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\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 17 : Matrices d'applications linéaires}
\end{center}
\bigskip

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\begin{multicols}{2}
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exo}
  Soit \(\B\) la base canonique de \(\R^3\), et soient \(e_1 = (1,0,0)\), \(e_2=(1,-1,0)\), \(e_3=(1,1,1)\), et \(f_1=(0,1,1)\), \(f_2=(1,0,1)\), \(f_3=(1,1,0)\).
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\mc E=(e_1,e_2,e_3)\) et \(\mc F=(f_1,f_2,f_3)\) sont des bases de \(\R^3\).
  \item Écrire les matrices de passage de \(\B\) vers \(\mc E\), \(P_{\B\rightarrow\mc E}\), et de \(\B\) vers \(\mc F\), \(P_{\B\rightarrow\mc F}\).
  \item En déduire la matrice de passage de \(\mc E\) vers \(\mc F\).
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
Déterminer les matrices dans les bases canoniques des applications linéaires suivantes :
\begin{enumerate}
    \item $f: \begin{cases} \R^3\to \R^3\\ (x,y,z) \mapsto (2x-y,x+y-z,y-3z) \end{cases}$
    \item $g: \begin{cases} \R_3[X] \to \R_3[X] \\ P \mapsto XP'-P\end{cases}$
\end{enumerate}
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}
Pour chacune des matrices suivantes, déterminer l'image et le noyau (en en donnant une  base) de l'application linéaire canoniquement associée :
$$
A =\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&2&-2\\0&3&-1 \end{pmatrix}, \quad
B= \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3 \end{pmatrix},
$$
$$
C = \begin{pmatrix}3&-1&1&-2\\9&-3&3&-6\\0&0&4&-8\\0&0&2&-4 \end{pmatrix}.
$$
\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo} On note $E= \R_3[X]$ et $\mc B$ sa base canonique. On considère les endormophismes de $E$ suivants :
  $$f: \begin{cases} E \to E\\ P \mapsto P(X+1) \end{cases}  \et \quad g: \begin{cases} E \to E \\ P \mapsto P(X-1)\end{cases}$$
  \begin{enumerate}
  \item Calculer les matrices $M = \Mat_{\mc B}(f)$ et $N = \Mat_{\B}(g)$.
  \item Montrer que $f\circ g = \Id_E$.
  \item En déduire sans calcul que la matrice $N$ est l'inverse de $M$.
  \item Généraliser le résultat précédent pour déterminer l'inverse de la matrice de $\M_{n+1}(\R)$ suivante
    $$
    \begin{pmatrix}
      1 & \binom{1}{1} & \binom{2}{2} & \cdots & \binom{n}{n}\\
      & 1 & \binom{2}{1} & \cdots& \binom{n}{n-1}\\
      & & \ddots & &\vdots\\
      & (0) & & 1 & \binom{n}{1}\\
      & & & & 1
    \end{pmatrix}
    $$
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}Soit $f \in \mc L(\R^3)$ dont la matrice dans la base canonique de $\R^3$ est $A= \begin{pmatrix}1&4&2\\0&-3&-2\\0&4&3\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
    \item On note $u = (1,-1,1)$ et $v=(0,-1,2)$. Calculer $f(u)$ et $f(v)$ et exprimer ces vecteurs comme combinaison linéaire de $u$ et de $v$.
    \item 
    Justifier que $\B =\big(u,v,(1,0,0)\big)$ est une base de $\R^3$.
    \item Déterminer la matrice de $f$ dans la base $\B$.
    
    \emph{Indication.} C'est la matrice des coordonnées des vecteurs $f(u)$, $f(v)$ et $f(1,0,0)$ dans la base $\B$, et pas dans la base canonique.
    
    \item En déduire que $f^2 = \Id_{\R^3}$ et vérifier ce résultat directement à partir de la matrice $A$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo} On considère $f \in \mc L(\R^3)$ telle que sa matrice dans la base canonique est $\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-2&0&2\\-3&-1&3\end{pmatrix}$.
    
    Déterminer une base ${\mc B}$ de $\R^3$ telle que
    $$
    \Mat_{\mc B}(f) = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}.
      $$
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  On considère l'espace vectoriel \(\R^2\) muni de sa base canonique \(\B=(e_1,e_2)\). Soit \(u\) l'endomorphisme de \(\R^2\) donné par
  \[
  u(e_1) = e_1+e_2,\quad u(e_2)=-e_1+2e_2.
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer la matrice de \(u\) dans la base \(\B\).
  \item Soit \(v=xe_1+ye_2\). Déterminer la matrice de \(u(v)\) dans la base \(\B\).
  \item On pose \(f_1=e_2\) et \(f_2=e_1+e_2\). Vérifier que \(\mc F = (f_1,f_2)\) est une base de \(\R^2\).
  \item Déterminer \(P_{\B\rightarrow \mc F}\) et \(P_{\mc F\rightarrow \B}\).
  \item En utilisant la formule de changement de base, en déduire la matrice de \(u\) dans la base \(\mc F\), puis les expressions de \(u(f_1)\) et \(u(f_2)\) en fonction de \(f_1\) et \(f_2\).
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  On considère les polynômes \(P_1 = X^2+1\), \(P_2=X+1,\, P_3=2X^2-X\), et on note \(\B\) la base canonique de \(\R_2[X]\).
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\B'=(P_1,P_2,P_3)\) forme une base de \(\R_2[X]\).
  \item Écrire la matrice de passage de \(\B\) à \(\B'\), puis celle de \(\B'\) à \(\B\).
  \item Soint \(P(X) =X^2-X+2\). Donner les coordonnées de \(P\) dans \(\B'\).
  \item On considère l'endomorphisme de \(\R_2[X]\) donné par \(\theta(P)=XP'\). Déterminer la matrice de \(\theta\) dans la base \(\B'\).
  \end{enumerate}
\end{exo}
  
\end{multicols}

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\end{document}
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