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\documentclass[a4paper, 10pt, french]{article}
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\usepackage{mathabx}			% symboles : \leqslant \geqslant
\usepackage{bbm}			% indicatrices d'ensemble
\usepackage{fancyhdr}			% En-tête et pieds de page
\usepackage{geometry}
\usepackage{multicol}			% liste sur plusieurs colonnes
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\usepackage{enumitem}
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% Package setup

\geometry{
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	bottom=4em,
	inner=0.1\linewidth,					% marge gauche
	outer=0.1\linewidth,					% marge droite
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}

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% Macros

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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}		%	N des entiers
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\newcommand{\T}{\mathbb{T}}		%   le tore T
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}		%   les entiers relatifs Z
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}		%   corps des complexes
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}		%	D des distributions
\newcommand{\tendf}{\rightharpoonup}
\newcommand{\un}{\mathbbm{1}}		%	"1" indicatrice d'ensemble
\newcommand{\ee}{\varepsilon}		%	epsilon canonique
\newcommand{\ff}{\varphi}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\DeclareMathOperator*{\supp}{supp}


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\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
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\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\dbra}{\ldbrack}{\rdbrack}

\pagestyle{fancy}							% En-tête et pieds de page
\fancyhead[L]{Prépa agreg\\2023--2024\vspace{1em}}
\fancyhead[C]{Convolutions.}
\fancyhead[R]{ENS de Lyon \vspace{1em} }
\fancyfoot[C]{}

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\begin{document}
\begin{enumerate}

  \section*{Quelques exercices autour des produits de convolution dans \(\R^d\)}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item   Montrer que le produit de convolution \(*\) est bien défini sur \(L^1_{loc}\times L^1_c\), où \(L^1_{loc}\) désigne les fonctions localement intégrables (c'est-à-dire intégrable sur tout compact), et \(L^1_c\) est l'ensemble des fonctions intégrables et à support compact.
  \item Montrer qu'en outre \(* : L^1_{loc}\times L^1_c\to L^1_{loc}\).
  \item Peut-on définir \(*\) sur \(L^1_{loc}\times L^1\) ?
  \end{enumerate}
  
\item Soit \(\Omega\) un ouvert de \(\R^d\). Montrer que \(\mc C^\infty_c(\Omega)\) est dense dans \(L^p(\Omega)\).

\item (Convolution de gaussiennes). Soit, pour \(\sigma>0\),
  \[
  f_{\sigma} :x\in\R^d\mapsto \frac{1}{\sigma(2\pi)^{d/2}}\exp\pare*{-\frac{\abs x^2}{2\sigma^2}}.
  \]
  Montrer que \(f_{\sigma_1}*f_{\sigma_2}=f_{\sigma_1+\sigma_2}\).

\item Soient \(P\) un polynôme, et \(f\) une fonction intégrable à support compact. Montrer que \(f*P\) est un polynôme.

\item (Théorème de Weierstrass par la convolution) Soient \(a<b\) des réels, et soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) et à valeurs réelles. On souhaite montrer que \(f\) est la limite uniforme d'une suite de polynômes.
  \begin{enumerate}
  \item Justifier qu'on peut supposer que \(f(a)=f(b)=0\).
  \end{enumerate}
  On pose \(R=b-a\), et
  \[
  q:x\mapsto \begin{cases}
    R^2-x^2&\text{si }\abs x \leq R\\
    0 &\text{sinon}.
  \end{cases}
  \]
  \begin{enumerate}[resume]
  \item Montrer que la suite de fonctions \((Q_n)_{n\geq 1}\) définie par
    \[
    Q_n(x)= \frac{(q(x))^n}{\norm{q^n}_1}
    \]
    est une approximation de l'unité.
  \item On prolonge \(f\) par \(0\) en dehors de \([a,b]\), et on note cette fonction \(\tilde f\). Montrer que \(Q_n*\tilde f\) converge uniformément vers \(\tilde f\).
  \item Montrer que la restriction de \(Q_n*\tilde f\) à \([a,b]\) est un polynôme de degré \(\leq 2n\), et conclure.
  \end{enumerate}
  
\item (Théorème de Borel, \cite[Exercice 3.2.10]{bony}, \cite[Exercice 116]{rouviere}). Soit \((a_n)_{n\in\N}\) une suite de complexes. Montrons qu'il existe une fonction \(f\in \mc C^\infty(\R)\) telle que
  \[
  \forall n\in \N, \quad f^{(n)}(0) = a_n.
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que le théorème est vrai lorsque la suite \((a_n)\) est bornée.
  \item Soit \(\chi\) une fonction plateau. On choisit, pour \(n\in\N\), des réels \(\ee_n>0\), et on considère
    \[
    f_n(x)=a_n\chi\!\left(\frac x{\ee_n}\right)\frac{t^n}{n!}.
    \]
    Calculer \(f_n^{(k)}(0)\) pour \(k\in\N\).
  \item Montrer que pour tout \(k\in\dbra{0,n-1}\), 
    \[
    \norm{f_n^{(k)}}_\infty \leq \ee_n^{n-k}M_n
    \]
    pour une certaine constante \(M_n\).
  \item En déduire que pour un bon choix de la suite \((\ee_n)\), la fonction \(f=\sum_{n\geq 0} f_n\) est une solution au problème.
  \item (Application) Soit \(f\in\mc C^\infty(\R)\) paire. Montrer qu'il existe \(g\in\mc C^\infty(\R)\) telle que pour tout \(x\in\R\), \(f(x)=g(x^2)\). \emph{Indication :} construire une fonction \(u\in\mc C^\infty\) telle que \(v(x)=f(x)-u(x^2)\) ait toutes ses dérivées nulles en \(x=0\), puis montrer que \(t\mapsto v(\sqrt{\abs t})\) est lisse.
  \end{enumerate}

 
\end{enumerate}

\bibliographystyle{alpha}
{\footnotesize
%\printbibliography}
\bibliography{biblio_agreg}}

\end{document}
