\documentclass[a4paper,8pt]{article}
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\newcounter{TD}								% num\'ero du TD
\def \sujet {sujet du TD}
\newcounter{Num}								% cr\'eation d'un compteur qui se r\'e-initialise
\newcommand{\npage}[1]{
	\newpage \setcounter{Num}{0} \addtocounter{TD}{1}
	\def \sujet {#1}
	}

%\theoremstyle{break}
%\theorembodyfont{\upshape}			% exercice num\'erot\'e par le compteur avec police non-italique
\newtheoremstyle{plain}				% style "plain"
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	{\upshape}						% police contenu
	{}								% indentation
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	{.}								% ponctuation après le titre du th\'eorème
	{ }								% espace après le titre du th\'eorème
	{}								% sp\'ecification du titre
\newtheorem{ex}[Num]{Exercise}

\newcommand{\od}{\partial{}}		%	"d" rond (d\'eriv\'ee partielle et frontière)
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}		%	"d" droit (d\'eriv\'ee totale et int\'egrale)
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}		%	"R^n" canonique
\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}		%	N des entiers
\newcommand{\m}[1]{\mathbbm{#1}}
\newcommand{\TT}{\mathbb{T}}		%   le tore T
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}		%   les entiers relatifs Z
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}		%   corps des complexes
\newcommand{\DD}{\mathcal{D}}		%	D des distributions
\newcommand{\tendf}{\rightharpoonup}
\newcommand{\un}{\mathbbm{1}}		%	"1" indicatrice d'ensemble
\newcommand{\ee}{\varepsilon}		%	epsilon canonique
\newcommand{\ff}{\varphi}
\renewcommand{\vec}{\vv}
\DeclareMathOperator*{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\vp}{p.v.}
\DeclareMathOperator{\pf}{fp}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}


\pagestyle{fancy}							% En-tête et pieds de page
\fancyhead[L]{Prépa agreg\\2023--2024\vspace{1em}}
\fancyhead[C]{Evn, Baire et Banach.}
\fancyhead[R]{ENS de Lyon \vspace{1em} }
\fancyfoot[C]{}

\begin{document}
\begin{enumerate}
	
	\section*{Espaces vectoriels normés et applications linéaires continues}
	
	
	
%\item Soit $n\geq 1$, $p>1$, et $p^\star$ tel que $1/p + 1/p^\star = 1$. Montrer qu'il existe $c_n$ tel que pour tout $P=\sum a_i X^i$ dans $\RR_n[X]$,
%\[\int_{\RR} \frac{P(t)}{(1+t^{4n})^{p^\star}} dt \leq c_n \left(\sum_{i=0}^n |a_i|^p\right)^{1/p}.\]

\item Sur $\RR[X]$, comparer les deux normes suivantes : $\|\cdot\|_\infty$ (plus grand coefficient en module) et $\|P\|_h= \sum |a_k|/(1+k)$ (norme OK?).

\item Soit $E=\left(\mathcal{C}([0,1],\RR),\|\cdot\|_\infty\right)$. Est-ce que l'application $\phi:E\to \RR$ définie par $\phi(f)= \int^{1/2}_0 f - \int^1_{1/2} f$ est continue ? Si oui, est-ce que sa norme est atteinte ? Quid si $E = \left(L^\infty([0,1],\RR),\|\cdot\|_\infty\right)$ ?

$(\star)$ \emph{Pour aller plus loin :} en déduire que $\left(\mathcal{C}([0,1],\RR),\|\cdot\|_\infty\right)$ n'est pas réflexif.

\item Soit $p,q \in [1,+\infty]$ tels que $p<q$.
\begin{enumerate}
	\item On définit 
	\[ \ell^p = \left\{ (x_n)_n \in \RR^\NN \ \Big| \ \sum_{n=0}^{+\infty} |x_n|^p < +\infty  \right\} , \]
	muni de la norme $\|(x_n)\|_p = \left( \sum |x_n|^p \right)^\frac{1}{p}$. Y a-t-il une inclusion entre $\ell^p$ et $\ell^q$ ? Si oui, est-ce que l'injection est continue ?
	\item Soit $\mu$ une mesure finie sur un espace $X$. Y a-t-il une inclusion entre $L^p(X,\mu)$ et $L^q(X,\mu)$ ? Si oui, est-ce que l'injection est continue ?
\end{enumerate} 

%\item \emph{Un théorème de Hörmander.} 
%Un opérateur borné $T:(L^p(\RR^n),\|\cdot\|_p) \to (L^q(\RR^n),\|\cdot\|_q)$ est dit \emph{invariant par translation} s'il commute avec les translations:
%$\tau_h T = T \tau_h$ pour tout $h$ dans $\RR^n$.
%Le but de cet exercice est de montrer le résultat suivant :\emph{ si $q<p<\infty$, un opérateur $T:L^p \to L^q$ borné et invariant par translation est nécessairement trivial.}
%\begin{enumerate}
%	\item Soit $u$ dans $L^p$. Montrer que $\|u+\tau_h u\|_p \to 2^{1/p} \|u\|_p$ quand $\|h\|\to \infty$.		
%	\emph{Indice : on peut écrire $u$ comme la somme d'une fonction à support compact et d'une fonction de norme $L^p$ arbitrairement petite.}
%	\item Montrer que si $C$ est une constante de continuité pour $T: L^p \to L^q$, et $T$ est invariant par translation, alors $2^{1/p - 1/q}C$ est aussi une constante de continuité. Conclusion ?
%	\item Connaissez-vous un exemple d'opérateur borné invariant par translation pour $p\leq q$ ?? (pensez : \emph{inégalité de Young pour la convolution})
%\end{enumerate}

\item Soit $\Omega$ un ouvert de $\RR^d$. Pour tout $\alpha>0$ et toute fonction $f : \Omega \to \RR$, on définit
	\[ |f|_\alpha = \sup_{\substack{x,y \in \Omega\\ x \neq y}} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha} . \]
	On considère ensuite l'espace de Hölder
	$C^{0,\alpha}(\Omega) = \Big\{ f \in C^0(\Omega) \ | \ |f|_\alpha + ||f||_\infty < + \infty \Big\}$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f \in C^{0,\alpha}(\Omega)$, montrer que $f$ se prolonge de manière unique en une fonction $\overline{f}$ continue sur $\overline{\Omega}$ et que $\overline{f} \in C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que si $\alpha < \alpha'$ alors $C^{0,\alpha'}(\Omega) \subset C^{0,\alpha}(\Omega)$.
			\item On suppose de plus que $\Omega$ est convexe. Montrer que si $f \in C^1(\Omega)$ et $Df$ est borné alors $f \in C^{0,\alpha}(\Omega)$ pour tout $\alpha<1$.
			\item Montrer que si $\alpha > 1$ alors $C^{0,\alpha}(\Omega)$ est constitué de fonctions localement constantes.
		\end{enumerate}
		\item On note $||.||_{C^{0,\alpha}} = |.|_\alpha + ||.||_\infty$. Montrer que $(C^{0,\alpha}(\Omega),||.||_{C^{0,\alpha}})$ est un espace de Banach.
		\item On suppose que $\Omega$ est borné. Montrer que l'injection $(C^{0,\alpha}(\Omega),||.||_{C^{0,\alpha}}) \hookrightarrow (C^0(\overline{\Omega}),||.||_\infty)$ est compacte (c'est-à-dire que de toute suite bornée pour $||.||_{C^{0,\alpha}}$, on peut extraire une sous-suite convergente pour $||.||_\infty$).
	\end{enumerate} 

\item Soit $A \in M_n(\RR)$. 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $R=\sup_{\|x\|=1} \|Ax\|$ et $\rho=\inf_{\|x\|=1} \|Ax\|$ sont atteints. 
	\item Soient $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ les valeurs propres complexes de $A$. Est-ce que $R=\max |\lambda_i|$ et $\rho=\min |\lambda_i|$ ?
%	\item Donner une condition suffisante (intéressante) pour que la suite définie par $X_{k+1}=A X_k$ converge, pour un $X_0$ donné dans $\RR^n$.
	\item Si $A$ est symétrique, montrer en considérant le problème d'optimisation sous contrainte 
	$\sup_{\|x\|^2=1} \,^txAx$ que $A$ admet une valeur propre réelle. En déduire qu'une matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée. 
\end{enumerate}	


\item \emph{Théorème de Riesz.}
\begin{enumerate}	
	\item Montrer que les normes sont équivalentes en dimension finie. \emph{Indice : montrer que les compacts pour $\|\cdot\|_\infty$ sont les fermés bornés.} 
	\item Soit $E$ un evn et $M\subset E$ un sev fermé différent de $E$. Montrer que pour tout $\epsilon>0$, il existe $u \in E$ de norme $1$ tel que $d(u,M)\geq 1-\epsilon$.
	\item En déduire que si $E$ est de dimension infinie, sa boule unité fermée n'est pas compacte. \emph{Un sous-espace vectoriel de dimension finie est fermé, OK ?}
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Baire et quelques conséquences}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'un espace métrique complet $X$ vérifie la \emph{propriété de Baire} : toute intersection dénombrable d'ouverts denses dans $X$ est dense dans $X$.
\item Montrer qu'un espace vectoriel normé admettant une base infinie dénombrable n'est pas complet.
\item Montrer qu'il n'existe pas de partition dénombrable de $[0,1]$ avec des fermés non vides.
\item Montrons que l'ensemble des fonctions continues et nulle part dérivables est dense dans $\left(\mathcal{C}^0([0,1],\RR),\|\cdot\|_\infty\right)$:
\begin{enumerate}
	\item On définit pour chaque $n$ l'ensemble 
	\[F_n= \left\{f \in \mathcal{C}^0([0,1],\RR), \exists x \in [0,1], \forall y \in [0,1], |f(x)-f(y)|\leq n|x-y| \right\}.\]
	Montrer que $F_n$ est un fermé d'intérieur vide.
	\item Montrer que si $f$ est dérivable en un point, elle appartient à un $F_n$. Conclure.
\end{enumerate}
\item Soit $f\in\mathcal{C}^\infty(R)$ tel que pour tout point $x$, il existe un entier $k$ vérifiant $f^{(k)}(x)=0$ Monter que $f$ est un polynôme.
\item Savez-vous montrer qu'il n'existe aucune fonction de $\RR$ dans $\RR$ dont les points de continuité sont exactement les rationnels ?
\end{enumerate}
\section*{Théorèmes de Banach}

\item Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach. Soit $(T_n)$ une suite d'applications linéaires continues de $E$ dans $F$ telle que, pour tout $x \in E$, $(T_nx)$ converge vers une limite notée $Tx$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $x \mapsto Tx$ est linéaire.
	\item Montrer que $\displaystyle \sup_n ||T_n|| < +\infty$. En déduire que $T$ est continue.
	\item Montrer que \[ ||T|| \leqslant \liminf_{n \to +\infty} ||T_n|| . \]
\end{enumerate}


\item \emph{Application ouverte}
\begin{enumerate}
	\item Énoncer le théorème de l'application ouverte.
	\item En déduire que si $E$ et $F$ sont deux Banach et si $T: E\to F$ est une application linéaire bijective et continue, sa réciproque est continue. 
	\item Soit $E$ un espace vectoriel muni de deux normes $||.||_1$ et $||.||_2$ telles que $(E,||.||_1)$ et $(E,||.||_2)$ soit des espaces de Banach. Montrer que s'il existe $C>0$ telle que
	\[ \forall x \in E, \quad ||x||_1 \leqslant C||x||_2, \]
	alors les deux normes $||.||_1$ et $||.||_2$ sont équivalentes. 
\end{enumerate}


\item \emph{Autour du graphe fermé.} On considère $T: \begin{array}{ccc}
 \left(L^2\left([0,1],\RR\right),\|\cdot\|_{L^1}\right) & \to & \left(L^2\left([0,1],\RR\right),\|\cdot\|_{L^2}\right) \\
 f & \mapsto & f
\end{array}$.
\begin{enumerate}
	\item Vérifier que $\|\cdot\|_{L^1}$ est une norme sur $L^2\left([0,1],\RR\right)$.
	\item Montrer que le graphe de $T$ est fermé.
	\item Montrer que $T$ n'est pas continu.
	\item Est-ce que $(L^2,\|\cdot\|_{L^1})$ est complet ?
	\end{enumerate}

\item \emph{Avec Banach-Steinhaus et Ascoli uniforme.} \\ Soit $E=\left(\mathcal{C}([0,1],\RR),\|\cdot\|_\infty\right)$. On va montrer le résultat suivant : \emph{si $F$ est un sev fermé de $E$ tel que tout élément de $F$ est dérivable, alors $F$ est de dimension finie.}
\begin{enumerate}
	\item Si $x_0\in[0,1]$ est fixé, on définit $T_y : \begin{array}{ccc}
	E & \to & \RR \\
	f & \mapsto & \frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0}
	\end{array}$. Montrer qu'il existe $M>0$ tel que
	\[\forall f \in F,\quad \forall y\in [0,1]\setminus\{x_0\}, \quad \quad |T_y(f)|\leq M \|f\|_\infty. \]
	\item Montrer que pour tout $x_0\in[0,1]$, la boule unité fermée de $F$ forme une famille équicontinue en $x_0$.
	\item Montrer que la boule unité fermée de $F$ est une partie compacte de $F$ et conclure.
\end{enumerate}

\end{enumerate}




\end{document}