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\numberwithin{equation}{section} % numerotation des equations par section

\title{LP 37 -- Absorption et émission de la lumière}
\date{\today}
\begin{document}

\titre{Antoine Chauchat}{Valentin Dorel}
{%citation
}{%auteur de la citation
}

\subsection*{Niveau~: L2}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.4\linewidth} @{$\longrightarrow$ }p{0.45\linewidth}}
\textit{}, \textbf{}  &  
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}

\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}%[label=\ding{226}]
 \item Cavité Fabry-Pérot
 \item Loi de Planck
 \item Distribution de Maxwell-Boltzmann
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item Cavité Fabry-Pérot et modes d'un laser
	\end{itemize}
\end{minipage}

\tableofcontents
\pagebreak


\section*{Introduction}
    Au cours de nos séances de TP nous avons utilisé plusieurs sources lumineuses que l'on peut séparer en deux catégories~:
    \begin{itemize}
        \item Les sources a incandescence dans lesquelles la lumière est émise par un corps chaud à température élevée (par exemple une lampe QI). Ces sources lumineuses peuvent être décrites par le modèle du corps noir que nous avons vu dans le chapitre sur le rayonnement d'équilibre thermique.
        \item Les sources dites à luminescence, ce sont les lampes spectrales et les LASER. La lumière est émise par des atomes et le spectre lumineux de ces sources est composé de raies discrètes. Dans cette leçon nous nous intéresserons à ce deuxième type de sources.
    \end{itemize}
    \textbf{Problématique~:} comment comprendre la nature discrète des spectres d'émission des sources à luminescence ? Quels processus sont mis en jeu ? Comment les mettre à profit pour construire des sources lumineuses ? On étudiera de façon plus poussée le LASER.
    
\section{Interaction lumière-matière à deux niveaux}
    Planck formule sa fameuse Loi de Planck sur le rayonnement thermique du corps noir en 1900. Pour expliquer cette formule, Einstein introduisit en 1917 le phénomène d'émission stimulée et le formalisme des coefficients d'Einstein que nous allons étudier maintenant.
    
    \subsection{Coefficient d'Einstein et conséquences}
        On considère un système à deux niveaux , d'énergies $E_1$ et $E_2$ (on suppose $E_2>E_1$ et de densités volumique d'atomes $N_1$ et $N_2$. On note $E_2 - E_1 = h\nu_0$. 
        On note $u_{\nu}$ la densité spectrale en fréquence de l'énergie volumique du champ électromagnétique ($u_{\nu}(\nu,T)$ est donnée par la loi de Planck). 
        
        On va considérer trois phénomènes~:
        \begin{description}
        \item [L'émission spontanée~:] Un atome sur le niveau 2 peut se désexciter en émettant un photon d'énergie $h\nu$. On note la probabilité de cet événement par unité de temps $A_{21}$. On a ainsi, en ne considérant que ce phénomène~:
        \begin{equation}
        \dv{N_2}{t} = -A_{21}N_2
        \end{equation}
        
        Caractéristiques de l'émission spontanée~: 
        La direction du photon émis, sa polarisation et sa phase sont aléatoire et la fréquence d'émission est distribuée autour de $\nu_0$.
        On note $\tau = \dfrac{1}{A_{21}}$ la durée de vie de l'état excité.
        
        \item [L'absorption~:] Un atome dans l'état 1 peut absorber un photon et passer dans l'état 2.
        La probabilité de cet événement est notée $u_{\nu}(\nu_0)B_{12}$. 
        En ne considérant que ce phénomène on a~:
        \begin{equation}
        \dv{N_2}{t} = u_{\nu} B_{12} N_1
        \end{equation}
        
        La loi de Maxwell-Boltzmann nous dit qu'à l'équilibre thermodynamique le rapport des populations est~:
        \begin{equation}
        \dfrac{N_1}{N_2} = \exp(\dfrac{E_2 - E_1}{k_B T})
        \end{equation}
        
        Or en ne considérant que ces deux phénomènes, à l'équilibre on observe (en utilisant que $N_1 + N_2 = \text{cste}$)~:
        \begin{equation}
        \dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac{A_{21}}{u_{\nu}B_{12}}
        \end{equation}
        Ainsi ce n'est pas compatible avec la loi de Maxwell-Boltzmann, il faut un autre mécanisme, c'est l'idée d'Einstein.
        
        \item[L'émission stimulée~:] Un atome du niveau 2  se désexcite en présence d'un photon résonant. Il repart deux photons de même longueur d'onde, direction, phase et polarisation.
        La probabilité de cet évènement est notée $B_{21} u_\nu(\nu_0)$.
        En ne considérant que ce phénomène on a~:
        \begin{equation}
        \dv{N_2}{t} = - u_\nu B_{21} N_2
        \end{equation}
        
        Ainsi une source utilisant le principe de l'émission stimulée serait \emph{directionnelle, monochromatique} et \emph{cohérente}. C'est notamment le principe du Laser.
        \end{description}
        
    \subsection{Lien entre les coefficients d'Einstein}
        En prenant en compte les trois phénomènes on peux écrire les "rate equations"~:

        \begin{equation}
            \dv{N_2}{t} = - \dv{N_1}{t} = -A_{21} N_2 - u_{\nu} B_{21} N_2 + u_{\nu} B_{12} N_1
        \end{equation}
        
        À l'équilibre thermodynamique on est en régime permanent ainsi~:
        \begin{equation}
            -A_{21} N_2 - u_{\nu} B_{21} N_2 + u_{\nu} B_{12} N_1 =0
        \end{equation}
        
        En utilisant la distribution de Maxwell Boltzmann on peut écrire~:
        \begin{equation}
            \frac{N_1}{N_2} = \exp(\frac{E_2 - E_1}{k_B T}) = \exp(\frac{\hbar \omega_{12}}{k_B T})
        \end{equation}
        
        De plus la densité spectrale d'énergie à l'équilibre est donnée par la loi de Planck~:
        \begin{equation}
            u_\nu (\nu) = \frac{8\pi h}{\pi^2 c^3}\frac{\nu^3}{\exp(\frac{h\nu}{k_B T})-1}
        \end{equation}
        
        Or on peut exprimer $u\nu$ en fonction des coefficients d'Einstein~:
        \begin{equation}
        u_\nu (\omega) = \frac{A_{21} N_2}{B_{12} - B_{21} N_2} = \frac{\frac{A_{21}}{B_{21}}}{\frac{B_{12}N_1}{B_{21}N_2}-1}
        \end{equation}
        
        En remplaçant $N_1 / N_2$ et en identifiant on trouve~:
        
        \begin{equation}
            \dfrac{A_{21}}{B_{21}} = \dfrac{\hbar \omega_0 ^3}{2\pi^2 c^3} \qq{et} B_{21} = B_{12}
        \end{equation}
            
\section{Le LASER}
    \subsection{Principe et premiers bilans}
        Un laser est composé d'une cavité résonante d'axe $z$ dans laquelle se propagent des photons dans un milieu amplificateur. 

        Notre but est de trouver les caractéristiques du fonctionnement d'un Laser notamment les conditions que cela implique sur les populations $N_1$ et $N_2$.
        
        On va effectuer un bilan d'énergie sur une tranche élémentaire $S, \dd z$. 
        \begin{itemize}
        \item On note $\dd \mathcal{E}(t) = u S \dd z$ l'énergie contenue dans cette tranche. 
        \item On note $\pi_p$ la puissance volumique perdue (ne tenant pas compte de l'absorption). 
        \item Le flux de lumière incident est $I(z) = \expval{\Pi (z)}$ ($\va*{\Pi}$ étant le vecteur de Poynting). Le flux de lumière sortant est $I(z+dz)$.
        \item On considère que $c$ est la vitesse de groupe de l'onde ainsi $I=cu$.
        \item On considère une largeur spectrale $\Delta \nu $, on a donc $u \simeq u_\nu \Delta \nu$, avec $\Delta \nu \gg \nu$.
        \item Enfin, on néglige l'émission spontanée.
        \end{itemize}
        
        \textbf{Bilan d'énergie~:}
        
        \begin{itemize}
        \item L'énergie de la tranche $dz$ à l'instant $t$ est $\dd \mathcal{E} = \dfrac{I}{c}S \dd z$.
        \item L'énergie entrante est $I(z)S \dd t$, l'énergie sortante est $I(z+\dd z)S \dd t$.
        \item L'énergie crée par émission stimulée et absorption pendant $\dd t$ est~:
        \begin{equation}
        \dd \mathcal{E}_c = B_{21} N_2 u_\nu \hbar \omega  S \dd z \dd t -   B_{21} N_1 u_\nu \hbar \omega  S \dd z \dd t =  B_{21} (N_2 - N_1) u_\nu \hbar \omega  S \dd z \dd t
        \end{equation}
        \item En utilisant $u_\nu \simeq \dfrac{u}{\Delta \nu} = \dfrac{I}{c \Delta \nu}$ on peut écrire~:
        \begin{equation}
        \dd \mathcal{E}_c \simeq B_{21} (N_2 - N_1) \dfrac{I}{c \Delta \nu} \hbar \omega  S \dd z \dd t
        \end{equation}
        \end{itemize}
        
        En notant $\gamma = B_{21}(N_2-N_1)\dfrac{\hbar \omega}{c \Delta \nu}$ le bilan de puissance s'écrit~:
        \important{
        \begin{equation}
        \pdv{I}{z} + \dfrac{1}{c} \pdv{I}{t}= \gamma I - \pi_p
        \end{equation}
        }
    \subsection{Inversion de population}
        
        À l'équilibre thermodynamique on a vu que $N_2 < N_1$ ainsi $\gamma < 0$. En régime stationnaire on a donc $\pdv{I}{z} < 0$. \textbf{L'intensité du faisceau décroît dans la cavité.} Pour que le milieu soit amplificateur on doit donc avoir $N_2 > N_1$~: d'où la nécessité d'une \emph{inversion de population.}
        
        La méthode pour réaliser l'inversion de population s'appelle le pompage optique. La méthode classique est de faire passer une décharge électrique dans le gaz pour porter les atomes dans un niveau 3 plus énergétique que le 2. 
        
        On peut intégrer le bilan de puissance sur la cavité. On suppose $I(0) = I(L)$. On pose $I_m = \dfrac{1}{L}\int_0 ^L I \dd z$ et $\pi_m = \dfrac{1}{L}\int_0^L \pi_p \dd z$. On suppose enfin que les pertes moyennes sont liées à l'intensité moyenne $I_m$, on note $\pi_m L = \alpha I_m$. 
        
        On a alors~:
        
        \begin{equation}
        \dfrac{L}{c} \dv{I_m}{t} = (\gamma L - \alpha)I_m
        \end{equation}
        
        Ainsi la condition de démarrage pour l'amplification est $\gamma L > \alpha$.
        
        Lorsque le régime stationnaire (saturation) est atteint, on a $\gamma_s L = \alpha$.
        
        Ce modèle assez simple du milieu amplificateur du Laser nous a permis de comprendre plusieurs choses~:
        \begin{itemize}
        \item Une inversion de population est nécessaire pour le fonctionnement d'un laser. Elle est souvent réalisée à l'aide d'un pompage optique.
        \item Il y a une condition de démarrage au laser qui est liée à la différence de populations donc à l'intensité du pompage.
        \end{itemize}
        
    \subsection{Cavité résonante}
        
        La cavité est de longueur $L$, limitée par deux miroirs constitués de métaux parfaits, le milieu amplificateur est d'indice $n$.
        
        Les fréquences propres de la cavité sont~:
        \begin{equation}
        \nu_p = p \dfrac{c}{2nL}
        \end{equation}
        
        Ces fréquences propres sont séparées de $\Delta \nu_p = \dfrac{c}{2nL}$.
        
        Le milieu amplificateur peut être représenté par un gain dépendant de la fréquence de la forme d'une courbe en cloche.  La cavité résonante sélectionne des fréquences.
        Le LASER est donc un système bouclé comme on le voit \autoref{fig:lasbouc}.
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=0.6\textwidth]{lasbouc}
            \caption{Représentation schématique du LASER}
            \label{fig:lasbouc}
        \end{figure}
        On peut voir l'interaction entre la courbe de gain et la cavité sur la \autoref{fig:cav}
        \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.4\textwidth]{cav}
        \caption{Modes oscillants d'un LASER}
        \label{fig:cav}
        \end{figure}
        
        On peut visualiser les modes d'un laser à l'aide d'une cavité Fabry-Pérot.
        \manip{Détermination de l'écart entre les modes d'un laser He-Ne}{le bon vieux FP}
        
\section*{Conclusion}
    On a vu aujourd'hui les bases de l'interaction lumière matière à l'aide des coefficients d'Einstein. La transition entre niveaux d'énergies est à la base du spectre de raies des lampes spectrales. On a notamment décrit le phénomène d'émission stimulée étant à la base du fonctionnement d'un LASER.
    
    On a donc par la suite étudié le LASER en faisant un bilan énergétique montrant la nécessité d'une inversion de population qui est faite par pompage. Enfin, on a vu que le laser pouvait être vu comme un système bouclé, sa cavité faisant office de filtre sélectionnant des fréquences bien définies. 
    
    En considérant plus de niveaux d'énergies on peut décrire d'autres phénomènes d'absorption/émission de la lumière comme la photoluminescence comme on peut le voir \autoref{fig:fluo}.
    
    \begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{photlum}
    \caption{Principe de la fluorescence et de la phosphorescence.}
    \label{fig:fluo}
    \end{figure}

\section{Questions et commentaires}
\subsection{Questions}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\subsection{Commentaires}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\end{document}