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\numberwithin{equation}{section} % numerotation des equations par section

\title{LP 41 -- Effet tunnel}
\date{\today}
\begin{document}

\titre{Antoine Chauchat}{Valentin Dorel}
{%citation
}{%auteur de la citation
}

\subsection*{Niveau~: L3}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.4\linewidth} @{$\longrightarrow$ }p{0.45\linewidth}}
\textit{LP 41 2020}, \textbf{Benjamin Monnet}  &  Merci \\
\textit{LP 41 2020}, \textbf{Cléments de la Salle et Colléaux} & Propre
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}

\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}%[label=\ding{226}]
 \item Équation de Schrödinger
 \item Courant de probabilité
 \item Ondes
 \item Électrostatique
 \item Radioactivité
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}

\tableofcontents
\pagebreak


\section*{Introduction}

    En mécanique classique, lorsqu'on considère par exemple un skieur, on sait que ce dernier ne pourra pas monter en haut d'une colline dont l'énergie potentielle est supérieure à l'énergie mécanique du skieur. Néanmoins la physique quantique permet d'envisager des phénomènes nouveaux comme l'effet tunnel que nous allons décrire ici, il permettrait à notre skieur de traverser la montagne.

\section{Présentation de l'effet tunnel}
    \subsection{Barrière de potentiel~: positionnement du problème}
        Pour présenter l'effet Tunnel nous allons prendre le cas le plus simple d'une barrière de potentiel.
        
        \begin{equation}
            V(x) =
            \begin{cases}
                0   &\text{pour $x<a/2$}      \\
                V_0 &\text{pour $-a/2<x<a/2$} \\
                0   &\text{pour $x>a/2$}
            \end{cases}
        \end{equation}
        
        \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.6\textwidth]{barriere}
        \caption{Situation étudiée}
        \label{fig:barr}
        \end{figure}
        
        Dans le cadre de notre étude on va se limiter au cas $0<E<V_0$. Pour rappel l'équation de Schrödinger donnant l'évolution d'une fonction d'onde est dans le cas unidimensionnel que l'on étudie ici~:
      
        \begin{equation}
            i\hbar \pdv{\psi}{t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{\psi}{x} + V(x) \psi (x,t)
        \end{equation}
        
        Comme dans le cas du confinement des particules et du puits infini, on se limitera ici aux solutions stationnaires ce qui donne dans notre cas $\psi(x,t) = \phi(x) \exp(-i\frac{Et}{\hbar})$. En réinjectant dans l'équation différentielle~:
        \begin{equation}
            -\frac{\hbar^2}{2m}\dv[2]{\phi}{x} + V(x) \phi(x) = E\phi (x)      
        \end{equation}
        On distingue alors les différentes régions selon leur valeur de $V$~:
        \begin{itemize}
            \item Régions I et III~: $\dv[2]{\phi}{x} + k^2 \phi(x)=0$
            \item Régions II~:  $\dv[2]{\phi}{x} - q^2 \phi(x)=0$
        \end{itemize}
        Avec~:
        \begin{equation}
            k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \qq{et} q = \frac{\sqrt{2m(V_0 -E)}}{\hbar}
        \end{equation}
        Les solutions de ces équations sont donc~:
        \begin{equation}
            \text{Région I} \qq{} \phi(x) = A_1 \exp(ikx) + B_1 \exp(-ikx)
        \end{equation}
        \begin{equation}
            \text{Région II} \qq{} \phi(x) = A_2 \cosh(qx) + B_2 \sinh(qx)
        \end{equation}
        \begin{equation}
            \text{Région III} \qq{} \phi(x) = A_3 \exp(ikx) + B_3 \exp(-ikx)
        \end{equation}
        Néanmoins $B_3 =0$ car il n'y a pas d'ondes qui arrivent de $+\infty$ donc~:
        \begin{equation}
            \text{Région I} \qq{} \phi(x) = A_1 \exp(ikx) + B_1 \exp(-ikx)
        \end{equation}
        \begin{equation}
            \text{Région II} \qq{} \phi(x) = A_2 \cosh(qx) + B_2 \sinh(qx)
        \end{equation}
        \begin{equation}
            \text{Région III} \qq{} \phi(x) = A_3 \exp(ikx) + 
        \end{equation}
        
    \subsection{Conditions aux limites~: résolution}
        La fonction d'onde est continue car la probabilité de présence l'est. Ainsi $\phi$ est également continue. Il n'y a pas de discontinuité du potentiel ainsi le courant de probabilité est également continu ce qui implique la continuité de la dérivée de $\phi$. On obtient donc les conditions aux limites suivantes~:
        \begin{itemize}
            \item En $-a/2$~:
            \begin{equation}
                A_1 \exp(-i\frac{ka}{2}) + B_1 \exp(i\frac{ka}{2}) = A_2 \cosh(\frac{qa}{2}) - B_2 \sinh(\frac{qa}{2})
            \end{equation}
            et 
            \begin{equation}
                ik A_1 \exp(-i\frac{ka}{2}) - ik B_1 \exp(i\frac{ka}{2}) = -q A_2 \cosh(\frac{qa}{2}) + q B_2 \sinh(\frac{qa}{2})
            \end{equation}
            \item En $a/2$~:
            \begin{equation}
                A_3 \exp(i\frac{ka}{2}) = A_2 \cosh(\frac{qa}{2}) + B_2 \sinh(\frac{qa}{2})
            \end{equation}
            \begin{equation}
                ik A_3 \exp(i\frac{ka}{2}) = q A_2 \cosh(\frac{qa}{2}) + q B_2 \sinh(\frac{qa}{2})
            \end{equation}
        \end{itemize}
        
    \subsection{Transmission}
        On s'intéresse nous à la probabilité de transmission, qui correspond à la possibilité pour la particule de traverser la barrière de potentiel. On va donc introduire le coefficient de transmission en amplitude complexe~: $\tau = \frac{A_3}{A_1}$. On peut montrer à l'aide des conditions aux limites que le coefficient de transmission en amplitude complexe vaut~:
        \begin{equation}
            \tau = 4ik \frac{\exp(-ikL)}{-(q-ik)^2\exp(qa)+(q+ik)^2\exp(-qa)}
        \end{equation}
        Afin de remonter à des quantités plus facilement interprétables physiquement, on cherche le coefficient de transmission en intensité $T$~:
        \begin{equation}
            T = \frac{J_i}{J_t} = \abs{\frac{A_3}{A_1}}^2
        \end{equation}
        car on a $J = \real(-i\frac{\hbar}{m}\qty(\dv{\psi}{x}\psi^*))$. En posant $\delta = 1/q$  la profondeur de pénétration (analogie avec les ondes évanescentes en EM) et $ M = \frac{1}{4}\qty(\frac{k}{q}+\frac{q}{k})$ on peut exprimer $T$~:
        \begin{equation}
            T = \frac{1}{1+M\sinh^2 a/\delta}
        \end{equation}
        Exprimé en fonction des énergies~:
        \begin{equation}
             M = \frac{V_0 ^2}{4E(V_0 -E)}
        \end{equation}
        Dans la plupart des cas on se trouve dans l'approximation de la barrière épaisse i.e. $\delta \ll a $. On a ainsi~: 
        \begin{equation}
            T \simeq T_0 \exp(-2a/\delta) \qq{avec} T_0 = \frac{16E(V_0 - E)}{V_0 ^2}
        \end{equation}
        Schématiquement les ondes ont la forme suivante de la \autoref{fig:onde}.
        \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{onde}
        \caption{Forme schématique des ondes}
        \label{fig:onde}
        \end{figure}
        
        C'est le facteur exponentiel qui fera le plus varier cette probabilité de transmission. On peut voir quelques ordres de grandeur sur la \autoref{fig:prb}.
        
        \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.6\textwidth]{proba}
        \caption{Ordes de grandeurs}
        \label{fig:prb}
        \end{figure}
        
        \manip{Ondes centimétriques}{On peut faire la manip avec des ondes centimétriques et des prismes de paraffine.}
        \remarque{Remarque~:}{La transmission d'une onde évanescente n'est pas un phénomène quantique mais ondulatoire. C'est le fait qu'une particule \emph{massive} puisse traverser une telle barrière qui en fait un phénomène quantique.}
            
        \remarque{Remarques~:}{
        Lorsqu'on s'éloigne du caractère quantique, c'est à dire en augmentant $m$ et $a$, la probabilité de transmission tend (très rapidement) vers 0.}
    \transition{L'effet tunnel permet de comprendre des phénomènes naturels comme la radioactivité.}
    
\section{La désintégration alpha}
    \subsection{Rappels}
        La radioactivité $\alpha$ est l'émission par un noyau instable d'une particule $\alpha$~: un noyau d'hélium \ce{^4_2He} Elle concerne les noyaux lourds contenant un nombre important de protons. Un exemple connu est
        
        \begin{equation}
        \ce{^238U \to ^232Th + ^4_2He}.
        \end{equation}
        
        Expérimentalement on sait que le nombre de noyaux évolue selon une loi exponentielle $N(t) = N_0 \exp{-\lambda t}$. De plus, la barrière d'énergie potentielle à franchir pour une particule $\alpha$ pour sortir du noyau est de \SI{25}{\mega\electronvolt} alors que l'énergie observée des particules $\alpha$ est de l'ordre de 4 à \SI{9}{\mega\electronvolt} comme illustré en \autoref{tab:alpha} ce qui laisse donc supposer que la barrière est franchie par effet tunnel.
        
        \begin{table}
        \centering
        \begin{tabular}{ccc}
        \toprule
         Élément & Énergie $E$ des particules $\alpha$ (\si{\mega\electronvolt}) & Demi-vie \\
        \midrule
         \ce{^212_84Po} & \num{8.95} & \SI{3.0e-7}{\second} \\
         \ce{^240_96Cm} & \num{6.40} & \SI{27}{jours}       \\
         \ce{^226_88Ra} & \num{4.90} & \SI{1600}{ans}       \\
         \ce{^232_90Th} & \num{4.05} & \SI{1.4e10}{ans}     \\
         \ce{^230_92U}  & \num{5.60} & \SI{21}{jours}       \\
         \ce{^232_92U}  & \num{5.21} & \SI{73}{ans}         \\
         \ce{^234_92U}  & \num{4.70} & \SI{2.4e5}{ans}      \\
         \ce{^236_92U}  & \num{4.45} & \SI{2.3e7}{ans}      \\
         \ce{^238_92U}  & \num{4.19} & \SI{4.4e9}{ans}      \\
        \bottomrule
        \end{tabular}
        \caption{Différentes radioactivités $\alpha$ qui s'étalent ici sur 24 ordres de grandeur~!}
        \label{tab:alpha}
        \end{table}
        
        Le temps de demi-vie a l'air décroissant avec l'énergie cinétique $E$ de la particule $\alpha$ émise. En 1911, Geiger et Nuttal avient établi la loi empirique
        
        \begin{equation}
        \ln \tau_{1/2} = A + \frac{B}{\sqrt{E}},
        \end{equation}
        
        avec $A$ et $B$ des constantes qui ne dépenden que du noyau père étudié.
    
    \subsection{Modèle de Gamov}
    
        Afin d'expliquer les observations expérimentales, on modélise notre ensemble comme une particule $\alpha$ existante à l'intérieur du noyau et on modélise ensuit le potentiel dans lequel est plongé la particule $\alpha$~:
        
        \begin{itemize}
            \item Pour $\abs{x} \leq R = r_0 A^{1/3}$ avec $r_0 = \SI{1.2}{\femto\metre}$, la particule est soumise à l'interaction nucléaire forte qui assure la cohésion du noyau. On suppose donc que la particule est dans un puits de potentiel d'énergie $-V_0$
            \item Pour $\abs{x} \geq R$, l'interaction nucléaire forte est négligeable car elle est à très courte portée. Il reste alors la répulsion électrostatique par les $Z-2$ protons restant dans le noyau donc
            
            \begin{equation}
            V(x) = \frac{2(Z-2)e^2}{4\pi \epsilon_0 x}.
            \end{equation}
        \end{itemize}
        
        On représente le potentiel dans la \autoref{fig:pot_alpha}.
        
        \begin{figure}
            \centering
            \includegraphics[width=.7\textwidth]{pot_alpha}
            \caption{Potentiel subi par la particule $\alpha$}
            \label{fig:pot_alpha}
        \end{figure}
        
        La probabilité pour que la particule $\alpha$ traverse la barrière d'énergie est modélisée par l'effet tunnel
        
        \begin{equation}
        \ln T \simeq -\frac{2}{\hbar}\int_R^{R_C} \dd{r}\sqrt{2m\qty(\frac{2(Z-2)e^2}{4\pi \varepsilon_0 x} - E)}.
        \end{equation}
        
        Le calcul complet (cf le \livre BUP) montre que le résultat est alors
        
        \begin{equation}
            \ln T = - \frac{\pi R V_m}{\hbar}\sqrt{2m}{E} + 2R \frac{\sqrt{V_m m_{\alpha}}}{\hbar} \qq{avec} V_m = \frac{2(Z-2)e^2}{4\pi \varepsilon_0 R}.
        \end{equation}
        
        La probabilité se met sous la forme
        
        \begin{equation}
        \ln T = \frac{a}{\sqrt{E}} + b.
        \end{equation}
        
       
        
    
    \subsection{Loi de désintégration exponentielle}
    
        Or compte tenu de son énergie cinétique, la particule $\alpha$ fait des aller-retours dans le noyau et ne cesse de «rebondir» contre la barrière de potentiel. À chaque «collision» sur la barrière de potentiel, la particule $\alpha$ a une probabilité $T$ d'être transmise au-delà du noyau. Il faut en moyenne $1/T$ collision pour sortir du noyau. Si on note $\tau_0$ la durée de traversée du noyau, le temps moyen que la particule $\alpha$ passe dans le noyau vaut $\tau = \tau_0/T$. On en déduit alors la demi-vie $t_{1/2} = \tau \ln 2$
        
        En écrivant alors $\ln T(E) = - \ln \frac{1}{T} = - \ln \frac{\tau_{1/2}}{\tau_0 \ln 2}$ on tombe sur la loi de Geiger et Nuttal.
        
        En effet la probabilité qu'un noyau travers la barrière s'exprime
        
        \begin{equation}
        \dd{P} = \frac{v}{2R_0}T\dd{t}.
        \end{equation}
        
        Pour $N$ noyaux~:
        
        \begin{equation}
        \dd{N} = \frac{v}{2R_0}VN \dd{t}.
        \end{equation}
        
        On retrouve une loi exponentielle avec $\lambda = \frac{vT}{2R_0}$ donc 
        
        \begin{equation}
        \tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{2R_0 \ln 2}{v T}.
        \end{equation}
        
        On peut comparer les résultats théoriques à l'expérience dans la \autoref{fig:gamov_exp}
        
        \begin{figure}
            \centering
            \includegraphics[width=.6\textwidth]{gamov_exp}
            \caption{Comparaison théorie et expérience pour la désintégration $\alpha$}
            \label{fig:gamov_exp}
        \end{figure}
        
    \subsection{Limite du modèle}
    
        La forme du potentiel est une approximation. Les oscillations de la particule $\alpha$ dans le noyaux sont aussi une approximation, on trouverait ainsi des oscillations à $\SI{e22}{\hertz}$. Il marche surtout pour des noyaux de $Z$ et $A$ pairs.
    
\section{Microscopes à effet tunnel}
    \subsection{Principe du microscope}
        \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.8\textwidth]{micro}
        \caption{Microscope à effet tunnel}
        \label{fig:mic}
        \end{figure}
        Lorsque l'on approche une pointe conductrice d'un métal conducteur, des électrons peuvent passer du substrat à la pointe à l'aide d'une différence de potentiel appliquée. L'électron passe par effet tunnel dans le vide, ainsi le courant mesuré est exponentiellement décroissant en la distance pointe/substrat. Les courants mesurés sont de l'ordre du nano-ampère ce qui oblige à utiliser des ampèremètres très précis. Pour pouvoir capter du courant et être le plus précis possible il faut~:
        \begin{itemize}
            \item Avoir une pointe très fine, généralement constituée d'un seul atome.
            \item Approcher la pointe à moins d'un nanomètre du substrat.
            \item Être capable de contrôler les déplacements de la pointe et de les mesurer le plus précisément possible. Pour cela on utilise des piézoélectriques.
            \item Il faut éliminer au mieux les vibrations parasites.
        \end{itemize}
        
    \subsection{Étude théorique}
        Le profil de potentiel est de la forme 
        \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.7\textwidth]{potmicr}
        \caption{Potentiel appliqué dans le cas du microscope à effet tunnel}
        \label{fig:pm}
        \end{figure}
        De la même manière que dans le modèle de Gamov pour trouver la probabilité de transmission on l'approche par l'intégrale suivante~:
        \begin{equation}
            \ln T \simeq -2 \frac{\sqrt{2m}}{\hbar}\int_0 ^d \sqrt{V(x)-E}\dd x \simeq -2\frac{d}{\delta}
        \end{equation}
        Avec $\delta$ qui vaut typiquement $\SI{0.6}{nm}$. On a montré dans la partie précédente que le temps de demi-vie était proportionnel à $T$, de même ici le nombre d'électrons passant la barrière est proportionnel à $T$ et ainsi le courant mesuré est de la forme~:
        \begin{equation}
            I = I_0 \exp(-2\frac{d}{\delta})
        \end{equation}
        Cette dépendance exponentielle induit une grande sensibilité.
        
        On peut ainsi montrer que un déplacement de \SI{10}{pm} correspond à une variation d'intensité de \SI{3}{\percent}. Cette méthode est donc extrêmement précise!
        \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.4\textwidth]{imag}
        \caption{Image issue d'un microscope à effet tunnel.}
        \label{fig:imag}
        \end{figure}
        
    \subsection{Utilisation expérimentale}
    
        En imposant une intensité $I$ constante, on reste donc à une distance fixe avec une très bonne précision normale à la surface. Latéralement, la finesse dépend de la finesse de la pointe d'où l'intérêt de n'utiliser qu'un seul atome. Ce type de microscope bat de loin les microscopes optiques en terme de précision car il n'y a plus la limite liée à la diffraction et donc au fait qu'on sonde la surface à une certaine longueur d'onde. Néanmoins, on ne peut pas voir de «grands détails» avec un microscope à effet tunnel.
        
        Selon la signe de la  différence de potentiel, on peut faire en sorte que l'attraction soit répulsive ou attractive, on peut utiliser ce microscope pour manipuler des atomes un à un~! On peut montrer cette \href{https://www.youtube.com/watch?v=oSCX78-8-q0}{vidéo} dont la page \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/A_Boy_and_His_Atom}{Wikipédia} détaille un peu la prise de vue.
        
        Le microscope à effet tunnel ne permet d'observer que des métaux. 

\section*{Conclusion}
    On a vu aujourd'hui les principes et applications de l'effet tunnel. On a notamment vu une probabilité décroissante exponentiellement ce qui implique directement une énorme variation d'ordres de grandeurs dans les temps de demi vie des éléments radioactifs. Cet effet permet également la réalisation de microscopes à effet tunnel qui permettent de sonder la surface des métaux à l'atome près.
    
    Une autre application pratique est le MASER à ammoniac qui permet d'émettre un faisceau cohérent de micro-ondes à partir de l'oscillation de molécules d'ammoniac dans un potentiel double puits.

\section{Questions et commentaires}
\subsection{Questions}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\subsection{Commentaires}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\end{document}

    
