%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper, 10pt, french]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm}			% formules maths (basique)
\usepackage{mathabx}			% symboles : \leqslant \geqslant
\usepackage{bbm}			% indicatrices d'ensemble
\usepackage{fancyhdr}			% En-tête et pieds de page
\usepackage{geometry}
\usepackage{multicol}			% liste sur plusieurs colonnes
\usepackage{mathtools}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[french]{babel}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Package setup

\geometry{
	top=7em,								% taille au-dessus du corps de texte
	bottom=4em,
	inner=0.1\linewidth,					% marge gauche
	outer=0.1\linewidth,					% marge droite
	headheight=5em,       					% taille en-tête
	headsep=1em,								% taille entre en-tête et corps du texte
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Macros

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}		%	"R^n" canonique
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}		%	N des entiers
\newcommand{\m}[1]{\mathbbm{#1}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}		%   le tore T
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}		%   les entiers relatifs Z
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}		%   corps des complexes
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}		%	D des distributions
\newcommand{\tendf}{\rightharpoonup}
\newcommand{\un}{\mathbbm{1}}		%	"1" indicatrice d'ensemble
\newcommand{\ee}{\varepsilon}		%	epsilon canonique
\newcommand{\ff}{\varphi}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\DeclareMathOperator*{\supp}{supp}


\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\dbra}{\ldbrack}{\rdbrack}

\pagestyle{fancy}							% En-tête et pieds de page
\fancyhead[L]{Prépa agreg\\2023--2024\vspace{1em}}
\fancyhead[C]{\'Equations différentielles ordinaires.}
\fancyhead[R]{ENS de Lyon \vspace{1em} }
\fancyfoot[C]{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\begin{enumerate}

  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \section{EDO linéaires}

\item Résoudre 
  \setlength\multicolsep{4pt plus 4pt minus 3pt}
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $x'+x = \sin(t)$
    \item $\sqrt{1+t^2}x' -tx = \tfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}

  
\item On considère le système différentiel
  \[
    \left\{
      \begin{array}{ccc}
        x'(t) & = & y(t) + e^{-t},\\
        y'(t) & = & 2x(t)-y(t).
      \end{array}\right.
  \]
  Tracer le portrait de phase du système homogène associé. Déterminer de deux manières différentes la solution maximale du système vérifiant $(x(0),y(0))=(1,0)$.

\item Soit $f:\R \to \R$ une fonction continue. Résoudre l'équation différentielle $v''(t)-v(t)=f(t)$.

\item Résoudre les équations suivantes :
  \begin{multicols}{2}%
    \begin{enumerate}%
    \item $y'' + 4y' + 3y = t$.
    \item $y'' + 9y = (1+t)e^t$.
    \item $y'' - 7y' + 6y = e^t$.
    \item $y'' + 4y = \cos(2t)$.
    \item $y'' - y = \ln(t)$.
    \item $x^2y'' - 4xy' + (x^2+6)y = 0$.
    \end{enumerate}
  \end{multicols} 
 
\item \emph{Utilisation de la résolvante.} Soit $q:\R\to \R$ une fonction continue. On considère l'équation différentielle d'ordre $2$
  \begin{equation}\tag{E} \label{E} x''(t)+q(t)x(t)=0.\end{equation}
  \begin{enumerate}
    
  \item Décrire le domaine d'une solution maximale de \eqref{E}. Montrer que les zéros d'une solution non identiquement nulle sont isolés.
    
  \item  On note $X'(t)=A(t)X(t)$ le système différentiel d'ordre $1$ associée à \eqref{E}.
    \begin{enumerate}
    \item Rappeler la définition de la résolvante $R^t_s$ du système et ses principales propriétés. 
    \item Déterminer $\det(R^t_s)$ à l'aide de la \emph{formule de Liouville}.
    \item Montrer que $R^t_0$ possède une valeur propre de module inférieur à $1$. 
    \end{enumerate}
    On suppose désormais que $q$ est $1$-périodique.
  \item Relier $R^{t+1}_1$ et $R^t_0$ pour $t \in \R$.
  \item Si $1$ est valeur propre de $R^1_0$, montrer que \eqref{E} admet une solution $1$-périodique non nulle.
  \item Montrer que \eqref{E} admet une solution bornée dans le futur.
  \end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{EDO en 1D}
\item Pour chacune des EDOs suivantes, dire si le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique et si les solutions maximales sont globales en temps positifs et/ou en temps négatifs.
  \begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
    \item $x'=\sin(tx)$
    \item $y'=\operatorname{sh}(y)$
    \item $z'=z^3$
    \item $u'=-u^3$
    \item $v'=\frac1{1+v}$
    \item $w'=|w|^\frac34$
    \end{enumerate}\end{multicols}	
  
\item On étudie l'équation différentielle
  \[
    \tag{E} x'(t) = f(t, x(t)), \quad\text{où } f(t,x) = x^3 - \sin(2\pi t).
  \]
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Dessiner l'isocline \(I_0\), et indiquer le signe de \(f\) dans les régions qu’elle délimite. 
    \item Pour quelles valeurs de \(c\in\R\) la fonction constante \(h_c=c\) est-elle une sur-solution, (resp. une sous-solution) de (E) sur \(\R\), c'est-à-dire que \(h_c' \geq f(t,h_c)\) (resp. \(\leq\))?
    \end{enumerate}
  \item Soit \(x : I \to \R\) une solution maximale de (E).
    \begin{enumerate}
    \item Montrer qu'il existe \(t\in I\) tel que \(x(t) \leq 1\).
    \item De la même manière (ou en regardant \(t\mapsto -x(t+1/2)\)) montrer qu'il existe \(t\in I\) tel que \(x(t) \geq -1\).
    \item En déduire que les solutions maximales de (E) sont globales en temps négatif.
    \end{enumerate}
  \item 
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer les solutions de \(4u'(t)= u^3(t)\).
    \item Montrer, pour \(a\leq b\), l'inégalité \(4(b-a)^3\leq b^3 -a^3.\)
    \item En déduire que si \(x\) et \(y\) sont des solutions maximales de (E), alors
      \[
      \lim_{t\to -\infty} x(t)-y(t)=0.
      \]
    \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
    \item Soient, pour \(n\in\N\), \(y_n\) et \(z_n\) les solutions maximales de condition initale respective \(y_n(n)=1\) et \(z_n(n)=-1\). Montrer que pour tout \(t\leq n\), \(y_n(t) = y_0(t-n)\) et \(z_n(t) = z_0(t-n)\).
    \item Montrer que \(I_n = [z_n(0), y_n(0)]\) est une suite décroissante de compacts. En déduire qu'il existe une solution maximale \(w:\R\to[-1,1]\).
    \item Montrer qu'une telle solution est unique.
    \item Montrer que \(w\) est 1-périodique.
    \end{enumerate}
  \item Soit \(x\) une solution maximale différente de \(w\). Est-elle globale dans le futur ?
  \end{enumerate}


      
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \section{EDO autonomes et portraits de phase, étude qualitative}

\item \emph{Equation logistique}
  \begin{enumerate}
  \item Décrire le comportement asymptotique de $N'=rN$ selon le signe de $r\in\R$.
  \item On choisit désormais $K>0$. Discuter qualitativement du comportement de $N$ vérifiant : 
    \begin{equation*}
      \left\{
        \begin{array}{ll}
          N'=rN(K-N), \\
          N(0)=N_0>0.
        \end{array} \right.
    \end{equation*}
    Résoudre le système en posant \(T=1/N\).
  \item On rajoute un effet Allee : décrire qualitativement le comportement de $N$ vérifiant, pour $\rho \in \left[0, K \right[$,
    \begin{equation*}
      \left\{
        \begin{array}{ll}
          N'=rN(K-N)(N-\rho), \\
          N(0)=N_0>0.
        \end{array} \right.
    \end{equation*}
  \end{enumerate}
  
  
\item \emph{Lotka Volterra (lapins et renards).}
  On s'intéresse au système d'équations suivant :
  \begin{equation*}
    \left\{
      \begin{array}{lll}
        x'=ax-bxy, \\
        y'=-cy+dxy,
      \end{array} \right.
  \end{equation*}
  où $a,b,c,d$ sont des constantes  strictement positives.
  \begin{enumerate}
  \item Qui sont les lapins, qui sont les renards ? Discuter du système différentiel en tant que modèle de l'évolution des populations.
  \item Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il ? Montrer qu'une solution maximale issue d'un couple de $(\R_+^{*})^2$ reste dans $ (\R_+^{*})^2$.		
  \item Montrer que l'intégrale première $\mathcal{H}(x,y)=d x - c \log x + b y- a \log y$ est constante au cours du temps. 
  \item Montrer que les solutions issues de \((\R_+^*)^2\) sont bornées. Que peut-on en déduire ?
  \item Déterminer les points d'équilibres du système.
  \item Linéariser le système autour du point d'équilibre non nul, et en déduire l'allure des solutions au voisinage de ce point.
  \item Déterminer les points critiques de $\mathcal{H}$, décrire l'allure de ses niveaux dans  $ (\R_+^{*})^2$, et faire le lien avec ce qui précède.
  \end{enumerate}
  
\item Déterminer les points d'équilibre de l'équation différentielle linéaire $X' = AX$ et étudier leur stabilité dans les deux cas suivants : 
  $$A = \begin{pmatrix}
    -1 & 1 & 4 \\
    -1 & 1 & 4 \\
    0 & 0 & -2
  \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 0 \\
    -1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & -1
  \end{pmatrix}.$$
  
  
  
  
\item  Déterminer les points d'équilibre de l'équation différentielle $y' = f(y)$ et étudier leur stabilité, où $f:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2$ est donnée par $f(y_1,y_2) = (y_2- \sin(2y_1), 1-e^{y_2})$.

\item On considère le système différentiel
  \begin{equation}\label{09022022E1}\tag{$E$}
    \left\{
      \begin{array}{l}
        x' =  -x^3 - y^2, \\[5pt]
        y' = xy - y^3.
      \end{array}\right.
  \end{equation}
  \begin{enumerate}
  \item Quels sont les points d'équilibre de \eqref{09022022E1} ?
  \item Etudier la stabilité des points d'équilibre.
  \end{enumerate}
  
  
\item Dessiner le portrait de phase du système différentiel suivant
  $$\left\{
    \begin{array}{l}
      x' =  y-x-2, \\[5pt]
      y' = x^2-y.
    \end{array}\right.$$

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Autour du théorème de Cauchy-Lipschitz}

\item Soit $f:\R^2 \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$, on considère l'EDO $x'=f(t,x)$.
  \begin{enumerate}
  \item Supposons que $xf(t,x)<0$ pour tout $x \neq 0$ et $t \in \R$. Montrer que les solutions maximales de l'équation sont globales en temps positif et admettent une asymptote horizontale.
  \item Supposons que $f$ est à variables séparées, c'est-à-dire $f(t,x)=h(t)g(x)$ où $h$ et $g$ sont des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$, et notons $x_1$ et $x_2$ deux zéros successifs de $g$. Montrer que toute solution maximale issue de $]x_1,x_2[$ est globale.
  \end{enumerate}


\item Considérons l'équation $(E) : y' = \exp(-xy)$. Soit $f$ la solution maximale de $(E)$ telle que $f(0) = 0$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $f$ est impaire.
  \item Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb R$ et possède une limite finie notée $l$ en $+\infty$.
  \item Montrer que $l\geq1$.
  \end{enumerate}

\item Considérons l'équation $(E) : y' = \sin(y)$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer les solutions constantes de $(E)$ et montrer que les autres solutions sont strictement monotones. Dans quelle partie du plan se situe chacune de ces solutions non constantes ?
  \item Montrer que toute solution maximale de $(E)$ est définie sur $\mathbb R$.
  \item Soit $\varphi_0:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ la solution maximale de $(E)$ telle que $\varphi_0(0) = \pi/2$.
    \begin{enumerate}[label = \alph*)]
    \item Montrer que pour tout $x\in\mathbb R$, $\varphi_0(x) = \pi - \varphi_0(-x)$.
    \item Déterminer l'expression de $\varphi_0$.
    \item Dessiner la courbe représentative $(\mathcal C_0)$ de $\varphi_0$. Quelle propriété géométrique possède $(\mathcal C_0)$ ?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
  \item Soit $v\in C^1(\mathbb R^n, \mathbb R^n)$ tel que $\langle v(x),x\rangle<0$ pour tout $x\in\mathbb S^{n-1}$. Montrer pour tout point de départ $x_0$ dans la boule unité de $\mathbb R^n$, la solution maximale du problème de Cauchy
    $$\left\{
      \begin{array}{l}
        x'(t) =  v(x(t)), \\[5pt]
        x(0) = x_0
      \end{array}\right.$$
    reste dans la boule unité. En déduire qu'elle est globale.
  \item Montrer que le résultat de la question précédente reste vrai si on suppose seulement que $\langle v(x),x\rangle\le0$ pour tout $x\in\mathbb S^{n-1}$.
  \end{enumerate}

  
\item \emph{Un contre exemple au théorème de Cauchy-Arzela-Péano en dimension infinie.} Soit $c_0(\mathbb N)$ l'espace des suites réelles qui convergent vers $0$, muni de la norme $\Vert\cdot\Vert_{\infty}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que l'application
    $$f : (x_n)_n\in c_0(\mathbb N)\mapsto (y_n)\in c_0(\mathbb N)\ ;\ y_n = \sqrt{\vert x_n\vert} + \frac1{n+1},$$
    est continue.
  \item On considère le problème de Cauchy
    \begin{equation}\label{11022022E1}\tag{$E$}
      \left\{
        \begin{array}{l}
          x'(t) =  f(x(t)), \\[5pt]
          x(0) = 0.
        \end{array}\right.
    \end{equation}
    Supposons que $x\in C^1(]-a,a[,c_0(\mathbb N))$ est une solution de \eqref{11022022E1}. Montrer qu'on a alors pour tout $n\geq0$ et $t\in]0,a[$,
    $$x_n(t)>0,\quad\frac{x_n'(t)}{\sqrt{x_n(t)}}>1.$$
  \item En déduire que $x_n(t)\geq t^2/4$ pour tout $n\geq0$ et $t\in[0,a[$. Qu'en conclure ?
  \end{enumerate}

  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \section{Temps d'existence des solutions}

\item \emph{Version générale du lemme de Gronwall.} On veut montrer le résultat suivant : soit $f:(a,b)\times \R\to\R$ une fonction lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable, et soit $s(t)$ une solution sur $(a,b)$ de $s'(t)=f(t,s(t))$. Si la fonction $x:(a,b)\to\R^d$ vérifie que
  \[
    \begin{cases}
      \norm{x(t_0)}=s(t_0)& \\
      \norm{x'(t)}\leq f(t,\norm{x(t)}) & \forall t\in[t_0,b[
    \end{cases}
  \]
  pour un certain $t_0\in(a,b)$, alors pour tout $t\in[t_0,b[$, $\|x(t)\|\leq s(t)$.
  \begin{enumerate}
  \item On suppose pour l'instant que l'inégalité est stricte : pour tout \(t\in[t_0,b[,\), \(\norm{x'(t)}< f(t,\norm{x(t)})\). Montrer que 
    \[\sup\left\{t\in[t_0,b[,~\|x(t)\|\leq s(t)\right\} = b.\]
  \item En considérant $f_\ee = f+\ee$, conclure dans le cas général.
  \end{enumerate}

  
\item \emph{Lemme d'Osgood:} On se donne $f\in \mathcal{C}^1(\R,\R_+)$. 
  \begin{enumerate}
  \item En supposant que $f$ ne s'annule pas et que 
    \[\int_{-\infty}^\infty \frac{ds}{f(s)} <\infty\]
    montrer que la solution maximale du problème de Cauchy $x'(t)=f(x(t))$, $x(t_0)=x_0\in\R$ est définie sur $]t_0-T_*,t_0+T^*[$ où
    \[T_* = -\int_{-\infty}^{x_0} \frac{ds}{f(s)} {\rm~et~}T^*=\int_{x_0}^\infty \frac{ds}{f(s)} \]
  \item En supposant que $f$ ne s'annule qu'en $\zeta_0$, montrer que l'intervalle de définition de la solution maximale de $x'(t)=f(x(t))$, $x(t_0)=x_0\in\R$ n'est pas majoré si $x_0<\zeta_0$.~\\
  \end{enumerate}
  
  On suppose maintenant que $f$ est dans $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$. On suppose qu'il existe $F\in \mathcal{C}^1(\R_+,\R_+^*)$ et \(a\in\R\) tels que 
  \[
    \int_{a}^\infty \frac{ds}{F(s)} =\infty
  \]
  et $|f(t,x)|\leq F(|x|)$ pour tout $(t,x)\in\R^{n+1}$. On veut montrer que toute solution maximale de $x'(t)=f(t,x(t))$ est globale. Raisonnons par l'absurde. Soit $x\in\mathcal{C}^1(J,\R^n)$ une solution, supposons que $\sup J <\infty$.
  \begin{enumerate}[resume]
  \item Montrer qu'il existe $A>0$ tel que pour tout $t\geq A$, $|x(t)|\geq 1$.
  \item Soit $r: t\mapsto|x(t)|$, définie pour $t\in[A,\sup J[$. Montrer que 
    \[\forall t\in[A,\sup J[,~r'\leq F(r(t)).\]
  \item Déduire que $x$ est globale.
  \end{enumerate}

\item \emph{Un théorème de Lyapunov.} Soit $f:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R^d$ une fonction de classe $C^1$. On suppose que l'EDO
  \begin{equation}\label{30032021E1}
    x'(t) = f(x(t)),
  \end{equation}
  admet une fonction de Liapounov $V:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R$ de classe $C^1$, c'est-à-dire une fonction qui vérifie
  $$\forall x\in\mathbb R^d,\quad \mathrm \nabla V(x)\cdot f(x)\le0.$$
  \begin{enumerate}
  \item Soit $(x,I)$ une solution de l'équation \eqref{30032021E1}. Vérifier que la fonction $t\mapsto V(x(t))$ décroît sur $I$.
  \item  Soit $x^\star\in\mathbb R^d$ un point d'équilibre de l'équation \eqref{30032021E1} - autrement dit un zéro de $f$. On suppose de plus que $V$ atteint un minimum local strict en $x^\star$, c'est-à-dire qu'il existe $r_1>0$ tel que $V(x^\star)<V(x)$ pour tout $x$ différent de $x^\star$ dans $B(x^\star,r_1)$. Pour tout $0<r<r_1$, on note $\alpha_r = \min\left\{V(x),|x-x^\star|=r\right\}$.
    \begin{enumerate}
    \item Soit $0<r<r_1$. Montrer que $U_r = \{x\in\mathbb R^d : V(x)<\alpha_r\}\cap B(x^\star,r)$ est un ouvert contenant $x^\star$, et que toute trajectoire issue de $U_r$ reste dans $B(x^\star,r)$.
    \item Montrer que $x^\star$ est un point stationnaire stable.
    \end{enumerate}
  \item On garde les mêmes hypothèses que dans la question précédente et on suppose de plus que 
    $$\forall x\in\mathbb R^d\setminus\{x^\star\},\quad \mathrm \nabla V(x)\cdot f(x)<0.$$
    On va montrer que le point $x^\star$ est asymptotiquement stable.
    \begin{enumerate}
    \item Soit $0<r<r_1$. Montrer que le flot $(t,x) \mapsto \phi_t(x)$ de \eqref{30032021E1} est bien défini sur $\mathbb R_+\times U_r$.
    \item Soit $x\in U_r$. On définit l'ensemble $\omega$-limite $\omega(x)$ du point $x$ de la manière suivante :
      $$\omega(x) = \big\{y\in\mathbb R^d : \exists (t_n)_{n\geq0}\in\mathbb R^{\mathbb N},\ t_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}+\infty,\ \phi_{t_n}(x)\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow} y\big\}.$$
      Montrer que pour tout $y\in\omega(x)$, la fonction $t\mapsto V(\phi_t(y))$ est constante sur $\mathbb R_+$.
    \item Montrer que $\omega(x)\subset\{y\in\mathbb R^d : \mathrm dV(y)\cdot f(y) = 0\}$ pour tout $x\in U_r$.
    \item Prouver que $\omega(x) = \{x^\star\}$ pour tout $x\in U_r$, et conclure.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

  \emph{Exemple important :} si $g:\R^d \to \R$ est une fonction de classe $C^2$, c'est une fonction de Liapounov pour l'EDO donnée par son champ de gradient : $x'(t) = - \nabla g (x(t))$.

  
\end{enumerate}
% \bibliographystyle{alpha}
% {\footnotesize
% % \printbibliography}
% \bibliography{biblio_agreg}}

\end{document}
