 1 + u_n^2.
    \]
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    En fonction de \(u_0\in\R\), étudier le comportement de la suite définie pour tout \(n\in\N\) par
    \[
      u_{n+1} = e^{u_n} - 1.
    \]
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Soit \(u_0\in\osbra{0,1}\). On définit, pour tout \(n\in\N\),
    \[
      u_{n+1} = u_n - u_n^2.
    \]
    Montrer que \(u_n\) décroît vers \(0\). En déduire les limites des suites de termes généraux
    \[
      \sum_{k=0}^n u_k^2,\quad\text{et}\quad \prod_{k=0}^n (1-u_k).
    \]
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par récurrence :
    \[
      u_0 >0,\quad \forall n\in\N, u_{n+1} = \frac{1}{2+u_n}.
    \]
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que \((u_n)\) est bien définie, et justifier qu'elle admet une unique limite possible notée \(l\).
    \item On considère la suite \(v\) définie, pour \(n\in\N\), par \(v_n = \abs{u_n-l}\). Montrer que pour tout \(n\in\N\),
      \[
        v_{n+1} \leq \frac14 v_n.
      \]
      
    \item En déduire la convergence de \(u\).
    \end{enumerate}
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Soit \((u_n)\) la suite réelle définie par
    \[
      u_0 \in \sbra{-2,2},\quad \forall n\in\N, u_{n+1} = \sqrt{2-u_n}.
    \]
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que \((u_n)\) est bien définie.
    \item En supposant que \((u_n)\) converge, quelle peut être sa limite ?
    \item Montrer que la suite \((|u_n-1|)_{n\in\N}\) décroît, puis qu'elle est convergente vers \(\alpha\geq 0\).
    \item Supposons que \(\alpha >0\). Montrer qu'alors, \(\lim_{n\to+\infty}\sqrt{2-u_n}+1=1\), et arriver à une contradiction. En conclure que \(\lim_{n\to+\infty} u_n =1 \).
    \end{enumerate}
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{multicols}

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\end{document}
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