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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 9 : polynômes}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{multicols}{2}

  % \section{Opérations sur les polynômes}
  
  \begin{exo}
    Soit $n\in \N^*$. Déterminer le degré, le coefficient dominant et le coefficient constant des polynômes suivants.
    \begin{enumerate}
    \item $P = (X+2)^3-(X-1)^3$.
    \item $\ds P = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}X^{k+1} $.
    \item $P = X^{2n} - (X-1)^n(X+1)^n$.
    \item $P = (X+1)^3(X-2)(X+3)^2$ $\phantom{\!\Big(}$
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer les polynômes à coefficients réels \(P\) vérifiant
      \[
        P(X^2) = (X^2+1)P.
      \]
    \item Déterminer les polynômes \(P\in\R[X]\) tels que
      \[
        P\circ P = P.
      \]
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Quels sont les polynômes \(P,Q\in\K[X]\) qui vérifient \(P^2 = X Q^2\) ?
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Soit \((P_n)_{n\in\N^*}\) la suite de polynômes définie par
    \[
      P_1 = X-2,\quad \forall n\in\N^*,\,P_{n+1} = P_n^2 -2.
    \]
    Pour \(n\in\N^*\), donner le degré, le coefficient dominant, et le coefficient constant de \(P_n\). Déterminer ensuite le coefficient devant \(X\) dans \(P_n\).
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

  \begin{exo}
    On définit une suite de polynômes $(P_n)$ par \(P_0 =1 \) et, \(\forall n\in\N\),
    $$P_{n+1} =P_n+\frac{1}{(n+1)!}\prod_{k=0}^n(X+k)$$
    \begin{enumerate}
    \item \'Ecrire $P_1$, $P_2$ et $P_3$ sous forme factorisée.
    \item Conjecturer puis démontrer par récurrence la forme factorisée de $P_n$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 


  
  \begin{exo} Soient $n$ et $m\in \N$.
    \begin{enumerate}
    \item Donner une expression développée des polynômes $(1+X)^n$, $(1+X)^m$ et $(1+X)^{n+m}$.
    \item Montrer que si l'on note $(a_k)$ les coefficients de $P$ et $(b_k)$ ceux de $Q$, alors le coeff.~de degré $\ell$ de $PQ$ est $\ds \sum_{k=0}^{\ell} a_k b_{\ell-k}$.
    \item Démontrer, à l'aide des questions précédentes, que pour tout $\ell \in \I{0}{m+n}$,
      $$ \binom{n+m}{\ell} = \sum_{k=0}^{\ell} \binom{n}{k} \binom{m}{\ell-k}\ .$$
      \emph{Remarque.} Cette égalité s'appelle l'identité de Vandermonde
    \end{enumerate}
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  % \section{Division euclidienne}
  
  \begin{exo}
    Effectuer la division euclidienne de $A$ par $B$ dans les cas suivants:
    \begin{enumerate}
    \item $A=X^3-3X^2,\quad B=X^2-X+2$.
    \item $A=-16X^4-64X^2-100,\quad B=4X^2+4X+10$.
    \item $A=X^4-3X^3+2X^2+2,\quad B=2X^3-X^2+4X-4$.
    \item $A=X^3+iX^2+X,\quad B=X-i+1$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Effectuer la division euclidienne par \[B = X^2 -2X -2 \] du polynôme \[P=2X^4-4X^3-7X-14.\] En déduire la valeur de \(P(1+\sqrt3)\).
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    On note $S$ l'ensemble des couples $(a,b)\in\R^2$ tels que $B=X^2-4X+3$ divise
    \[
      A=X^4-4X^3+aX^2-4X +b.
    \]
    \begin{enumerate}
    \item Poser la division euclidienne de $A$ par $B$, puis en déduire $S$.
    \item \begin{enumerate}
      \item Déterminer les racines de $B$ et donner sa forme factorisée.
      \item Justifier que $B$ divise $A$ si et seulement si les racines de $B$ sont des racines de $A$.
      \item Retrouver le résultat de la question 1.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Soit \(n\in\N\). Trouver le reste dans la division euclidienne de \(X^n\) par \(X+1\).
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

  % \section{Utilisation des racines} 
  
  \begin{exo}
    Pour un entier $n\geqslant 2$, on note $$P = (1+X)(1-X^n)+(2-n)X^n -n^2 X^n(1-X)+n-2.$$
    \begin{enumerate}
    \item Donner l'expression de tous les coefficients de $P$ et son degré.
    \item Montrer que $1$ est une racine double de $P$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

  \begin{exo}
    Soit $n\geqslant 2$, on note $P_n = X^n-4X+1$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $P_n$ par $A$ dans les cas suivants.
    \begin{enumerate}
    \item $A = X^2 + X -2$.
    \item $A = (X-1)^2$.
    \item $A = X^3-2X^2-X+2$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

  \begin{exo} Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. \`A l'aide d'un raisonnement sur les racines, montrer que
    \begin{enumerate}
    \item $X^2-3X+2$ divise $X^n-2X^{n-1}-X+2$.
    \item $(X-1)^2$ divise $X^{2n} - 2 X^{n-1}-2X+3$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

  \begin{exo} Déterminer la multiplicité de la racine $1$ pour les polynômes suivants :
    \begin{align*}
      P&=X^{2n}-nX^{n+1}+nX^{n-1}-1 \\
      Q&=X^{2n+1}-(2n+1)X^{n+1}+(2n+1)X^n-1.
    \end{align*}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

  \begin{exo} On note $$P=X^5+2X^4+2X^3+4X^2+5X+2.$$
    \begin{enumerate}
    \item Calculer les dérivées successives de $P$.
    \item Montrer que $P$ admet une racine de multiplicité 3.
    \item En déduire la forme factorisée de $P$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Factoriser dans \(\R[X]\) les polynômes suivants :
    \begin{enumerate}
    \item \(P = X^4 -1\)
    \item \(Q = (X^2 -X+1)^2 +1\)
    \item \( R = X^8 -2\cos(2a)X^4+1\), avec \(a\in\R\). 
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Factoriser le polynôme \(P=X^8+X^4+1\) dans \(\C[X]\), puis dans \(\R[X]\).
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Déterminer tous les polynômes non nuls de \(\C[X]\) tels que \(P=P'P''\).
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Soit \(n\in\N^*\), et soit
    \[
      P=\sum_{k=0}^n\frac{X^k}{k!}.
    \]
    Montrer que \(P\) n'admet pas de racine multiple.
  \end{exo}
  \bigskip
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Soit \(P\in\K[X]\) avec \(\deg(P)\geq 2\). On suppose que \(P'\) divise \(P\). Montrer qu'alors, \(P''\) divise \(P'\). En déduire tous les polynômes de \(\K[X]\) divisibles par leur polynôme dérivé.zz
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

  \begin{exo} On définit la suite de polynômes $(T_n)$, appelés polynômes de Tchebychev, par
    $$T_0=1,\quad T_1 = X \et \forall n\in \N,\; T_{n+2}= 2X T_{n+1}-T_n.$$
    \begin{enumerate}
    \item Calculer $T_2$, $T_3$ et $T_4$.
    \item Montrer, à l'aide d'une récurrence double, que pour tout $n\in \N$, $\deg(T_n) = n$.
    \item Déterminer une expression du coefficient dominant de $T_n$ en fonction de $n$.
    \item \begin{enumerate}
      \item Montrer que pour $a$ et $b\in \R$, on a $\cos(a+b)-\cos(a-b) = 2\cos(a)\cos(b)$.
      \item Soit $\theta \in \R$. Montrer que pour tout $n\in \N$, $T_n\big(\cos(\theta)\big) = \cos(n \theta)$.
      \item Soit $n\in \N^*$. Montrer que pour tout $k\in \I{1}{n}$, $\alpha_k = \cos\!\big(\frac{1+2k}{2n}\pi\big)$ est une racine de $T_n$.
      \item Conclure que $\ds T_n = 2^n \prod_{k=1}^n (X-\alpha_k)$.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exo}



\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\end{document}
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