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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 13 : Espaces vectoriels I}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{multicols}{2}
  
  \section{Sous-espaces vectoriels}


  \begin{exo}
    Déterminer si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \((E,+,.)\) :
    \begin{enumerate}
    \item \(E=\R^2\)
      \begin{enumerate}
      \item \(A=\left\{ (x,y)\in\R^2\mid x+y=0\right\}\)
      \item \(B=\left\{ (x,y)\in\R^2\mid x+y=1\right\}\)
      \item \(C=\left\{ (x,y)\in\R^2\mid xy\geq0\right\}\)
      \end{enumerate}
    \item \(E=\R[X]\)
      \begin{enumerate}
      \item \(A=\left\{P\in\R[X]\mid\deg(P)=n\right\}\), \(n\in\N\)
      \item \(B=\left\{P\in\R[X]\mid P(0)=2\right\}\)
      \item \(C=\left\{P\in\R[X]\mid XP'-P = 0\right\}\)
      \end{enumerate}
    \item \(E=\mc F(\R,\R)\)
      \begin{enumerate}
      \item \(A\) l'ensemble des fonctions \(f\in E\) \(2\pi\)-périodiques.
      \item \(B=\left\{f\in E\text{ continue}\mid \int_0^1 f(x)dx=0 \right\}\)
      \item \(C\) l'ensemble des solutions de l'équation différentielle
        \[
        y'' + y' + y = 1.
        \]
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    
  \begin{exo}
    Déterminer si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels des espaces vectoriels usuels.
    \begin{enumerate}
    \item $A=\big\{M\in \mc M_2(\R)\,|\, M^2 = 0\big\}$.
    \item $B = \big\{ (u_n) \in \R^{\N} \,|\, \exists r \in \R,\, \forall n\in \N,\, u_{n+1} = u_n + r\big\}$ \quad (ensemble des suites arithmétiques).
    \item $C=\{ (x,y,z) \in \R^3 \,|\, x+y+z = 1 \}$.
    \item $D=\big\{ f\in {\cal F}(\R,\R)\,|\; \forall (x,y)\in \R^2, x\geq y \Rightarrow {f(x)\geq f(y)}\big\}$   (ensemble des fonctions croissantes sur $\R$).
    \item $E=\big\{ (u_n)\in \R^{\N}\,|\, \exists q \in \R,\,\forall n\in \N, u_{n+1} = qu_n\big\}$ \quad (ensemble des suites géométriques).
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \section{Familles génératrices, familles liées}

  
  \begin{exo} Combinaisons linéaires dans différents espaces vectoriels.
    \begin{enumerate}
    \item Est-ce que $P = X^3+2X^2-X$ est une combinaison linéaire de $P_1=X^3-X$, $P_2=X^2+2X-2$ et $P_3=2X-1$?
    \item Est-ce que $u=(1,2,-1)$ est une combinaison linéaire $v_1 = (1,0,1)$, $v_2=(0,1,-1)$ et $v_3=(1,1,0)$ ?
    \item Est-ce que $M = \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$ est une combinaison linéaire des matrices
      \[
      A_1 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \  A_2 = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\text{ et } A_3 = \begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\ ?
            \]
    \end{enumerate}
  \end{exo}
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo} Sous-espace vectoriel de $\R^n$ : déterminer une famille génératrice des ensembles de solutions des systèmes linéaires homogènes suivants :
    $$
    (S_1): \begin{cases} x-y+z=0\\2x+y-z=0\end{cases}  \quad (S_2) : \begin{cases} x-y+z-t=0\\2x+y-z+2t=0\end{cases}
        $$
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo} Montrer que les ensembles suivants sont chacun un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel usuel, puis en déterminer une famille génératrice.
    \begin{enumerate}
    \item $F_1=\big\{P \in \R_3[X]\mid P(1)+P'(1) =0\big\}.$
    \item $F_2=\big\{ M\in \mc M_2(\R)\mid MA=AM \big\}$ avec
      $$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.$$
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Pour chacune des familles ${\cal F}$ de vecteurs ci-dessous, déterminer si elle est libre et/ou génératrice de l'espace vectoriel $E$.

    Si la famille est liée, donner explicitement une relation linéaire entre les vecteurs. Si elle n'est pas génératrice, donner explicitement un vecteur de $E$ qui n'est pas combinaison linéaire de la famille.
    \begin{enumerate}
    \item $E=\R^3$ et ${\cal F} = (u_1,u_2,u_3)$ avec $u_1=(1,1,1)$, $u_2=(1,2,1)$ et $u_3=(0,1,1)$. 
    \item $E=\mc M_2(\R)$ et ${\cal F} = (A,B,C)$ avec $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}$.
    \item $E=\R_2[X]$ et ${\cal F} = (P_1,P_2,P_3)$, avec les polynômes $P_1=X^2+2X-1$, $P_2 = X-1$ et $P_3 = X^2+1$.
    \item $E=\mc M_{3,1}(\R)$ et ${\cal F} = (X_1,X_2,X_3,X_4)$, avec
      $$(X_1,X_2,X_3,X_4) = \left(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\!\!, \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\!\!, \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}\!\!, \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\right)$$
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo} Exemples de base dans des espaces vectoriels usuels.
    \begin{enumerate}
    \item On note $E=\R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus 2.
      \begin{enumerate}
      \item Montrer que la famille $(X+1,X-1,X^2-1)$ est une base de $E$.
      \item Donner les coordonnées dans cette base du polynôme $X^2$.
      \end{enumerate} 
    \item On note $E=\R^4$ et $u_1 =(1,0,1,0)$, $u_2=(0,1,0,1)$, $u_3=(-1,1,1,-1)$ et $u_4 = (0,0,1,1)$.
      \begin{enumerate}
      \item Montrer que $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ est une base de $E$.
      \item Donner les coordonnées $(1,2,3,4)$ dans cette base.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    On définit les vecteurs de $\R^3$ suivants : ${u_1=(1,1,1)}$, $v_1=(1,0,-1)$, $u_2= (0,1,2)$, ${v_2=(2,1,0)}$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $u_1$ et $v_1$ sont des combinaisons linéaires de la famille $(u_2,v_2)$.
    \item En déduire que $\Vect(u_1,v_1) \subset \Vect(u_2,v_2).$
    \item Montrer finalement que $\Vect(u_1,v_1) = \Vect(u_2,v_2).$
    \item On cherche à retrouver le résultat de la question 3. par une autre méthode.
      \begin{enumerate}
      \item Pour $(x,y,z)\in \R^3$, déterminer à quelle condition le vecteur $(x,y,z)$ est combinaison linéaire de $(u_1,v_1)$.
        \par\emph{Indication:} en résolvant, sous forme de système d'inconnues $\alpha$ et $\beta$, l'équation $\alpha u_1+\beta v_1 = (x,y,z)$ on obtient une condition de compatibilité.
      \item En déduire que
        $$\Vect(u_1,v_1) = \big\{ (x,y,z)\in \R^3\,|\, x-2y+z=0\big\}.$$
      \item Faire de même pour $\Vect(u_2,v_2)$ et retrouver ainsi le résultat de la question 3.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}\mbox{}
    \begin{enumerate}
    \item Justifier que l'ensemble ${\cal D}(\R,\R)$ des fonctions dérivables sur $\R$ est un sous-espace vectoriel de ${\cal F}(\R,\R)$.
    \item 
      Pour $a\in \R$, on note $S_a = \{ f \in {\cal D}(\R,\R)\, \,|\; \forall x \in \R, f'(x) +af(x) = 0\}$
      \begin{enumerate}
      \item Montrer que $S$ est un sous-espace vectoriel de ${\cal D}(\R,\R)$.
      \item Montrer que si $f\in S$, alors $g:x \mapsto \e^{ax}f(x)$ est une fonction constante.
      \item Conclure que $S = \Vect\big(x\mapsto \e^{-ax}\big)$
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo} Soit $E$ un espace vectoriel, et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $F \cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
    \item On suppose que $F \cap G = \{0_E\}$. Montrer que pour tout $u,u'\in F$ et $v,v'\in G$, $$u+v=u'+v'\quad \Longrightarrow \quad u=u' \text{ et } v=v'.$$
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Soit $E$ un espace vectoriel, $n\in \N$, et $(v_1,\dotsc, v_n)$ une famille de vecteurs de $E$ et $u\in E$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que si $u \in \Vect(v_1,\dotsc,v_n)$ alors $\Vect(v_1,\dotsc,v_n,u) = \Vect(v_1,\dotsc,v_n)$.
    \item Montrer que si $(v_1,\dotsc,v_n)$ est libre et $u \notin \Vect(v_1,\dotsc,v_n)$, alors $(v_1,\dotsc,v_n,u)$ est libre.
      
      \emph{Indication :} démontrer la contraposée, c'est à dire supposer que $(v_1,\dotsc,v_n,u)$ est liée et conclure que 
    \item On suppose maintenant que $(e_1,\dotsc, e_n)$ est une base de $E$. Pour $k \in\I{1}{n}$, on note $\ds u_k = \sum_{i=1}^k e_i$.
      \begin{enumerate}
      \item Montrer par récurrence, pour $k\in \I{1}{n}$, que $(u_1,\dotsc ,u_k)$ est libre .
      \item Montrer par récurrence que $\Vect(u_1,\dotsc,u_k) = \Vect(e_1,\dotsc, e_k)$ pour tout $k\in \I{1}{n}$.
      \item En déduire que $(u_1,\dotsc,u_n)$ est une base de $E$.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo} On note $u,v,w$ les trois suites réelles définies pour tout $n \in \N$ par $u_n=1$, $v_n=2^n$ et $w_n = 3^n$.

    \begin{enumerate}
    \item Soit $\alpha,\beta$ et $\gamma\in \R$. Montrer que $\ds \lim_{n\to\infty} 3^{-n}(\alpha u_n +\beta v_n + \gamma w_n) = \gamma$
    \item Montrer, en s'inspirant du résultat précédent, que la famille $(u,v,w)$ est libre.
    \item On note $F= \Vect(u,v,w)$. Montrer qu'il existe une unique suite $(x_n) \in F$ telle que $x_0=1$, $x_1=$ et $x_2=6$ et donner son terme général.
    \end{enumerate}
  \end{exo}


  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \section{Applications linéaires}

  
  \begin{exo} Pour chacune des applications définies ci-dessous, déterminer si elle est linéaire. Si c'est le cas, donner une famille génératrice de son image et de son noyau. \smallskip
    \begin{enumerate}
    \item $f_1: \begin{cases}\R^2\to\R^2 \\(x,y) \mapsto (x+y+1,2y-1) \end{cases}$
    \item $f_2: \begin{cases}\R^3\to\R^2 \\(x,y,z) \mapsto (x+y-z,x-2y+z) \end{cases}$
    \item $f_3: \begin{cases}\R_3[X]\to\R_2[X] \\P(X) \mapsto  P(X+1)-P(X)\end{cases}$
    \item $f_4: \begin{cases}\R^3\to\R \\(x,y,z) \mapsto xyz  \end{cases}$
    \item $f_5: \begin{cases}\R_3[X] \to\R^2 \\P \mapsto (P(2),P'(1))\end{cases}$
    \item $f_6: \begin{cases}\mc M_2(\R) \to \mc M_2(\R) \\M \mapsto \frac12(M + M^t)\end{cases}$
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Soit $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ défini, pour tout $(x,y,z) \in \R^3$,  par
    $$f\big((x,y,z)\big)=\frac{1}{2}\left(x+y+z,2y,x-y+z \right).$$
    \begin{enumerate}
    \item Pour $u\in \R^3$ un vecteur de votre choix, calculer $f(u)$ puis $f(f(u))$. Généraliser en démontrant que $f\circ f=f$.
    \item Déterminer $v_1 \in \R^3$ tel que $\Ker(f)=\Vect(v_1)$.
    \item Déterminer $v_2$ et $v_3 \in \R^3$ tels que $\Im(f)=\Vect(v_2,v_3)$. Calculer $f(v_2)$ et $f(v_3)$.
    \item Vérifier que $(v_1,v_2,v_3)$ est une base de $\R^3$ que l'on note ${\cal B}$.
    \item Pour un vecteur $u\in \R^3$, déterminer les coordonnées de $f(u)$ dans la base ${\cal B}$ en fonction de celles de $u$ dans ${\cal B}$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    On considère l'application linéaire $f$ définie par
    $$f: \begin{cases}
      \R_2[X]  \longrightarrow  \R^3\\
      \quad P \;\;\; \longmapsto  (P(-1),P(0),P(1)).
    \end{cases}$$
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer le noyau de $f$. \emph{Indication :} penser à la relation entre nombre de racines et degré.
    \item Montrer que $\big(f(1),f(X),f(X^2)\big)$ est une famille génératrice de $\R^3$.
    \item En déduire que $f$ est un isomorphisme.
      %\item Déterminer tous les polynômes $P$ de degré au plus 2 tels que $P(-1)= -1$, $P(0)=1$ et $P(1) = 5$.
    \item Déterminer $P_1=f^{-1}\big((1,0,0)\big)$, $P_2=f^{-1}\big((0,1,0)\big)$ et $P_3= f^{-1}\big((0,0,1)\big)$.
    \item En déduire une expression générale pour $f^{-1}\big((x,y,z)\big)$, où $(x,y,z)\in\R^3$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    On note $E = {\cal M}_{3,1}(\R)$ et $f$ l'endomorphisme de $E$ défini par
    $$f: X \mapsto AX \quad \text{ avec }\quad A = \begin{pmatrix}0&1&1\\-1&2&1\\-1&1&2\end{pmatrix}.$$
      On note $F$ l'ensemble des vecteurs invariants par $f$, c'est à dire $F=\{ X \in {\cal M}_{3,1}(\R) \,|\, f(X)=X\}$.
      \begin{enumerate}
      \item Déterminer $\Ker(f)$. Que peut-on en déduire pour $f$ ? On admet que $f$ est aussi surjective.
      \item Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
      \item Déterminer deux vecteurs $X_1$ et $X_2$ tels que ${F=\Vect(X_1,X_2)}$.
      \item Soit $Y \in E$. Montrer que $f(Y) = 2Y$ si et seulement si $Y \in \Vect(X_3)$, avec $X_3$ un vecteur à préciser.
      \item Montrer que ${\cal B} =(X_1,X_2,X_3)$ est une base de $E$.
      \item Pour un vecteur $X \in E$, donner les coordonnées de $f(X)$ dans ${\cal B}$ en fonction des coordonnées de $X$ dans ${\cal B}$.
      \item En déduire une expression de $f^{-1}(Y)$ pour $Y\in E$ à l'aide des coordonnées dans ${\cal B}$.
      \end{enumerate}
      %\emph{Rappel.} Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si il existe $\lambda \in \K$ tel que $u = \lambda v$ ou $v = \lambda u$.
  \end{exo}

  \begin{exo}
    On définit les vecteurs de $\R^3$ suivants : $u_1 = (1,0,1)$, $u_2 = (1,-1,1)$, $u_3 = (-2,1,-1)$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $(u_1,u_2,u_3)$ est une base de $\R^3$.
    \item Soit $v_1,v_2,v_3$ des vecteurs de $\R^3$. Montrer qu'il existe au plus une application $f\in {\cal L}(\R^3)$ telle que $f(u_1)= v_1$, $f(u_2) = v_2$ et $f(u_3) = v_3$.
      
      \emph{Indication.} On pourra supposer qu'il existe deux applications $f_1$ et $f_2$ qui vérifient les égalités ci-dessus et montrer qu'alors $f_1-f_2 = 0_{\mc L(\R^3)}$ en utilisant la décomposition d'un vecteur dans la base $(u_1,u_2,u_3)$.
    \item Pour $v_1=(1,0,0)$, $v_2=(0,1,0)$ et $v_3 = (0,0,1)$ déterminer explicitement une telle application $f$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  \begin{exo}
    Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels, ${\cal F}= (u_1, \dots u_n)$ une famille de vecteurs de $E$ et $f \in \mc L(E,F)$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que si $\big(f(u_1),\dots,f(u_n)\big)$ est libre, alors ${\cal F}$ est une famille libre.
    \item Montrer que si $\big(f(u_1) ,\dots, f(u_n)\big)$ est génératrice de $F$ et $\Ker(f) = \{0_E\}$, alors ${\cal F}$ est génératrice de $E$.
    \item Montrer que si ${\cal F}$ est libre et $\Ker(f)\cap \Vect({\cal F}) = \{0_E\}$, alors $\big(f(u_1), \dots, f(u_n) \big)$ est libre.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  \begin{exo} Soient $E$ un espace vectoriel et $f,g\in \mc L(E)$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que : \quad $g\circ f = 0_{\mc L(E)}\; \Longleftrightarrow\; \Im(f) \subset \Ker(g)$.
    \item Montrer que : $f\circ g = g\circ f \; \Longrightarrow \; \forall u \in \Ker(f), g(u) \in \Ker(f)$ et $\forall v \in \Im(f), g(v) \in \Im(f)$.
      
      \emph{Cela signifie que si $f$ et $g$ commutent, alors le noyau et l'image de $f$ sont stables par $g$.}
    \item Montre que : $\Ker(f) \subset \Ker(g \circ f)$ et $\Im(g\circ f) \subset \Im(g)$.
    \item Montrer que : $\Ker(f) = \Ker(g \circ f) \; \Longleftrightarrow \; \Im(f)\cap \Ker(g) = \{ 0_E\}$.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  \begin{exo}
    On note $E = \R^{\N}$ l'espace vectoriel des suites réelles et $f$ l'application qui a une suite $(u_n)$ de $E$ associe la suite $(v_n)$ définie par $\forall n \in \N$, $v_n =u_{n+1}$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$.
    \item Est-il injectif ? surjectif ?
    \item Déterminer $g$ un endomorphisme de $E$ tel que $f \circ g = \Id_E$.
    \item Peut-on trouver $h$ un endomorphisme de $E$ tel que $h \circ f = \Id_E$ ? 
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  
\end{multicols}

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\end{document}
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