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% Package setup

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% Macros

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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}		%   les entiers relatifs Z
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\newcommand{\ee}{\varepsilon}		%	epsilon canonique
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\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}
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\pagestyle{fancy}							% En-tête et pieds de page
\fancyhead[L]{Prépa agreg\\2023--2024\vspace{1em}}
\fancyhead[C]{Distributions.}
\fancyhead[R]{ENS de Lyon \vspace{1em} }
\fancyfoot[C]{}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\begin{enumerate}

\subsection*{Ordre et manipulations}
\item \label{heavi}\begin{enumerate}
\item Soit $H:\R \to \R$ la fonction de Heaviside $
  H(t)=\begin{cases}
  0, & t<0,\\
  1, & t\geq 0,
  \end{cases}$
  et $\delta_0$ la distribution de Dirac en $0$, définie par $\langle\delta_0,\varphi\rangle=\varphi(0)$ pour toute fonction test $\phi$. Montrer que $H'=\delta_0$ au sens des distributions. 
\item Soit $n \in \N$, donner un exemple de distribution d'ordre $n$ et donner une distribution d'ordre infini.
\item Pour $\theta \in \mc C^\infty$, calculer $\theta \delta_0'$.
\end{enumerate}


\item	Étudier la convergence au sens des distributions des suites suivantes, on précisera l'ordre des distributions de la suite ainsi que celui de la limite lorsqu'elle existe :
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $f_n(x) = n^df(nx)$ \ avec $f \in L^1(\R^d)$ ;
    \item $T_n = (-1)^n \delta_{1/n}$ ;
    \item $T_n = \frac{n}{2}(\delta_{1/n} - \delta_{-1/n})$ ;
    \item $f_n(x) = \cos(nx)$ ;
    \item $f_n(x) = n^p \cos(nx)$ \ avec $p>0$ ;
    \item $f_n(x) = |x|^{\frac{1}{n}-1} - 2n\delta_0$ \ dans $\D'(\R)$.
    \end{enumerate}
  \end{multicols}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \subsection*{Deux exemples}
\item	On étudie deux distributions : la valeur principale et la partie finie.
  \begin{enumerate}
  \item On définit la valeur principale de $1/x$ par : $\forall \ff \in \D(\R)$,
    \[ \langle \vp(1/x) , \ff \rangle = \lim_{\ee \to 0^+} \int_{|x|\geqslant \ee}
    \frac{\ff(x)}{x}d x . \]
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $\vp(1/x)$ définit bien une distribution et préciser son ordre.
    \item Montrer que $x \vp(1/x) = 1$ au sens des distributions.
    \item Montrer que $x \mapsto \ln(|x|)$ définit une distribution dont la dérivée est $\vp(1/x)$.
    \end{enumerate}
  \item On définit la partie finie de $1/|x|$ par : $\forall \ff \in \D(\R)$,
    \[ \langle \pf(1/|x|) , \ff \rangle = \int_{-M}^M \frac{\ff(x)-\ff(0)}{|x|} d x
    + 2 \ff(0) \ln(M), \]
    où $M>0$ vérifie $\supp(\ff) \subset [-M,M]$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $\pf(1/|x|)$ définit bien une distribution (en particulier ne dépend pas de $M$ tant que $[-M,M]$ contient le support de $\ff$) et préciser son ordre.
    \item Montrer que $x \, \pf(1/|x|) = \sgn(x)$ au sens des distributions.
    \item Montrer que $x \mapsto \sgn(x)\ln(|x|)$ définit une distribution dont la dérivée est $\pf(1/\abs x)$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}


  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \subsection*{Résolutions d'EDO au sens des distributions}
\item Soit $I$ un intervalle de $\R$.
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre $T' = 0$ dans $\D'(I)$.
  \item Soient $f,g \in \mc C^{\infty}(I)$, montrer que toute solution $T$ de $T'+fT=g$ dans $\D'(I)$ est une fonction lisse.
  \item Pour $f\in \mc C^{\infty}(\R)$, résoudre $T'+fT = \delta_0$ dans $\D'(\R)$.
  \item Résoudre $T''-T'-2T = \delta_0$ dans $\D'(\R)$.
  \end{enumerate}
\item Soit $\chi \in \D(\R)$ une fonction plateau telle que \(\abs x\leq 1\implies \chi(x)=1\).
  \begin{enumerate}
  \item Pour tout $\ff \in \D(\R)$, montrer qu'il existe $\psi \in \D(\R)$ telle que
    \[ \ff(x)-\ff(0)\chi(x) = x\psi(x). \]
  \item Résoudre $xT=0$ dans $\D'(\R)$.
  \item Résoudre $xT=1$ dans $\D'(\R)$.
  \item Pour $n \in \N$, $n\geqslant 2$, résoudre $x^nT=1$ dans $\D'(\R)$. \emph{Indication : on pourra s'inspirer des premières questions et commencer par résoudre \(x^nT=0\).}
  \end{enumerate}


\item	Résoudre dans $\D'(\R)$ les équations suivantes :
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $xT = \sgn(x)$,
    \item $xT=\un_{\R^+}$, 
    \item $(x-1)T=\delta_0$,
    \item $(x-a)(x-b)T=1$ \quad avec $a\neq b$.
    \end{enumerate}
  \end{multicols}


\item (\emph{Formule des sauts})
  Soit $f: \R \to \R$ une fonction $\mc C^1$ sur $\R^*$, on dit que $f$ admet un saut en $0$ si $f$ se prolonge par continuité à droite et à gauche de $0$ par des valeurs finies. On note $[[f(0)]]=f(0^+)-f(0^-)$ la hauteur du saut de $f$ en $0$. On note $\{ f'\}$ la dérivée de la partie régulière de $f$, c'est-à-dire
  \[ \{ f'\} (x) = \begin{cases}
    f'(x) & \text{si $f$ est dérivable en $x$} \\
    0 & \text{sinon}
  \end{cases}
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Montrer qu'au sens des distributions :
    \[ f' = \{ f'\} + [[f(0)]] \delta_0. \]
  \item Soit $(x_n)$ une suite indexée par $\mathbb{Z}$ strictement croissante telle que
    \[ \lim_{n\to -\infty} x_n = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{n\to +\infty} x_n = +\infty. \]
    Soit $f : \R \to \R$ une fonction $\mc C^1$ admettant des sauts sur chaque $x_n$. Montrer qu'au sens des distributions
    \[ f' = \{ f'\} + \sum_{n \in \mathbb{Z}} [[f(x_n)]] \delta_{x_n}. \]
  \item On définit l'opérateur différentiel $P = \partial^2 + a\partial + b$, avec $a,b \in \R$.
    \begin{enumerate}
    \item Soit $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^2$ sur $\R$, on définit $h=f\un_{\R^+}+g\un_{\R^-}$. Calculer $Ph$ au sens des distributions.
    \item En déduire une solution particulière de l'équation $T''+aT'+b = \delta_0$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

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  \subsection*{Une injection de Sobolev en dimension 1}
  
  
\item \cite[Chapitre VIII]{brezis}
  Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $p\in [1,+\infty]$. Soit $f \in W^{1,p}(I)=\left\{f\in L^p, f' \in L^p\right\}$, qu'on munit de la norme
  \[
  \norm f_{W^{1,p}(I)} = \norm f_{L^p(I)} + \norm{f'}_{L^p(I)}.
  \]
  On notera aussi \(H^1(I) = W^{1,2}(I)\).
  \begin{enumerate}
  \item Soit $a \in I$, montrer que la fonction $T$, donnée par
    \[ T(x) = \int_a^x f'(t) d t, \]
    est bien définie, continue et dérivable presque partout. \emph{On pourra utilise le théorème de différentiation de Lebesgue : si $u\in L^1_{loc}(\R^d)$, alors pour presque tout $x \in \R^d$,
    \[ \frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)} \abs{u(y)-u(x)} d y \quad \overset{r \to 0}{\longrightarrow} \quad 0 . \]}
  \item Montrer que $T'=f'$ presque partout et au sens des distributions.
  \item En déduire qu'il existe $c \in \R$ tel que, pour presque tout $x\in \R$,
    \[ f(x) = c + \int_a^x f'(t)d t . \]
    \emph{En particulier, $f$ admet un représentant continu et dérivable presque partout.}
  \item Si $1<p<+\infty$, montrer que $f$ est hölderienne. Pour quels $\alpha>0$ a-t-on l'inclusion $H^1(I) \subset C^{0,\alpha}(I)$ ? 
  \item Si $p=+\infty$, montrer que $f$ est lipschitzienne.
  \item Pour tout \(p\in\sbra{1,+\infty}\), montrer que $W^{1,p}(I) \hookrightarrow L^\infty(I)$ continûment, c'est-à-dire qu'il existe une constante $c>0$ telle que, pour tout $f \in W^{1,p}(I)$, on a $ \in L^\infty(I)$ et
    \[ \norm f_{L^\infty} \leqslant c \norm f_{W^{1,p}} . \]
    \emph{On pourra commencer par le cas $I=\R$ et $f\in \mc C^\infty_c(\R)$, et considérer la fonction $g= f|f|^{p-1}$. Ensuite, démontrer la densité des fonctions \(C^\infty_c\) dans \(W^{1,p}(\R)\) pour conclure lorsque \(I=\R\). Finalement, démontrer qu'on peut étendre les fonctions de \(W^{1,p}(I)\) en des fonctions de \(W^{1,p}(\R)\). } 
  \item Montrer que $W^{1,p}(I)$ est stable par produit.
  \item On suppose que \(I\) est borné, et que \(p\in\osbral{1,+\infty}\). Montrer que l'injection ${W^{1,p}(I) \hookrightarrow C\left(\overline{I}\right)}$ est compacte, c'est-à-dire que tout élément de $W^{1,p}(I)$ est dans $C\left(\overline{I}\right)$, et que de toute suite bornée de $(W^{1,p}(I),\norm._{W^{1,p}})$, on peut extraire une suite convergeant uniformément sur $\overline{I}$ vers une limite dans $C\left(\overline{I}\right)$.
  \item On suppose $I$ non borné. Montrer qu'alors, pour toute fonction \(f\in W^{1,p}(I)\), avec \(p\in\osbrar{1,+\infty}\),
    \[ \lim_{\substack{|x| \to +\infty \\ x \in I}} f(x) = 0 . \]
  \end{enumerate}

  \newpage

\item (\emph{Distributions positives}) Soit $u\in\mathcal{D}'(\Omega)$ une distribution tel que pour tout $\phi\in\mathcal{D}(\Omega)$ positive, $\langle u,\phi \rangle$ est positive. Montrer qu'alors, $u$ est d'ordre $0$, et que l'on peut l'identifier à une mesure de Radon.

\item On note $\arg(z)$ la valeur pricipale de l'argument d'un complexe $z\in\C^*$, \emph{i.e.} l'argument dans $]-\pi,\pi]$. Pour tout $\epsilon\in\R^*$, on définit
\[ f_\epsilon(x) = \ln(x + i\epsilon) = \ln|x+i\epsilon| + i\arg(x+i\epsilon). \]
\begin{enumerate}
\item Calculer $f_{0^+} = \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0^+} f_\epsilon$ et
  $f_{0^-} = \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0^-} f_\epsilon$ dans $\mathcal{D}'(\R)$.
\item Calculer $f_{0^+}'$ et $f_{0^-}'$ au sens des distribution.  \emph{Indication : utiliser la distribution $\vp(1/x)$ définie dans un exercice précédent.}
\item Déduire que dans $\D'(\R)$,
  \[ \lim_{\ee \to 0^+} \frac{1}{x+i\ee} = -i\pi \delta_0 + \vp(1/x)
  \qquad \text{et} \qquad
  \lim_{\ee \to 0^+} \frac{1}{x-i\ee} = i\pi \delta_0 + \vp(1/x) . \]
\end{enumerate}

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\subsection*{Supports et convolution}


\item \label{ex2}
  Soit $T \in \D'(\R^d)$.
  \begin{enumerate}
  \item Rappeler la définition du support de $T$.
  \item Soit $\ff \in \D(\R^d)$, montrer que si $\supp T \cap \supp \ff = \emptyset$ alors $\langle T,\ff \rangle = 0$. La réciproque est-elle vraie ? Est-ce que si $\phi$ s'annule sur le support de $T$, $\langle T,\ff \rangle = 0$ ?
  \item On suppose que $T$ est à support compact et on considère $\psi \in \D(\R^d)$ telle que $\psi = 1$ sur un voisinage de $\supp T$. Montrer que $\psi T = T$.
  \end{enumerate}


\item (\emph{Distribution à support ponctuel}) Montrer que les distributions dont le support est un singleton peuvent s'écrire comme combinaison linéaire des dérivées de la distribution de Dirac en ce point. 


\item
  \begin{enumerate}
  \item Soient $T \in \D'(\R^d)$ et $\ff \in C^{\infty}(\R^d)$. Montrer que si $\supp T \cap \supp \ff$ est compact alors on peut définir $\langle T,\ff \rangle$.
  \item Soient $T,S \in \D'(\R^d)$, on suppose $T$ et $S$ vérifient la condition suivante : pour tout compact $K$ de $\R^d$,
    \[ \left\{ (x,y) \in \R^d \times \R^d \ \Big| \ x \in \supp T, \ y \in \supp S, \ x+y \in K \right\} \]
    est compact. Montrer que dans ce cas, $T*S$ et $S*T$ sont bien définies.
  \end{enumerate}

\item La convolution est-elle associative pour le triplet $1$, $\delta_0'$ et $H$, où $H$ est la fonction de Heaviside définie dans l'exercice \ref{heavi} ? Donner une condition suffisante sur les supports pour que la convolution soit associative.

\item	Calculer les convolutions suivantes :
  \begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
    \item $\delta_a * \delta_b$ sur $\R^d$,
    \item $T * \delta_a$ avec $T \in \D'(\R^d)$, 
    \item $H*H$ (Heaviside),
    \item $(x^p\delta_0^{[q]}) * (x^m \delta_0^{[n]})$,
    \item $\delta_0^{[k]} * (x^mH)$,
    \item $(x^pH)*(x^qH)$,
    \item $\un_{[a,b]} * \un_{[c,d]}$,
    \item $\un_{[0,1]}*(xH)$,
    \item $\delta_{S(0,r)} * |x|^2$ sur $\R^3$.
    \end{enumerate}
  \end{multicols}


\item (\emph{Densité des fonctions lisses dans $\D'(\R^d)$}) Soit $(\rho_n)$ une suite régularisante définie par
  \[\forall x \in \R^d,\quad \rho_n(x)=n^d \rho(-nx),\]
  où $\rho \in \mc C^\infty(\R^d, [0,1])$ est à support dans la boule unité. Montrer que pour toute distribution $T$ dans $\D'(\R^d)$, $T\star \rho_n$ converge vers $T$ au sens des distributions. 

\item (\emph{Régularisation par des polynômes}) Pour $n \in \N^*$, On définit $P_n$ un polynôme sur $\R^d$ par
  $$P_n(x) = \frac{n^d}{\pi^{d/2}}\bigg(1-\frac{\vert x\vert^2}n\bigg)^{n^3}.$$
  \begin{enumerate}
  \item Calculer la limite dans  $\mathcal D'(\R^d)$ de la suite $(P_n)_n$ ?
  \item Déduire que toute distribution à support compact est une limite dans $\mathcal D'(\R^d)$ d'une suite de polynôme.
  \end{enumerate}


\item	On note $\D'_+(\R) = \{ T \in \D'(\R) \ | \ \supp T \subset \R^+ \}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la convolution de deux éléments de $\D'_+(\R)$ est bien définie et donne un élément de $\D'_+(\R)$. \emph{On pourra loucher sur l'exercice \ref{ex2}. Pour la suite de l'exercice, on admet que la convolution est associative et commutative dans $\D'_+(\R)$.} Quel est le neutre de la convolution dans $\D'_+(\R)$ ?
  \item Montrer que pour tout $a \in \R$, pour tout $T,S \in \D'_+(\R)$, on a $(e^{ax}T) * (e^{ax}S) = e^{ax}(T*S)$.
  \item Pour $T \in \D'_+(\R)$, on note $T^{-1}$ l'inverse de $T$ dans $\D'_+(\R)$ pour la convolution lorsqu'il existe. Montrer que $T^{-1}$ est effectivement unique et calculer $(\delta_0')^{-1}$, $(H)^{-1}$ et $(\delta_0'-\lambda\delta_0)^{-1}$ pour $\lambda \in \R$.
  \item Soit $P$ un polynôme scindé sur $\R$, calculer $\pare*{P(\partial)\delta_0}^{-1}$.
  \item Résoudre dans $\D'_+(\R)$ le système suivant
    \[
    \left\{\begin{aligned}
    &\delta_0''*X + \delta_0'*Y = \delta \\
    &\delta_0'*X + \delta_0''*Y = 0.
    \end{aligned}\right.
    \]
  \end{enumerate}
\item	On étudie le comportement de la convergence de distributions avec le produit de convolution.
  \begin{enumerate}
  \item Soient $T \in \mathcal{E}'(\R^d)$, $V \in \D'(\R^d)$ et $(V_n)$ une suite de distributions de $\D'(\R^d)$. Montrer que si $V_n \to V$ dans $\D'(\R^d)$ alors $V_n * T \to V*T$ dans $\D'(\R^d)$.
  \item Soient $T \in \D'(\R^d)$, $V \in \mathcal{E}'(\R^d)$ et $(V_n)$ une suite de distributions de $\mathcal{E}'(\R^d)$. Montrer que si $V_n \to V$ dans $\mathcal{E}'(\R^d)$ alors $V_n * T \to V*T$ dans $\D'(\R^d)$.
  \item Montrer qu'il existe deux suites de distributions $(T_n)$ et $(V_n)$ convergeant vers $0$ dans $\D'(\R)$ et telles que $T_n*V_n \to \delta_0$.
  \end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $d\geq 3$, la solution fondamentale de l'équation de Laplace est
  $$
  u_0(x)=-\frac{1}{d(d-2) \omega_d \abs x^{d-2}},\quad\text{où }\omega_d=\abs{B(0,1)},
  $$
  \emph{i.e.} $\Delta u_0 = \delta_0$ au sens des distributions.
\item Donner la solution de $\Delta u = f$ au sens des distributions avec $f$ dans $\mathcal{E}'(\R^d)$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bibliographystyle{alpha}
{\footnotesize
%\printbibliography}
\bibliography{biblio_agreg}}

\end{document}
