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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 16 : Comparaisons de fonctions, développements limités}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{multicols}{2}
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 


  \section{Dérivées successives}

\begin{exo} Calculer les dérivées successives des fonctions suivantes:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $f_1:x \mapsto \frac1{1-x}$
    \item $f_2:x \mapsto \frac1{1-x^2}$
    \item $f_3:x\mapsto \e^{2x+1}$
    \item $f_4:x\mapsto (x^2+1)\e^{\frac{x}2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\emph{Indication :} pour $f_2$, on pourra remarquer que $f_2(x) = \frac12 f_1(x)+ \frac12 f_1(-x)$.
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}Soit $n \in \N$.
\begin{enumerate}
    \item Rappeler la dérivée $k$-ième de $f:x \mapsto x^n$ pour $k \leqslant n$.
    \item Calculer de deux manières différentes la dérivée $n$-ième de $g:x \mapsto x^{2n}$ et en déduire ainsi la valeur de $$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^{\!2}.$$
\end{enumerate}
\emph{Indication.} On pourra remarquer que $g = f \times f$ et appliquer la formule de Leibniz pour dériver.
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo} Pour $n\in \N$, on définit la fonction $$f_n:x \mapsto x^n \ln(x).$$
\begin{enumerate}
    \item Soit $n\in \N^*$. Justifier que la fonctions $f_n$ est de classe ${\cal C}^{\infty}$ sur $\R_+^*$ puis, à l'aide de la formule de Leibniz, que $$\forall x \in \R_+^*, \; f^{(n)}_{n}(x) = x f_{n-1}^{(n)}(x) + nf_{n-1}^{(n-1)}(x). $$
    \item Montrer, par récurrence, que pour tout $n\in \N^*$ :
    $$\forall x \in \R_+^*,\; f_n^{(n)}(x) = n!\left(\ln(x)+1 + \frac12 +\cdots + \frac1n\right).$$
    \item Rappeler une expression de $\ln^{(k)}$ pour $k\in \N$ et en déduire que $\ds \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}k \binom{n}{k} = \sum_{k=1}^n \frac1k$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section {Développements de Taylor}


\begin{exo} Utilisation de l'inégalité de Taylor-Lagrange pour calculer des valeurs approchées.
\begin{enumerate}
    \item On note $f : x \mapsto \sqrt{1+x}$
    \begin{enumerate}
    \item Calculer les dérivées successives (jusqu'à la 3ième) de $f$ et véfier que 
      $$f'(0) = \frac12, \quad f''(0) = -\frac14 \et $$
      $$f^{(3)}(x) = \frac{3}{8(1+x)^{\frac52}} \text{ pour tout } x>-1.$$
      \emph{Indication:} utiliser l'écriture sous forme de puissance de la racine carrée et la formule $(u^{\alpha})' = \alpha u' u^{\alpha-1}$.
    \item Avec l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $2$ appliquée à $f$, calculer une valeur approchée de $\sqrt{1,01}$.
    \item Quelle précision a t-on obtenue à la question précédente ?
    \end{enumerate}
    
    \item En s'inspirant de la question précédente, calculer $\ln(1,1)$ à $10^{-4}$ près et $\cos(0,2)$ à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo} Inégalités à partir de la formule de Taylor reste intégral.
\begin{enumerate}
    \item 
\begin{enumerate}
    \item \'Ecrire la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 2 pour la fonction exponentielle.
    \item \'Etudier le signe du reste intégral.
    \item En déduire que $\forall x \geqslant 0$,\; $\e^x \geqslant 1+x + \frac{x^2}2$
\end{enumerate}
\item Montrer que $\forall x \in [0,\frac{\pi}2]$,\; $\sin(x) \geqslant x - \frac{x^3}{6} $
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo} On considère la fonction $f:x \mapsto \ln(1-x)$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer une expression de $f^{(n)}$ pour tout $n\in \N^*$ et vérifier que $\frac{ f^{(n)}(0)}{n!} = - \frac1n$
    \item À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que pour $x \in [-1,0] $,
    $$\left| f(x) + \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k}\right| \leqslant \frac{|x|^{n+1}}{n+1}.$$
    \item En déduire la convergence et la limite de la suite $\ds u_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Développements limités}


\begin{exo} Calculer les développements limités des expressions suivantes à l'ordre indiqué pour $x$ au voisinage de $0$.
\begin{enumerate}
\item À l'ordre 2: $$\ds \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x},$$
\item À l'ordre 4: $$\ds \big(\cos(x)-1\big) \e^{x},$$
\item À l'ordre 3: $$\ds \ln(1+x)-\ln(1-x),$$
\item À l'ordre 4: $$\ds \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2.$$
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Donner les développements limités des fonctions suivantes à l'ordre et au voisinage du point indiqués.
  \begin{enumerate}
  \item À l'ordre 4 en \(a=0\) : \((1+2x)^x\)
  \item À l'ordre 3 en \(a=0\) : \(\tanh(x)=\ds\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\)
  \item À l'ordre 3 en \(a=2\) : \(\ln(1+x)\)
  \item À l'ordre 3 en \(a=5\) : \(\ds\frac{1}{1+x}\)
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
Donner un équivalent simple au voisinage de $0$ pour les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies ci-dessous :
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{x+1}$,
\item $g(x) = x(2 + \cos(x)) - 3 \sin(x)$,
\item $h(x)= \e^x  - \frac1{1-x} + \frac12\ln(1+x^2)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Donner le développement limité de la fonction
  \[
    x\mapsto \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
  \]
  à l'ordre 4 en 0. En déduire le développement limité de la fonction \(\arcsin\) à l'ordre 5 en 0.
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Calcul de limites]
  Déterminer les limite suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item \(\ds\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-\sin(x)}{\tan x - x}\)
  \item \(\ds\lim_{x\to+\infty}x-x^2\ln\pare*{1+\frac1x} \)
  \item \(\ds\lim_{x\to 0}\frac1{x^3}-\frac1{\sin^3(x)}\)
  \item \(\ds\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x^2+x+1}-x\)
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo} On note
  $$
  f:x \mapsto \frac1{\ln(1+x)} - \frac1x.
  $$
\begin{enumerate}
    \item Déterminer le domaine de définition ${\cal D}_f$ de $f$ ainsi que sa classe de régularité de $f$ sur ${\cal D}_f$.
    \item Montrer à l'aide d'un développement limité que $f$ se prolonge par continuité et en $0$, et que ce prolongement, encore noté $f$, est dérivable en $0$.
    \item Donner l'équation de la tangente à $f$ en 0.
    \item Peut-on prolonger $f$ par continuité en $-1$ ? Que peut-on dire de la tangente en $-1$ ?
    \item Représenter l'allure du graphe de $f$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo} On considère la fonction définie sur \(\R\)
  $$
  f:t \mapsto \begin{cases} \e^{-\frac1t} \text{ si t >0}\\0 \text{ sinon }\end{cases}.
  $$
\begin{enumerate}
    \item Justifier que $f$ est ${\cal C}^{\infty}$ sur $\R_+^*$ et sur $\R_-^*$.
    \item Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et préciser la valeur de $f'(0)$.
    \item Calculer $f'(t)$ pour $t\in \R_+^*$ et en déduire que $f$ est ${\cal C}^1$ sur $\R$.
    \item Montrer, par récurrence, que pour tout $n\in \N$, il existe $P_n\in \R[X]$ tel que $\forall t\in \R_+^*$, $f^{(n)}(t) = P_n(t) t^{-2n} \e^{-\frac1t}$.
    
    \emph{Indication :} lors de l'hérédité, le polynôme $P_{n+1}$ est défini en fonction de $P_n$ par $P_{n+1} = X^2 P_n' -2nXP_n + P_n$.
    \item En déduire que pour tout $\in \N$, $f$ est de classe ${\cal C}^n$ sur $\R$ avec $f^{(n)}(0) = 0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exo}Développement limité de la fonction tangente.
\begin{enumerate}
    \item Exprimer la fonction $\tan'$ à l'aide de $\tan$.
    \item En déduire successivement l'expression de $\tan^{(2)}$, $\tan^{(3)}$, $\tan^{(4)}$ et $\tan^{(5)}$ comme polynôme de la fonction tangente.
    \item À l'aide de la formule de Taylor-Young, donner le développement limité en $0$ à l'ordre 5 de tangente.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[DL de la fonction tangente, bis]~
  \begin{enumerate}
  \item Écrire le développement limité de \(\tan\) à l'ordre 0.
  \item Exprimer \(\tan'\) en fonction de \(\tan\), en déduire le développement limité de \(\tan'\) à l'ordre 0, puis celui de \(\tan\) à l'ordre 1.
  \item Utiliser le résultat des questions précédentes pour trouver le développement limité de \(\tan'\) à l'ordre 2, puis celui de \(\tan\) à l'ordre 3.
  \item Continuer. Donner le développement limité de \(\tan\) à l'ordre 7.
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
Calculer $f^{(6)}(0)$ où $f$ est la fonction ${f:x \mapsto x \sin(x) \e^x}$.
\end{exo}

\vspace*{30em}
  
  
\end{multicols}

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\end{document}
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