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\begin{document}
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\begin{center}
  {\LARGE \bf TD 18 : Projecteurs}
\end{center}
\bigskip

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\begin{multicols}{2}
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

  
\begin{exo}
On considère les sous-espaces vectoriels de $\R^3$ suivants:
$$F=\{(x,y,z)\in \R^3 \,|\, x+y=0 \},$$
$$G=\{(x,y,z)\in \R^3 \,|\, x+z=0 \}.$$
\begin{enumerate}
    \item Déterminer les dimensions de $F$, de $G$, de $F\cap G$.
    \item Montrer que $F+G = \R^3$. Cette somme est-elle directe ?
\end{enumerate}
\end{exo} 


\begin{exo} Soit $p$ l'endomorphisme de $\R^3$ définie par
$$p:(x,y,z) \mapsto \frac13(2x-y-z,-x+2y-z,-x-y+2z).$$
\begin{enumerate}
    \item Donner la matrice de $p$ dans la base canonique de $\R^3$.
    \item Montrer que $p$ est un projecteur et déterminer des bases de $\Ker(p)$ et $\Im(p)$.
    \item Donner une base $\mc B$ de $\R^3$ obtenue en concaténant une base de $\Ker(p)$ et une base de $\Im(p)$.
    \item Déterminer la matrice de $p$ dans $\mc B$.
    \item On note $q$ la projection sur $\Ker(p)$ parallèlement à $\Im(p)$. Exprimer l'application $q$ en fonction de $p$ et $\Id_{\R^3}$ puis donner sa matrice dans la base canonique de $\R^3$.
\end{enumerate}
\end{exo} 

\begin{exo} Une forme linéaire est une application linéaire de rang \(\leq1\). On note
  $$H = \vect\big((1,2,4,0),(-1,1,-1,1),(2,0,1,-1) \big).$$
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que $H$ est un hyperplan de $\R^4$ et déterminer une forme linéaire $\varphi \in {\cal L}(\R^4,\R)$ telle que $H = \Ker(\varphi)$.
    
    \emph{Indication.} On pourra faire apparaître une condition de compatibilité dans un système linéaire en raisonnant à partir de $(x,y,z,t)\in H \Leftrightarrow \dots$
    \item Choisir un vecteur $u$ dans la liste ci-dessous tel que $\R^4 = H \oplus \vect(u)$.
    $$(2,3,4,0)\qquad(3,-1,2,-2)\qquad(1,2,-4,1)$$
    \item Soit $v \in E$. Déterminer, à l'aide $\varphi$ et en fonction de $v$, un scalaire $\alpha \in \R$ tel que $v-\alpha.u \in H$.
    \item Déterminer, à l'aide de la question précédente, la matrice $M$ dans la base canonique de $\R^4$ de la projection sur $H$ parallèlement à $\vect(u)$. Vérifier que $M^2 = M$.
\end{enumerate}
\end{exo}  

\begin{exo} On note $E = \R_4[X]$ et on considère les sous espaces vectoriels de $E$:
  \begin{align*}
    F &= \{ P \in E \,|\, P'' = 0\},\\
    G &= \{P \in E\,|\, P(0) = P(1) = 0 \}.
  \end{align*}
\begin{enumerate}
    \item Montrer que la somme de $F$ et $G$ est directe puis que $F \oplus G = E$.
    \item Montrer que $\mc{B} = (1,X,X^2-X,X^3-X,X^4-X)$ est une base de $E$ adaptée à la décomposition $E= F \oplus G$.
    \item On note $p$ la projection sur $G$ parallèlement à $F$. Déterminer la matrice de $p$ dans la base $\mc{B}$.
    \item Décomposer chacun des vecteurs de la base canonique de $E$ dans $\mc{B}$ et en déduire la matrice de $p$ dans la base canonique.
\end{enumerate}
\end{exo}  

\begin{exo} Soit $E$ un espace vectoriel. On dit que $s$ est une symétrie de $E$ si $s \in {\cal L}(E)$ et $s^2 = \Id_E$. On note $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$.
\begin{enumerate}
    \item On suppose que $f$ est un projecteur. Montrer que $2f - \Id_E$ est une symétrie.
    
    %\emph{Indication.} On pourra raisonner soit directement sur les applications, soit à partir de la matrice de $f$ dans une base adaptée.
    \item On suppose que $g$ est une symétrie.   
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $\frac12(g + \Id_E)$ est un projecteur.
        \item En déduire que $\Ker(g+\Id_E)$ et $\Ker(g- \Id_E)$ sont supplémentaires.
        \item Donner la matrice de $g$ dans une base adaptée à la décomposition $E = \Ker(g+\Id_E) \oplus \Ker(g- \Id_E)$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo} 

\begin{exo} Soit $E$ un espace vectoriel et $p_1$ et $p_2$ deux projecteurs de $E$. On cherche à savoir à quelle condition $p_1+p_2$ est encore un projecteur.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que : \quad $p_1+p_2$ est un projecteur $\;\Longleftrightarrow\;$ $ p_1\circ p_2 + p_2\circ p_1 =0_{{\cal L}(E)}$.
    \item On suppose dans cette question que $ p_1\circ p_2 + p_2\circ p_1 =0_{{\cal L}(E)}$. Montrer alors que $p_1\circ p_2 = 0_{{\cal L}(E)}$ et que $p_2\circ p_1 = 0_{{\cal L}(E)}$.
    \item En déduire que : \quad $p_1+p_2$ est un projecteur $\;\Longleftrightarrow\;$ $\Im(p_1) \subset \Ker(p_2)$ et $\Im(p_2) \subset \Ker(p_1)$.
    \item Montrer que dans le cas où $p_1+p_2$ est un projecteur, on a $\Im(p_1+p_2) = \Im(p_1)\oplus \Im(p_2)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{multicols}

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\end{document}
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