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\newtheorem{exo}{Exercice}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 15 : Espaces vectoriels de dimension finie}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{multicols}{2}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Montrer que \(((1, 1, 1), (2, 1, 1), (2, 1, 2))\) est une base de \(\R^3\).
    Calculer les coordonnées du vecteur \((a, b, c)\) dans cette base.
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo} Montrer qu'une famille de vecteurs est une base à l'aide de la dimension.
    \begin{enumerate}
    \item On considère l'espace vectoriel $E = \R_3[X]$ et les polynômes 
      \begin{align*}
        &P_1=X^3+X, \quad P_2=X^3-2X^2,\\
        &P_3=X^2+3X \et P_4=X-1.
      \end{align*}
      Montrer que $(P_1,P_2,P_3,P_4)$ est  une base de $\R_3[X]$.
    \item On considère l'espace vectoriel $E = \mc M_2(\R)$ et les matrices
      \begin{align*}
        &A=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix},\\
        &C=\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix} \et D=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.
      \end{align*}
      Montrer que $(A,B,C,D)$ est une base de $E$.
    \item Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3 et $(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$. On définit les vecteurs
      $$u_1 = e_2+3e_3, \quad u_2 = e_3-e_1 \et u_3=e_1+2e_2.$$
      Montrer que $(u_1,u_2,u_3)$ est une base de $E$.
    \item Soit $n\in \N^*$. On définit $P_0 = 1$ et $\forall k\in\I{1}{n}$,
      $$P_k = \prod_{i=0}^{k-1} (X-i).$$
      Montrer que $(P_0,P_1,\dots,P_n)$ est une base de $\R_n[X]$.
    \end{enumerate}
  \end{exo} 

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo} On définit les vecteurs de $\mc M_{4,1}(\R)$ suivants:
    \begin{align*}
      &u_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0
      \end{pmatrix},\quad
      u_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0
      \end{pmatrix},\quad
      u_3 = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1
      \end{pmatrix},\\
      &\qquad\quad u_4 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0
      \end{pmatrix},\quad
      u_5 = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1
      \end{pmatrix}.
    \end{align*}
    On définit les espaces vectoriels $F_1= \Vect(u_1)$, $F_2 = \Vect(u_1,u_2)$,\ \dots, $F_5 = \Vect(u_1,\dots,u_5)$, et ${G= \Vect(u_4,u_5)}$.
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer les dimensions de $F_1$, $F_2$, $F_3$, $F_4$, $F_5$ et celle de $G$.
    \item On étudie l'ensemble $F_3 \cap G$.
      \begin{enumerate}
      \item Montrer que $F_3 \cap G$ est un sous espace-vectoriel de $\mc M_{4,1}(\R)$.
      \item Pour $v = \alpha u_4+\beta u_5$ un élément de $G$, avec $\alpha,\beta \in \R$, montrer que : $v\in F_3 \Leftrightarrow \alpha + \beta = 0$.
      \item En déduire que $F_3 \cap G$ est de dimension 1 et préciser un vecteur qui l'engendre.
      \end{enumerate}
    \item En s'inspirant de la question précédente, déterminer $\dim(F_2 \cap G)$ et $\dim(F_4\cap G)$.
    \end{enumerate}
  \end{exo} 

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo} Calculer le rang des matrices suivantes :
    $$
    A=\begin{pmatrix}
    1&0&2&3\\
    2&0&4&6\\
    0&2&2&0\\
    1&2&4&3 \end{pmatrix},\quad
    B=\begin{pmatrix}
    1 & 4 & 2 & 0\\
    2 & 9 & 5 & 2\\
    1 & 3 & 1 & -2
    \end{pmatrix},
    $$
    $$
    C=\begin{pmatrix}
    1 & 1 & \cdots & 1\\
    1 & 2 & \ddots & \vdots\\
    \vdots & \ddots & \ddots & 1\\
    1 & \cdots & 1 & n
    \end{pmatrix} \text{ avec } n\in \N^*.
    $$
  \end{exo} 

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    On considère l'application linéaire
    $$
    \arraycolsep=1.4pt
    \begin{array}{rccl}
      f : &\R^4& \to & \R^3\\
      &(x,y,z,t)& \mapsto& (x+y+2z,y+z-t,x-y+2t ) 
    \end{array}
    $$
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer une base de $\Ker(f)$.
    \item À l'aide du théorème du rang, déduire la dimension de $\Im(f)$
    \item Déterminer une base de $\Im(f)$.
    \end{enumerate}
  \end{exo} 

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    On considère un espace vectoriel $E$ de dimension $n\geqslant 1$. Soit $f \in \mc L(E)$ telle que $f\circ f = 0_{\mc L(E)}$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $\Im(f) \subset \Ker(f)$.
    \item En déduire que $\rg(f) \leqslant \frac{n}2$.
    \end{enumerate}
  \end{exo} 

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Soit  \(P\in\R_n[X]\). Montrer qu'il existe un unique polynôme \(Q\in\R_n[X]\) tel que \(P=Q'+Q\).
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Déterminer le rang de l'application
    \[
      \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{1}
      \begin{array}{rcl}
        f:&\mc M_n(\R)  &\to \mc M_n(\R)\\
          &A&\mapsto A^t - A
      \end{array}
    \]
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    On note $E= \R^{\N}$ l'espace vectoriel des suites réelles, et $a,b$ deux nombres réels fixés tels que $a^2+4b >0$. On définit
    $$
    F = \big\{ (u_n)_{n\in \N}\in E\, \mid\, \forall n \in \N, u_{n+2} = au_{n+1} +bu_n \big\}
    $$
    et
    $$
    \arraycolsep=1.4pt
    \begin{array}{rcl}
      \varphi: &F  &\to \R^2\\
      &(u_n)_{n\in \N} &\mapsto (u_0,u_1) .
    \end{array}
    $$
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $F$ est un sous espace vectoriel de $E$.
    \item Déterminer $r$ et $s$ deux réels distincts tels que $(r^n)_{n\in \N}\in F$ et $(s^n)_{n\in \N}\in F$.
    \item Montrer que $(r^n)_{n\in \N}$ et $(s^n)_{n\in \N}$ forment une famille libre et en déduire que $\dim(F) \geqslant 2$.
    \item Montrer que $\varphi$ est linéaire puis montrer à l'aide d'une récurrence, que $\Ker(\varphi) = \{ 0_E \}$.
    \item En déduire que $F$ est de dimension 2.
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Soit \(a\in\R\) et \(n\in\N\). On considère les polynômes \(P_k = (X-a)^k\) pour \(k\in\dbra{0,n}\).
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que \((P_k)_{k\in\dbra{0,n}}\) est une base de  \(\R_n[X]\).
    \item Quelles sont les coordonnées de \(P\in\R_n[X]\) dans cette base ?
    \end{enumerate}

  \end{exo}
  


  \bigskip  \bigskip  \bigskip  \bigskip   \bigskip  \bigskip  \bigskip   \bigskip
  ~


\end{multicols}

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\end{document}
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