\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\DeclareMathOperator{\TF}{TF}

\title{LP 23 -- Aspects analogiques et numériques du traitement du signal. Étude spectrale}
\date{\today}
\begin{document}

\titre{Antoine Chauchat}{Valentin Dorel}
{%citation
}{%auteur de la citation
}

\subsection*{Niveau~: L3}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.4\linewidth} @{$\longrightarrow$ }p{0.45\linewidth}}
\textit{anciennes leçons}, \textbf{Des gens cools}  &  
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}

\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}%[label=\ding{226}]
	\item Électrocinétique
	\item Optique ondulatoire
	\item Effet Doppler
	\item Séries de Fourier
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
        \item Diagramme de Bode du RC par la réponse impulsionnelle
        \item Détermination d'une vitesse par effet Doppler
	\end{itemize}
\end{minipage}

\tableofcontents
\pagebreak


\section*{Introduction}
La problématique de traitement du signal est omniprésente en physique expérimentale. Que ce soit pour transmettre et recevoir de l'information ou bien extraire une grandeur physique d'une expérience, il est nécessaire de traiter le signal brut produit par le système physique. Aujourd'hui le traitement du signal peut se faire par deux voies complémentaires~: la voie analogique et la voie numérique. On va voir que pour les caractériser et les manipuler, leur spectre est un élément clef.

\section{Contenu spectral et acquisition numérique d'un signal}
    \subsection{Formalisme de Fourier}
        Les séries de Fourier, que vous connaissez, permettent une étude des signaux périodiques ou périodisables. On décompose un signal sur la base des fonctions trigonométriques, on fait apparaître le spectre du signal comme caractéristique du signal. Rappelons les formules de décompositions en séries de Fourier
        
        \newcommand{\fn}{\frac{2\pi n}{T}}
        \begin{align*}
            f(t) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\qty(a_n\cos(\fn t)+b_n\sin(\fn t)) \\
            a_n &= \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(\fn t)\dd{t} \\
            b_n &= \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(\fn t)\dd{t}
        \end{align*}
        
        On peut alors représenter des signaux usuels et leur représentation spectrale. Remarquons que l'information contenue dans le spectre est équivalente à celle contenue dans le signal.
        
        \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=.6\textwidth]{signaux_usuels}
        \caption{Signaux usuels et leur spectre}
        \label{fig:sig_us}
        \end{figure}
        
        La décomposition en série de Fourier ne s'appliquant qu'aux signaux périodiques il faut la généraliser pour des signaux non périodiques grâce à la notion de transformée de Fourier. Pour un signal intégrable $f(t)$ on définit sa transformée de Fourier $\tilde{f}(\nu)$~:
        
        \begin{equation}
            \tilde{f}(\nu) = \int_{-\infty}^\infty f(t) \exp{-2i\pi\nu t}\dd{t}
        \end{equation}
        
        \paragraph{Propriétés mathématiques}
        Pour un signal périodique, les notions de série et de transformées de Fourier se confondent . Ainsi un signal périodique a une transformée de Fourier discrète, et de manière symétrique un signal discret a une transformée de Fourier périodique.
        
        La transformée de Fourier d'un produit de convolution est le produit des transformées de Fourier et inversement.
        
        La transformée de Fourier d'un sinus est la somme de deux delta de Dirac à $-\nu$ et $\nu$.
        
        \transition{Si l'on souhaite étudier le spectre du signal se pose alors la question du calcul de la transformée de Fourier. Faut il le faire analogiquement, avant acquisition, ou numériquement et dans ce cas là il faut acquérir le signal.}
    
    \subsection{Acquisition d'un signal}
    
        La mémoire des système informatiques étant finie, et leur temps de réponse également, il faut nécessairement échantillonner un signal avant de pouvoir l'acquérir, c'est-à-dire choisir des instants discrets auxquels on acquiert le signal mesuré. Le temps de réponse limite la fréquence d'échantillonage que l'on peut choisir, la question qui se pose est alors comment choisir sa fréquence d'échantillonage.
        
        Pour pouvoir reconstruire le signal à partir du signal échantillonné, il faut prendre des points assez rapprochés pour pouvoir rendre compte des variations du signal. Une fois la fréquence d'échantillonage fixée les fréquences supérieures ne pourront pas être prises en compte.
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics{echantillonage}
            \caption{Échantillonage insuffisant d'un signal}
            \label{fig:echant}
        \end{figure}
        
        Supposons que le signal $s$à acquérir possède des composantes spectrales uniquement jusqu'à une fréquence $f_{\text{max}}$. Le signal d'acquisition $p$ est un créneau de largeur $\tau$ et de fréquence $T$ de tel sorte que le signal acquis $S$ est $S = s\times p$. $p$ est périodique, on le décompose en série de Fourier~:
        
        \begin{equation}
            p(t) = \sum_{n=0}^\infty P_n \cos(\fn t + \phi_n)
        \end{equation}
        
        Le signal acquis est alors
        
        \begin{equation}
            \sum_{n=0}^\infty s(t) P_n \cos(f_n t + \phi_n)
        \end{equation}
        
        Pour chaque fréquence $f_i$ de $s$ le produit $s_i \cos(\omega_i t + \phi_i)P_n\cos(\fn t + \phi_n)$ vaut
        
        \begin{equation}
            \frac{s_i P_n}{2}\qty[\cos(\qty(\fn + \omega_i )t + \phi_i + \phi_n) + \cos(\qty(\fn -\omega_i)t +\phi_n - \phi_i)]
        \end{equation}
        
        \paragraph{Condition de Shannon}
        
        Ainsi, si $f_{\text{max}} < f_e - f_{\text{max}}$ on peut définir une fréquence $f_c$ telle que les composantes de fréquence $f < f_c$ sont les composantes de $s$ et celles supérieures sont issues du mélange de $s$ par une composante de $p$ d'ordre supérieur à 1. Par filtrage passe-bas de fréquence de coupure $f_c$ on peut alors reconstituer $s(t)$ à partir de $S$, \emph{il n'y a pas de perte d'information dans l'échantillonnage}
        
        \begin{equation}
            F_e > 2 f_{\text{max}}
        \end{equation}
        
        Si la condition n'est pas respectée, il y a repliement de spectre.
        
        \paragraph{Numérisation - quantification}
        
        Une fois échantillonné, le signal doit être quantifié car les valeurs ne peuvent être continues, car la mémoire est limitée. On utilise donc un convertisseur analogique numérique qui stocke l'information sur $N$ bits, il y a alors un quantum $q = \frac{2s_{\text{max}}}{2^N}$ qui est la plus petite variation de signal que l'on peut stocker.
        
        Ainsi en numérisant on introduit un bruit de quantification. En le modélisant par un bruit aléatoire uniforme entre $\qty[-\frac{q}{2};\frac{q}{2}]$ la valeur efficace de ce bruit est~:
        
        \begin{equation}
            b_{\text{eff}}^2 = \expval{b^2} = \frac{q^2}{12}
        \end{equation}
        
        Ce bruit ne dépend pas du niveau du signal, ce qui détériore le rapport signal sur bruit à faible niveau de signal. On peut alors choisir de quantifier de façon non linéaire pour garder un rapport signal sur bruit constant sur l'étendue des valeurs que prend le signal sans devoir quantifier sur plus de bits.

\section{Filtrage d'un signal}

\manip{Filtrage optique~: filtrage de Fourier en montage $4f$ (diffraction de Fraunhofer). On prends $f \simeq \SI{15}{cm}$ On détrame la photo de Joseph Fourier.}

Comme on vient de le voir on peut vouloir extraire une information d'un signal. Il faut bien avoir à l'esprit qu'ici on a réalisé un filtrage \emph{spatial} et non temporel.

Pour cela on utilise un filtre qui permet de retirer la partie indésirable du signal. Ici il a servi à éliminer les hautes fréquences spatiales. On va dans cette partie étudier les filtres de manière plus formelle.


\subsection{Filtre et diagramme de Bode}

En toute généralité, un filtre est un système linéaire. Toutefois dans la suite nous nous intéresserons uniquement aux SLIT. En effet ils permettent l'utilisation du formalisme de Fourier et des expressions analytiques plus simples.

\textbf{Définition~:} SLIT~: Système Linéaire Invraiant dans le Temps

On va étudier ces systèmes et tout particulièrement leur influence sur un signal. On note $e(t)$ le signal d'entrée, $h(t)$ la réponse impulsionnelle du filtre et $s(t)$ le signal de sortie. Par linéarité du système et définition de $h$, on peut écrire~:
\begin{equation}
s(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t,t')e(t') \dd t' = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t-t')e(t') \dd t' = (h \ast e)(t)
\end{equation}

Mais sous cette forme et avec ces dépendances temporelles, l'équation est difficile à résoudre. Or on peut montrer que~:
\begin{equation}
\TF(a\ast b) = \TF(a) \times \TF(b)
\end{equation}

En appliquant ce résultat à l'équation précédente, on obtient~:

\begin{equation}
\tilde{s}(\omega) = \tilde{h}(\omega) \tilde{e}(\omega)
\end{equation}

On définit alors \emph{la fonction de transfert} du système $H(\omega)$ par~:
\begin{equation}
H(\omega) = \tilde{h}(\omega) = \dfrac{\tilde{s}(\omega)}{\tilde{e}(\omega)}
\end{equation}

La fonction de transfert nous renseigne sur la réponse en fréquence du système, sur comment les différentes composantes spectrales sont modifiées. Pour étudier le système on va ainsi étudier $H$. On va s'intéresser à son module et à sa phase, on trace les diagrammes de Bode ($G = 20 \log(\abs{H})$ en décibels et $\arg(H)$ en radians en fonction de $\log(\omega)$).

Maintenant que nous avons vu ces considérations théoriques on va s'intéresser à un cas pratique~: l'étude d'un filtre passe bas, le RC série que l'on voit sur la figure \ref{RC}.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{RC.png}
\caption{Schéma d'un circuit RC série}
\label{RC}
\end{figure}

La fonction de transfert ici est $H(\omega) = \dfrac{\tilde{v_s}}{\tilde{v_e}} = \dfrac{1}{1+jRC\omega}$.

Pour obtenir expérimentalement $H$ nous allons utiliser la méthode de la réponse indicielle. Il faut savoir que d'autres méthodes sont possibles, comme relever les points fréquence par fréquence ou encore l'utilisation de la wobbulation.

\experience{Diagramme de bode du RC}{}{5 minutes}{On cable le montage de la figure 5, on prends $R= \SI{15}{k\ohm} $ et $C=\SI{0.1}{\mu F}$. On envoie un signal créneau de fréquence 1 Hz et on réalise une acquisition de 400 ms avec 1024 points, soit une fréquence d'échantillonage de 2558 Hz. On respecte bien le critère de Shannon. Une fois acquis, on dérive le signal puis on en fait la TF. ce qui donne accès à $H$.}

Ce filtre coupe les hautes fréquences, il est qualifié de \emph{passe-bas}. On peut voir qu'on pouvait prédire ce comportement en analysant l'expression théorique de $H$.

On peut notamment utiliser ce filtre comme filtre \emph{anti-repliement}. En mettant sa fréquence de coupure au niveau du critère de Shannon pour l'échantillonnage considéré, on évite le repliement de spectre. Le spectre ne sera pas celui du signal mais ce sera bien celui du signal tronqué.

\transition{On vient de voir un type de filtre, il en existe bien d'autres.}

\subsection{Types de filtres et influence de l'ordre}

Le filtre que l'on vient d'étudier est du premier ordre. Il existe également les filtres passe haut du premier ordre. Il faut faire attention à se souvenir que ces filtres ne sont pas parfaits~: il existe toute une gamme de fréquence qui sont atténuées mais non supprimées (la pente est de -20 dB/décade et non infinie). Pour augmenter cette pente, on peut augmenter l'ordre du filtre. Cela permet d'accéder à d'autres types de filtres comme les passe bande et coupe bande du second ordre.

Les filtres du second ordre ont une pente de $\pm$ 40 dB/décade. On pourrait alors se dire qu'il suffit de prendre un filtre d'un ordre très grand pour avoir un comportement idéal. Néanmoins il est technologiquement plus compliqué de créer des filtres d'ordre grand, de plus des problématiques de résonance et d'instabilités apparaissent.

\transition{Comment par exemple mesurer précisément la différence de fréquence entre deux signaux de fréquences très proches ? On vient de voir que les filtres ne peuvent pas tout résoudre~: on va utiliser une nouvelle méthode, la détection synchrone.}

\section{Application~: détection synchrone}
Ici on va s'intéresser à la détermination d'une vitesse par effet Doppler, c'est notamment le principe des radars.

Si $v$ est la vitesse de l'émetteur vers le récepteur fixe, que l'émetteur à une fréquence $f$ et que les ondes se déplacent à la célérité $c$, on peut montrer que~:
\begin{equation}
\dfrac{\Delta f}{f} = \dfrac{v}{c}
\end{equation}
L'émetteur recevant un signal de fréquence $f+\Delta f$.

Le principe de la détection synchrone est de remonter à cette quantité $\Delta f$. Pour cela on multiplie le signal reçu par un signal de même fréquence que celui qui est émis.

Soit $u_e (t) = A_e \cos(2\pi f t)$ le signal émis. Le signal reçu est alors $u_r = A_r \cos(2\pi (f+\Delta f)t)$. La multiplication des signaux donne donc~:

\begin{equation}
 V(t) = A_e A_r \cos(2\pi f t) \cos(2\pi (f+\Delta f)t)
\end{equation}

\begin{equation}
V(t) = \dfrac{A_e A_r}{2}\cos(2\pi (2f+\Delta f)t) + \cos(2\pi \Delta f t)
\end{equation}

On remarque la somme de deux signaux, un à la fréquence $\Delta f$ que l'on cherche et un a bien plus grande fréquence. Maintenant on peut utiliser un filtre passe haut pour récupérer notre grandeur d'intérêt.

\experience{Détermination d'une vitesse par effet Doppler}{poly divers}{7 minutes}{On fait ce qui est dit dans le poly,  à la différence près que l'on filtre avec le RC présenté précedemment.}

On s'attend à trouver $f$ de l'ordre du Hz.

On a ici choisi de filtrer de manière analogique (avec un RC). On aurait également pu choisir de filtrer numériquement. En effet on a dit que la réalisation technologique d'un filtre de grand ordre peut être ardue, ainsi un filtre numérique permet de s'affranchir de toutes ces considérations pratiques. Un filtre numérique est néanmoins limité par la vitesse du processeur qui l'exécute. Il s'effectue également sur un signal numérique et ainsi les problèmes d'échantillonage évoqués précédemment rentrent alors en jeu.

Les filtres numériques sont utilisés dans la plupart de l'électronique que l'on utilise quotidiennement comme une télévision où un téléphone portable.

\section*{Conclusion}
On a vu dans cette leçon que l'analyse de Fourier était un outil puissant pour l'étude des signaux et nous permettait d'extraire le critère de Shannon, à respecter pour l'acquisition d'un signal. On a compris comment fonctionnait un filtre et que leur utilisation permet aussi bien d'extraire une grandeur physique que de recevoir un message modulé en amplitude. 

Remarquons que l'analyse de Fourier est d'importance capitale aussi d'un point de vue théorique, ou elle s'impose dans l'étude des équations linéaires.





\section{Questions et commentaires}
\subsection{Questions}
\begin{itemize}
    \item Tu supposes les séries de Fourier déjà connues, à quel moment, les séries de Fourier ont-elles été vues~?

		Je me place en L3, les séries de Fourier ont été vues en L2 en Sciences de l'ingénieur, dans un cours de physique elles ont pu être introduites dans un cours sur les ondes.

	\item Pourquoi as tu placé cette leçon en L3~?
		
		Je l'ai placé en L3 car j'introduis la notion de transformée de Fourier qui n'est pas explicitement au programme de L2. J'envisage cette leçon comme une introduction à la transformée de Fourier.

	\item Quelle différence entre la transformée de Fourier d'un signal périodique et d'un signal apériodique.

		Celle d'un signal périodique est discrète, celle d'un signal apériodique est continue.

	\item Qu'est-ce qui décide si on a des harmoniques paires ou impaires~?

		C'est la forme du signal qui détermine son spectre. C'est la parité du signal. Un signal pair possède uniquement des harmoniques paires

	\item Juste en regardant le spectre peut-on avoir une idée de l'aspect du signal~?

		La parité des harmoniques peut permettre d'avoir la parité du signal. On peut également calculer les premières harmoniques et voir quel signal on obtient.

	\item Le signal rampe est impaire sur ta slide et pourtant il y a toutes les harmoniques. Comment ça se fait~?

	\item Comment interpréter la décroissance de l'amplitude des harmoniques dans le spectre~? Le signal carré a des harmoniques qui décroissent vite, le signal rampe a des harmoniques qui décroissent lentement.

	\item Si je sais que les harmoniques du signal décroissent lentement, quelles informations j'obtiens sur le signal~?

		Ça veut dire que le signal est de forte discontinuité.

	\item Peux-tu me parler du phénomène de Gibbs.

		Non.

	\item Quelle est la condition pour pouvoir définir la transformée de Fourier~?

		Les signaux réels sont finis du coup on peut appliquer la transformée de Fourier, mathématiquement c'est $f$ intégrable.

	\item Tu écris $2i\pi\nu t$ et pas $2i\omega t$

	    C'est arbitraire, ça permet de travailler en fréquence à laquelle on a accès quand on manipule le GBF et l'oscilloscope par exemple.

	\item Peux-tu nous parler de l'influence du temps d'acquisition~?

	    Oui c'est l'un des trois paramètres liés~: nombre de points, fréquence d'echantillonage et temps d'acquisition. Plus on a de points, plus la résolution spectrale sera grande. Ça peut jouer dans le calcul de la dérivée.

	\item Ça marche si le signal est périodique~?

	\item Il vaut mieux prendre beaucoup de périodes ou peu de périodes si on sait que l'on ne va pas prendre un nombre entier de périodes~?

		Oui ça va limiter son effet.

	\item Comment fonctionne un convertisseur analogique-numérique~?
	
		Ça fonctionne comme un Voltmètre. Ce qui sera mesuré est un temps.

	\item Pourquoi tu dis que la grandeur que l'on sait le mieux mesurer c'est le temps~?

		On sait mesurer très bien le temps avec les horloges atomiques, c'est pratique de relier une grandeur à une mesure de temps.

	\item Dans un oscillateur à quartz quelle est la propriété du quartz qui fait qu'on l'emploie~?

		C'est la piezoélectricité, l'élongation est proportionnel à la tension, on peut construire un oscillateur à grand facteur de qualité.

	\item Dans les horloges atomiques qu'est-ce-qui fait office d'oscillateurs~?

		Des transitions hyperfines, on compte le nombre de transitions et ça fait une mesure de temps.

	\item À quoi servent les lentilles dans le montage de filtrage spatial~?

		On se place en diffraction de Franhoffer, on met la source à l'infini donc au foyer d'une première lentille. On met une deuxième lentille pour former l'image de l'objet sur un écran. 

	\item Pourquoi avoir mis un diaphragme~?

		Si on observe dans le plan de Fourier, on voit un quadrillage. Les points extérieurs sont des hautes fréquences, liées aux lignes des trames. En mettant un trou, on va garder les basses fréquences et garder l'image de monsieur Fourier.

	\item Pourquoi ça marche quand tu fais ton diagramme de Bode~?
	
		On a un compromis à prendre pour la fréquence d'échantillonage contrainte par le critère de Shannon et la dérivée numérique. On prend un nombre de points qui est une puissance de 2 pour l'algorithme de transformée de Fourier rapide.

	\item Si je filtre pour garder les détails horizontaux, que dois-je faire~?
	
		On doit mettre une fente verticale. Si on veut que les détails verticaux on met une fente horizontale. Si on met une fente oblique on observe des détails qui n'existaient pas

	\item À haute fréquence dans ton diagramme de Bode, on observe des phénomènes liées à l'acquisition, pourquoi ça se voit à haute fréquence~?

		Le signal à haute fréquence peut ne plus respecter le critère de Shannon. La TF est plus bruitée à haute fréquence, l'amplitude devient plus faible donc le rapport signal sur bruit est diminué.
		
	\item Parlons décibels, si j'ai une source à \SI{200}{dB}, je me place deux fois loin, quel dB je mesure~?

		2 fois plus loin l'amplitude sera divisée par 4. À \SI{100}{m} j'observe $20\log(A)$, deux fois plus loin j'observe $20 \log(4)$ donc on perd $\SI{12}{dB}$

	\item Est-ce-qu'il y a d'autre filtres que des passe-bandes et des coupe-bandes en l'ordre 2~?

		Oui, il y a des filtres de phase.

	\item Dessine le diagramme de Bode en gain pour un passe-bande d'ordre 2.
	
	\item Il correspond à quoi ce $\SI{3}{dB}$~?

		À une division d'amplitude de $\sqrt{2}$.

	\item C'est cohérent avec le 12 d'avant~?

		Oui.

	\item Tu peux me dessiner un circuit électronique passe-bas d'ordre 3~?
	
		Oulo c'est dur

	\item Quel est le lien logique entre la détection synchrone et l'effet Doppler~?
		
		Ce montage peut avoir du sens comme mesure de la vitesse du son dans l'air. Les radars utilisent l'effet Doppler.

	\item Quelle application de la détection synchrone dans les télécommunications~?

		Dans la modulation d'amplitude.

	\item Pourquoi moduler à haute fréquence~?

		Pour avoir des petites antennes

	\item Quelles autres inconvénients pour la grande longueur d'onde~?

\end{itemize}

\subsection{Commentaires}
\begin{itemize}
    \item Globalement, super, gestion du temps très bon. 
	\item Ton rythme de parole est très bien, tu pars pas trop vite ça t'évites de dire des bêtises
	\item Les manips sont globalement bien, la manip d'optique, j'ai pas reconnu tout de suite le tramage qu'il fallait voir. Je sais pas si le jury se lèvera pour aller voir
	\item La gestion du tableau était bien, t'écris peut être trop de phrase et pas assez de schémas. Tes traits sont pas droits.
	\item Bonnes réponses aux questions de pédagogie, il faut s'y attendre pour ce genre de leçon. 
	\item La première partie faisait \SI{20}{min}, la deuxième 13, la troisième 6 et une minute de conclusion. D'un côté la partie 1 manque de physique mais bon c'est la leçon hein. 
	\item Quantum de quantification c'est bizarre, juste «pas de quantification» c'est peut-être mieux.
	\item Très bonne réaction face au phénomène de Gibbs, quand on sait pas on le dit. Le phénomène de Gibbs, c'est quand tu approches une discontinuité t'as des oreilles.
	\item Peut-être tendre des perches au jury dans la partie 1 sur comment ça se relie sur de la physique. Signal d'énergie finie pour l'intégrale du module carré fini par exemple
	\item Ce que tu écris doit pouvoir se suffire à lui-même, tu l'as pas fait c'est bien.
	\item J'aurais illustré le repliement du spectre pour le rendre bien visuel. Un schéma ça fait du bien
	\item C'est peut-être préférable de ne rien dire que de dire que je vérifie si j'ai rien oublié, tu peux laisser des blancs subtils.
	\item À deux fois plus de distance, l'amplitude est divisée que par quatre.
	\item Un passe bande c'est \SI{20}{dB} par décade de chaque côté
	\item On peut faire un ordre $n$ en enchaînant des RC.
	\item C'était très bien.
    \item Les harmoniques paires et impaires ne sont pas liées à la parité de la fonction mais à des propriétés de symétries.
\end{itemize}

\end{document}