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\numberwithin{equation}{section} % numerotation des equations par section

\title{LP 22 -- Rétroaction et oscillations}
\date{\today}
\begin{document}

\titre{Antoine Chauchat}{Valentin Dorel}
{%citation
}{%auteur de la citation
}

\subsection*{Niveau~: L2}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.4\linewidth} @{$\longrightarrow$ }p{0.45\linewidth}}
    \textit{Précis Bréal Électronique PSI}  , \textbf{Brenders}         &  gros de la leçon                 \\
    \textit{HPrépa Électronique I}          , \textbf{Brebec}           &  gros de la leçon et PLL          \\
    \textit{Expériences d'électronique}     , \textbf{Duffait}          &  rapidité vs temps de réponse     \\
    \textit{Électronique expérimentale}     , \textbf{Krob}             &  oscillateur de Wien              \\
    \textit{Optique}                        , \textbf{Houard}           &  explictaions sur le laser He-Ne  \\
    \textit{LP 22 2018}                     , \textbf{Mangeolle, Rose}  & Le sang
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}%[label=\ding{226}]
 \item Filtres linéaires
 \item Notations de Laplace
 \item Amplificateur opérationnel
 \item Interféromètre de Fabry-Pérot
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item Naissance des oscillations dans l'oscillateur à pont de Wien
	\item Rôle des non-linéarités dans l'oscillateur à pont de Wien
	\end{itemize}
\end{minipage}

\tableofcontents
\pagebreak


\section*{Introduction}
    En électronique on a étudié que des circuits linéaires, comme les filtres, dont la sortie dépend de l'entrée par une équation différentielle linéaire. En notation de Laplace on les décrit par une fonction de transfert $H(p) = \frac{s(p)}{e(p)}$

    À une entrée donnée on peut connaître l'unique sortie si l'on connaît parfaitement $H(p)$.
    
    Pour une voiture par exemple, la fonction de transfert qui à une certaine puissance fournie par le moteur associe la vitesse de rotation des roues dépend de nombreux paramètres comme la pente ou le nombre de passagers. En utilisant une boucle de rétroaction on peut \emph{asservir} le système et s'assurer que la sortie est conforme à une consigne.
    
    Un tel système est le régulateur de vitesse, qui est constitué d'un capteur tachymétrique qui mesure la vitesse de rotation des roues pour ajuster la puissance du moteur afin de stabiliser la vitesse
    
\section{Systèmes bouclés linéaires}
    \subsection{Fonction de transfert}
        Un système bouclé comporte d'abord une chaîne directe qui donne la sortie en fonction de l'entrée. Cette sortie est récupérée et traverse la boucle de retour pour être comparée à l'entrée (les signes + et - sur la figure \ref{fig:syb} indiquent bien qu'il s'agit d'un comparateur). La différence entre les deux est appelée l'erreur.
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=0.6\textwidth]{sybouc.pdf}
            \caption{Schéma d'un système bouclé}
            \label{fig:syb}
        \end{figure}
        
        Notons que la présence du - est juste une convention, on peut toujours mettre un - dans la boucle de rétroaction et avoir un additionneur.
        
        Dans l'idée, si la sortie est trop grande (par rapport à nos attentes fixées par $A$ et $B$) la boucle de retour induira une grande rétroaction négative ainsi la sortie finira par se stabiliser à une valeur inférieure.
        
        Il faut bien noter que c'est un raisonnement avec les mains et qu'en ARQS la sortie ne revient pas modifier l'entrée, tout se fait instantanément. 
        
        On s'attend toujours à avoir un système linéaire même si il est bouclé ainsi on devrait pouvoir le modéliser par une simple fonction de transfert $H(p)$ pour pouvoir considérer dans la suite ce système comme une boîte noire. Et en effet on peut écrire~:
        
        \begin{equation}
            s(p) = A(p) \varepsilon(p) = A(p)[e(p)-B(p)s(p)]
        \end{equation}
        
        \begin{equation}
            s(p) = \dfrac{A(p)}{1+A(p)B(p)}e(p)
        \end{equation}
        
        On en déduit la fonction de transfert du système bouclé~: 
        
        \begin{equation}
            H_{\text{BF}} (p) = \dfrac{A(p)}{1+A(p)B(p)} = \dfrac{A(p)}{1+H_{\text{BO}}(p)}
        \end{equation}
        
        La fonction de transfert en boucle fermée peut donc s'exprimer en fonction de celle en boucle ouverte $H_{\text{BO}}$. Dans la limite où le retour est petit cette expression montre que le système bouclé se comporte comme le système sans boucle de retour ($H(p) = A(p)$), avec une correction $(1+AB)^{-1}$ apportée par la boucle de retour.
        
        \transition{Maintenant que nous avons vu ces considération théoriques regardons un cas concret, l'amplificateur non inverseur.}
        
    \subsection{Exemple~: l'amplificateur non inverseur}
        L'amplificateur non inverseur est le système électronique suivant~:
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ani.png}
            \caption{Schéma de l'amplificateur non inverseur}
            \label{ani}
        \end{figure}

        Rappelons qu'en fonctionnement dynamique la réponse de l'amplificateur opérationnel est~:
        \begin{equation}
            s(p) = \dfrac{\mu}{1+\frac{p}{\omega_{\text{AO}}}}(e_+ (p) - e_- (p))
        \end{equation}
        On remarque ainsi que l'AO se comporte comme un comparateur suivi d'un filtre passe bas du premier ordre de pulsation de coupure $\omega_{\text{AO}}$ et de gain statique $\mu$.
        
        \textbf{OdG~:} $\mu = 2.10^5$ et $\omega_{\text{AO}} = \SI{50}{rad \per \second}$ soit $f_{\text{AO}} = \SI{8}{Hz}$.
        
        Revenons à notre système bouclé. On pourrait essayer de calculer la sortie en fonction de l'entrée à l'aide de plusieurs théorèmes de Millman mais il y a plus astucieux. L'amplificateur non inverseur est un système bouclé avec un comparateur suivi d'une chaîne directe (l'AO) et muni d'une chaîne de retour qui est un pont diviseur de tension. On a donc~:
        
        \begin{equation}
        A(p) = \dfrac{\mu}{1+\frac{p}{\omega_{\text{AO}}}}; B(p) = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}
        \end{equation}
        
        À ce stade on peut donc affirmer qu'il s'agit bien d'un système à rétroaction négative qui peut être donc vu comme un système asservi. On va donc calculer la fonction de transfert du système.
        
        On a~:
        \begin{equation}
        H(p) = \dfrac{A(p)}{1+A(p)B(p)} = \dfrac{\dfrac{\mu}{1+\frac{p}{\omega_{\text{AO}}}}}{1+ \dfrac{\mu}{1+\frac{p}{\omega_{\text{AO}}}}\times \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}} = \dfrac{\mu}{{1+\dfrac{p}{\omega_{\text{AO}}}} + \dfrac{\mu R_1}{R_1 + R_2}}
        \end{equation}
        
        En posant $H_0= \dfrac{\mu}{1+ \frac{\mu R_1}{R_1 + R_2}}$ et $\omega_0 = \omega_{\text{AO}}\qty(1+\dfrac{\mu R_1}{R_1 + R_2})$ on obtient~:
        \important{
        \begin{equation}
        H(p) = \dfrac{H_0}{1+ \frac{p}{\omega_0}}
        \end{equation}}
        
        On remarque que la fonction de transfert est très similaire à celle du cas non bouclé. C'est toujours un filtre passe bas d'ordre 1, mais avec des caractéristiques différentes.
        
        \transition{Voyons maintenant quelles conséquences a la rétroaction sur l'exemple de l'amplificateur non inverseur et plus généralement sur n'importe quel système bouclé.}
        
\section{Conséquences de la rétroaction}
    \subsection{Gain et bande passante}
        Remarquons pour commencer que nous sommes dans le cas d'un système bouclé avec un grand gain en chaîne directe $\mu = 10^5$ ainsi tant que $\mu \gg 1/\abs{B}$ on peut écrire en toute généralité~:
        \begin{equation}
        H(p) = \dfrac{A(p)}{1+A(p)B(p)} \simeq \dfrac{1}{B(p)}
        \end{equation}
        
        Ainsi le gain du système bouclé ne dépend presque plus que de la boucle de retour. Comme le but d'un amplificateur non inverseur est généralement d'amplifier on prendre $B(p) = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2} < 1$.
        
        \textbf{OdG~:} on prendra typiquement $R_1 =\SI{1}{k\ohm}$ et $R_2 =\SI{100}{k\ohm}$ ainsi on aura $B(p) \simeq 1/100$ et $H(p) \simeq 100$, on a bien un amplificateur (et on a bien $\mu \abs{B} \gg 1$).
        
        On aurait pu avoir cette discussion sans avoir calculé $H(p)$ qui nous donne tout de même des informations comme le comportement passe bas.
        
        Concernant le gain, on a déjà tout dit~:
        \begin{equation}
        H_0 \simeq \dfrac{R_1 + R_2}{R_1} \simeq 100
        \end{equation}
        Ainsi la rétroaction a fortement diminué le gain, d'un facteur proche de 2000 ! Par contre, dans le même temps la fréquence de coupure a été multipliée du même facteur~:
        
        \textbf{OdG~:} $\omega_{0} = \SI{1e5}{rad \per \second}$ soit $f_{0} = \SI{16}{kHz}$
        
        Ainsi la rétroaction permet d'augmenter la bande passante (ce qui est généralement une bonne chose), au prix d'une diminution du gain du même facteur (on parle de conservation du produit gain-bande).
    \subsection{Réponse dynamique}
    
        Quelle influence a la rétroaction sur la réponse dynamique~? Considérons donc la réponse à un échelon.
        
        Le temps de réponse est donné par $\tau = \frac{1}{\omega_0}$ pour les systèmes d'ordre 1. Il est donc grandement réduit par la rétroaction, elle accroît la rapidité du système.
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics{echelon_ordre_1}
            \caption{Réponse à échelon pour un système d'ordre 1.}
            \label{fig:ech1}
        \end{figure}
        
        Le contrecoup de cette rapidité qui apparaît avec les systèmes d'ordre 2 c'est le dépassement, d'autant plus grand que la réponse est rapide qui peut poser des problèmes en ingénierie (usure, casse). Quant au régulateur de vitesse, on veut passer de \SI{60}{\kilo\metre\per\hour} à \SI{80}{\kilo\metre\per\hour} sans passer par un pic à \SI{100}{\kilo\metre\per\hour}.
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics{echelon_depassement.pdf}
            \caption{Réponse à un échelon avec dépassement}
            \label{fig:ech2}
        \end{figure}
        
    \subsection{Sensibilité aux fluctuations}
        
        Supposons que la fonction $A(p)$ fluctue beaucoup au cours du temps (la route monte puis descend alternativement par exemple), à puissance du moteur constante, la vitesse des roues pourra prendre des valeurs très diverses. Est-ce-que ces fluctuations vont affecter la vitesse du véhicule ou l'asservissement est-il suffisamment performant~?
        
        Si $A(p)$ fluctue de $\Delta A$, et que la chaîne de retour ne fluctue pas alors
        
        \begin{equation}
            \frac{\Delta H}{H} = \frac{\Delta A (1+AB) - AB \Delta A}{(1+AB)^2}\frac{1+AB}{A} = \frac{\Delta A}{A}\frac{1}{1+AB}
        \end{equation}
        
        Par rapport à la chaîne directe sans asservissement, les fluctuations sont atténuées d'un facteur $1+AB$, généralement grand, pour l'amplificateur non inverseur c'est toujours le facteur 2000. Ainsi pour $\Delta A / A = 1$ (énorme), $\Delta H / H = \SI{0.05}{\percent}$.

\section{Oscillateurs quasi-sinusoïdaux}
    \subsection{Stabilité d'un système bouclé linéaire}
        On prend la convention de la rétroaction positive qui correspond au schéma suivant~:
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics{retro_pos}
            \caption{Schéma de boucle à rétroaction positive}
            \label{fig:my_label}
        \end{figure}
        
        On rappelle que ce n'est qu'une convention car $B(p)$ pourrait absorber le -.
        
        La fonction de transfert est alors
        
        \begin{equation}
         H(p) = \frac{A(p)}{1-A(p)B(p)}
        \end{equation}
        
        L'équation, en notation de Laplace qui gouverne l'évolution du système est alors~:
        
        \begin{equation}
        \qty(1-A(p))B(p)s(p) = A(p)e(p)
        \end{equation}
        
        Que se passe-t-il quand on ne met pas d'entrée $(e=0)$~? Le système est-il stable~? Les petits fluctuations, inévitables, vont-elles s'atténuer ou s'amplifier, conduisant à une divergence de la sortie~?
        
        Pour $e=0$ on peut résoudre l'équation différentielle par
        
        \begin{equation}
         s(t) = \sum_{i=1}^N a_i \exp{p_i t}
        \end{equation}
        
        où les $p_i$ sont les racines de $1-A(p)B(p)$.
        
        Les modes instables sont ceux pour lesquels $\Re{p_i} > 0$. 
    \subsection{Condition de Barkhausen}
    
        Le critère de Barkhausen va nous permettre de dire à partir de quel moment on passe d'une situation stable à une situation instable, c'est-à-dire de partie réelle négative à positive. On cherche donce des racines de partie réelle nulle à $1-A(p)B(p)$, c'est à dire des racines du type $p=j\omega$~: comme c'est pratique, on revient à la notation réelle. La condition de Barkhausen s'énonce donc ainsi
        
        \begin{equation}
        A(j\omega)B(j\omega) = 1
        \end{equation}
        
        C'est une condition sur des nombres complexes qui porte donc deux information, une sur le module et une sur la phase.
        
        Comme 
        
        \begin{equation}
        H = \frac{1}{1-AB} = A\sum_{k=0}^\infty (AB)^k,
        \end{equation}
        
        on interprète ça en terme d'amplification le long d'un tour de boucle (pour le module) et d'interférences constructives (pour la phase), en se souvenant du Fabry-Pérot.
        
        On peut alors faire l'analogie avec le laser Helium-Néon tirée du Houard. On détaille ce qui joue le rôle d'amplification/atténuation, où intervient l'interférence constructive, etc.
        
        \transition{Appliquons toutes ces considérations théoriques à un système réel, l'oscillateur à pont de Wien}
        
    \subsection{Exemple~: l'oscillateur à pont de Wien}
        
        La fonction de transfert est avec $\omega_0 = \frac{1}{RC}$, dans le Krob la convention de signe est spéciale,
        
        \begin{equation}
            AB(j\omega) = \frac{\frac{1+\frac{R_2}{R_1}}{3}}{1+j\qty(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})/3}
        \end{equation}
        
        La condition de Barkhausen est alors $\omega=\omega_0$. On s'attend à une sinusoïde parfaite en sortie, à la fréquence $\omega_0$, à condition que le module vaille $1$, ce qui revient à $R_2 = 2 R_1$.
        
        \manip{Naissance des oscillations}{
            On s'est placé à $R_2 \leq 2 R_1$ avec une boite à décade (avec des boutons qui tournent ça permet en faisant tourner juste un peu le bon bouton de voir apparaître les oscillations). On règle l'oscilloscope en mode single en faisant tous les réglages (trigger, échelle horizontale) au préalable pour que cette étape soit rapide et démonstrative, on voit apparaître les oscillations et c'est joli.
        }
        
        On voit à droite de l'écran que l'AO sature. C'est important car ce sont les non-linéarités qui permettent d'enrichir le signal en relâchant la condition de Barkhausen. Ce qui compte d'après le critère de Nyquist c'est d'avoir $R_2 > 2 R_1$, en gros on veut une bonne amplification qui ne concerne pas juste $\omega_0$ mais aussi d'autres fréquences.
        
        \manip{Rôle des non-linéarités}{
        On refait l'expérience en dépassant plus franchement $2R_1$, on observe un e distorsion du régime permanent. On constate que la croissance des oscillations est beaucoup plus rapide, c'est lié au fait que plus $R_2$ dépasse $2R_1$ plus la partie réelle des racines de $AB - 1$ est grande dans les positifs et plus la divergence est rapide dans le régime transitoire.
        
        }

\section*{Conclusion}
    On a vu dans cette leçon deux applications très différentes des systèmes bouclés~: pour l'asservissement à l'aide de rétroactions négatives et pour au contraire fabriquer des oscillateurs à l'aide de rétroactions positives. Une application dont on n'a pas parlé est la boucle à verrouillage de phase qui ne rétroagit pas sur l'amplitude mais sur la phase. C'est une rétroaction non linéaire.

\section{Questions et commentaires}
\subsection{Questions}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\subsection{Commentaires}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\end{document}