Jolies Images

English version

Voici quelques simulations de cartes aléatoires que j'ai réalisées. Cliquer sur les images pour obtenir une meilleure définition. Toutes les cartes ont été simulées en C en utilisant des flips (voir l'introduction de cet article pour plus de détails).

Empilements de cercles

Les images qui suivent représentent l'empilement de cercles (ou une partie de celui-ci) associé à une triangulation uniforme d'un 150-gone avec 3000 sommets internes. Ces images ont été réalisées à l'aide du logiciel CirclePack de Ken Stephenson. À titre d'exemple, voici le fichier .p correspondant à la première. Pour visualiser ce fichier dans CirclePack, il faut l'ouvrir puis entrer la commande max_pack;Disp -cf; puis si besoin entrer repack;fix;disp -wr; jusqu'à ce que les cercles soient en position satisfaisante.

Distances de graphe

Bord — À gauche, les couleurs représentent la distance (de graphe) au bord. À droite, elles représentent la distance à un point au centre.

Centre — À gauche, les couleurs représentent la distance (de graphe) au bord. À droite, elles représentent la distance à un point au centre.

Zoom

Percolation

Perco1 — Ici, on a effectué une percolation de paramètre 1/2 sur la triangulation : chaque sommet est colorié en bleu ou en rouge avec probabilité 1/2. À droite, la condtion au bord est de type "rouge-bleu-rouge-bleu", et il existe un chemin rouge reliant les deux segments rouges du bord.

Perco2 — Ici, on a effectué une percolation de paramètre 1/2 sur la triangulation : chaque sommet est colorié en bleu ou en rouge avec probabilité 1/2. À droite, la condtion au bord est de type "rouge-bleu-rouge-bleu", et il existe un chemin rouge reliant les deux segments rouges du bord.

Marche aléatoire

SRW — En orange, la trace d'une marche aléatoire simple, démarrée à la racine et stoppée quand elle tape le bord.

Triangulations causales

Causal1 — Ces trois images représentent des triangulations causales, c'est-à-dire obtenues à partir d'un arbre en reliant entre eux des sommets de la même génération ou de générations voisines. Les trois triangulations ont été obtenues à partir d'arbres de Galton-Watson conditionnés à survivre. À gauche, la loi de reproduction est une loi géométrique de paramètre 1/2. Au centre, c'est une loi critique à queue lourde, dans le domaine d'attraction d'une loi stable d'indice 3/2 (plus précisément, la c'est loi de reproduction qui intervient dans la décomposition de Krikun de l'UIPT). À droite, c'est une loi géométrique surcritique. Les hauteurs des arbres valent respectivement 30, 15 et 12, et les nombres de sommets 1497, 6674 et 2028.

Causal2 — Ces trois images représentent des triangulations causales, c'est-à-dire obtenues à partir d'un arbre en reliant entre eux des sommets de la même génération ou de générations voisines. Les trois triangulations ont été obtenues à partir d'arbres de Galton-Watson conditionnés à survivre. À gauche, la loi de reproduction est une loi géométrique de paramètre 1/2. Au centre, c'est une loi critique à queue lourde, dans le domaine d'attraction d'une loi stable d'indice 3/2 (plus précisément, la c'est loi de reproduction qui intervient dans la décomposition de Krikun de l'UIPT). À droite, c'est une loi géométrique surcritique. Les hauteurs des arbres valent respectivement 30, 15 et 12, et les nombres de sommets 1497, 6674 et 2028.

Plongements en 3d

Ces images représentent des triangulations uniformes de la sphère à 10 000 sommets pour les deux premières et entre 30 000 et 40 000 pour les autres. Les plongements ont été calculés à l'aide de la fonction GraphPlot3D de Mathematica.

Liens

Pour plus de simulations de cartes et d'autres objets géométriques aléatoires, vous pouvez visiter les pages de Jérémie Bettinelli, Timothy Budd, Nicolas Curien, Igor Kortchemski et Jason Miller.